2019届二轮复习同角三角比与诱导公式学案（全国通用）
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一、同角三角比的关系
（一）知识精讲
（1）倒数关系：；；；
（2）商数关系：；；
（3）平方关系：；；.
这些关系式还可以如图样加强形象记忆：
（1） 对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).
（2） 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).
（3） 阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).
注意：
1） “同角”的概念与角的表达形式无关，如：，.
2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立.
3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.
提问视角：同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．
（二）典型例题
【例1】下列公式中，在上恒成立的是 。（填写相应序号）
① ② ③
④ ⑤ ⑥
【难度】★
【答案】⑥
【例2】 已知，是第二象限角，求的其他三角函数值。
【难度】★
【答案】解：∵, ∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类．
当是第二象限角时，
当是第三象限时,
【例3】已知 ，求和。
【难度】★
【答案】
∵,∴
∵,∴是第一或第三象限角
当是第一象限角时,，
当是第三象限角时,，
【例4】已知 ，求；
【难度】★★
【答案】:，∵,∴角的终边不在坐标轴上.
当是第一象限或第二象限角时，
,
当是第三象限或第四象限角时，,
【例5】已知是方程的两个根，求和的值．
【难度】★
【答案】是方程的两个根
解得
【例6】已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
【难度】★★
【答案】解 (1)∵sin A＋cos A＝①∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝－.
(2)由sin Acos A＝－<0，且0<A<π，可知cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，
又sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝.②
∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝＝＝－.
【例7】已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.
【难度】★★
【答案】∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β，②
由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③
①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，
∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cos α＝±.
【例8】已知，求
【难度】★★★
【答案】，
。
【巩固训练】
1.已知，求和的函数值。
【答案】解：由方程组，解得。
若是第一、四象限的角则，。
若是第二、三象限的角得：，
- 已知，求下列各式的值：
（1）； （2）
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
3.如果满足条件 ，则所在象限是________.
【难度】★
【答案】第二象限的角。 提示：可得．
4．已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求tan θ的值．
【难度】★★
【答案】将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－，∴<θ<π，
∴sin θ－cos θ＝＝＝.
解方程组得
∴tan θ＝＝.
5． 已知＝－，则的值是 ( )
A. B．－ C．2 D．－2
【难度】★★★
【答案】A。由同角三角函数关系式1－sin2α＝cos2α及题意可得cos α≠0且1－sin α≠0，
∴＝，∴＝－，即＝.
二、诱导公式
（一）知识精讲
当角α的三角函数值已知时，与角α相差π或（以及整数倍）的角的三角函数值就都可以根据对称性及坐标计算出来，规律详见下表。
组别 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ＋α (k∈Z) | π＋α | －α | π－α | －α | ＋α |
正弦 | sin α | －sin α | －sin α | sin α | cos α | cos α |
余弦 | cos α | －cos α | cos α | －cos α | sin α | －sin α |
正切 | tan α | tan α | －tan α | －tan α | cot α | －cot α |
余切 | cot α | cot α | －cot α | －cot α | tan α | －tan α |
口诀 | 函数名不变 符号看象限 | 函数名改变 符号看象限 | ||||
【注意】 ①诱导公式都是当取使等式两边都有意义时的任意值；
②诱导公式的正负号的确定：将看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号右边的正负号；
③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一。
诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
（二）典型例题
【例9】（1）求下列各三角比的值.
（1）； （2）； （3）；
（4） （5）
【难度】★
【答案】（1）（2） （3） （4）（5）
【例10】已知，求，的值．
【难度】★★
【答案】（1）令，则.
原式
（2）由，得，是第二，三象限角．
若是第二象限角，则，；
若是第三象限角，则，．
【例11】①已知sin＝，则cos=_________.
②已知cos＝，则sin＝________.
③已知cos＝，求cos=__________．
④已知，求=
【难度】★★
【答案】① ② ③ ④令，则.
原式
【例12】 已知，求的值.
【难度】★★★
【答案】 设，则.
原式
.
【巩固训练】
1． ，则______________.
【难度】★★
【答案】，，因为，
所以，所以，.
2．已知＝，则cos的值为________．
【难度】★★
【答案】－。cos＝cos＝－sin＝－.
3．已知，且，求的值．
【难度】★★
【答案】由，得．原式=．
4．＝_____________.
【难度】★
【答案】sin2+cos2.提示：
及可得
5．已知为的内角，
（1）证明：.
（2）若，求A,
（3）证明：
【难度】★★
【答案】（1）在中，∵，∴.
∴，
（2），
（3）
三、三角式的化简与证明
【例13】 已知是第三象限角，化简：
【难度】★★
【答案】原式
是第三象限角。 原式.
