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    人教A版(2019)选修二 第四章数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 全题型归纳(讲义)+课后分层专练 (同步练习)
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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品达标测试

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品达标测试,文件包含人教A版2019选修二第四章数列432等比数列的前n项和公式-全题型归纳教师版-讲义docx、人教A版2019选修二第四章数列432等比数列的前n项和公式-课后分层专练教师版-同步练习docx、人教A版2019选修二第四章数列432等比数列的前n项和公式-全题型归纳学生版-讲义docx、人教A版2019选修二第四章数列432等比数列的前n项和公式-课后分层专练学生版-同步练习docx等4份试卷配套教学资源,其中试卷共44页, 欢迎下载使用。


    知识点1 等比数列的前n项和公式
    注:(1)等比数列前n项和公式的推导
    若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,如何求该等比数列的前n项的和?
    思路一:因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,
    所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,
    上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn,
    发现上面两式中有很多相同的项,两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn,
    即(1-q)Sn=a1(1-qn),当q≠1时,有Sn=eq \f(a11-qn,1-q),而当q=1时,Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法,我们称为“错位相减法”.
    思路二:当q≠1时,由等比数列的定义得:eq \f(a2,a1)=eq \f(a3,a2)=…=eq \f(an,an-1)=q,
    根据等比数列的性质,有eq \f(a2+a3+…+an,a1+a2+…+an-1)=eq \f(Sn-a1,Sn-an)=q,
    eq \f(Sn-a1,Sn-an)=q⇒(1-q)Sn=a1-anq,
    所以当q≠1时,Sn=eq \f(a1-anq,1-q),该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比数列的性质,推导出了公式,通过上述两种推导方法,我们获得了等比数列的前n项和的两种形式,而这两种形式可以利用an=a1qn-1相互转化.
    思路三:Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1),
    所以有Sn=a1+qSn-1⇒Sn=a1+q(Sn-an)⇒(1-q)Sn=a1-anq,
    所以当q≠1时,Sn=eq \f(a1-anq,1-q)或Sn=eq \f(a11-qn,1-q),显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使我们不拘泥于课本,又能使问题得到解决.
    (2)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个.(和各已知三个可求第四个
    (3)注意求和公式中是,通项公式中是不要混淆;
    (4)应用求和公式时,必要时应讨论的情况.在应用公式求和时,应注意到Sn=eq \f(a11-qn,1-q)的使用条件为q≠1,而当q=1时应按常数列求和,即Sn=na1.
    (5)等比数列前n项和公式的函数特征
    当公比q≠1时,设A=eq \f(a1,q-1),等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1).即Sn是n的指数型函数.
    (Sn=eq \f(a1-a1qn,1-q)=-eq \f(a1,1-q)qn+eq \f