【例14】（1）化简：；
【难度】★★
【答案】原式
（2）化简.
【难度】★★
【答案】原式
【例15】 化简下列各式：
【难度】★★
【答案】
【例16】 化简：(n∈Z)
【难度】★★★
【答案】
【例17】求证：（1）；
（2）.
【难度】★★
【答案】（1）左边
右边， ∴等式成立.
（2）
，∴等式成立
【例18】求证：；
【难度】★★
【答案】左边
【例19】
【难度】★★
【答案】
【例20】已知，试证：
【难度】★★★
【答案】
【巩固训练】
1．已知方程的两根分别是，求的值。
【难度】★
【答案】原式
由韦达定理知， 原式 =
2．已知
求：（1）的值 （2）的值 （3）的值
【难度】★★
【答案】（1）
又，
（2）
（3）原式=
3．若k∈Z，求证：＝－1．
【难度】★★
【答案】 若k为偶数，则
左端＝＝－1，
若k为奇数，则
左端＝＝－1
4.已知：，，求证：.
【难度】★★
【答案】
5.已知，求：和的值.
【难度】★★
【答案】设，则，，
，，或，∵，，
∴，∴，即，
1、同角三角比的关系
（1）倒数关系：；；；
（2）商数关系：；；
（3）平方关系：；；.
2、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”
角 | 2kπ＋α (k∈Z) | π＋α | －α | π－α | －α | ＋α |
正弦 | sin α | －sin α | －sin α | sin α | cos α | cos α |
余弦 | cos α | －cos α | cos α | －cos α | sin α | －sin α |
正切 | tan α | tan α | －tan α | －tan α | cot α | －cot α |
余切 | cot α | cot α | －cot α | －cot α | tan α | －tan α |
三角比求值主要有三种类型
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角比式的值，求另外一些三角比的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围的变化．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
3、三角式的化简与证明方法技巧
同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．
1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函数；
(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝….
1．已知的值．
【难度】★
【答案】因为，
所以：=。
由于所以
于是：=，
所以：tan(=。
2．求值：= ．
【难度】★
【答案】
3．判断表达式的正负．
【难度】★
【答案】
，因此，是正值。
4．若，则等于____________．
【难度】★★
【答案】
，
所以
又因为
5．当0<x<时，函数f(x)＝的最小值是____________．
【难度】★★
【答案】4。当0<x<时，0<tan x<1，f(x)＝＝，
设t＝tan x，则0<t<1，y＝＝≥4.当且仅当t＝1－t，即t＝时等号成立．
6．若满足 （ ）
（A）当在一、四象限时，取“+”号
（B）当在二、四象限时，取“－”号
（C）当在一、二象限时，取“+”号
（D）当在第二象限时，取“+”号
【难度】★★
【答案】A
7.已知的值是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
【难度】★★
【答案】B
8.化简得结果是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
【难度】★★
【答案】A
9．“”是“”成立的（ ）
- 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【难度】★★
【答案】A。，反之不一定，如
10.若，且，求：．
【难度】★★
【答案】
11.已知cos＝a (|a|≤1)，则cos＋sin的值．
【难度】★★
【答案】cos＝cos＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.
12.已知，求下列各式的值.
（3）
【难度】★★
【答案】由已知得
（3）原式=
13．
【难度】★★
【答案】由已知得
故等式成立.
14.已知，，求的值。
【难度】★★
【答案】
15．（1）化简：；
（2）若cos α＋2sin α＝－，则tan α的值.
【难度】★★
【答案】（1）原式
.
（2）由cos α＋2sin α＝－可知，cos α≠0，两边同时除以cos α得1＋2tan α＝，
平方得(1＋2tan α)2＝＝5(1＋tan2α)，∴tan2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2.
16．已知A、B、C是三角形的内角，sin A，－cos A是方程x2－x＋2a＝0的两根．
(1)求角A.
(2)若＝－3，求tan B.
【难度】★★
【答案】(1)由已知可得，sin A－cos A＝1①
又sin2A＋cos2A＝1，∴sin2A＋(sin A－1)2＝1，
即4sin2A－2sin A＝0，得sin A＝0(舍去)或sin A＝，∴A＝或，
将A＝或代入①知A＝π时不成立，∴A＝.
(2)由＝－3，得sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0，
∵cos B≠0，∴tan2B－tan B－2＝0，∴tan B＝2或tan B＝－1.
∵tan B＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去，故tan B＝2.
17.是否存在，使得关于x的方程：和有一个根相等？如果存在，求出；如果不存在说明理由。
【难度】★★★
【答案】
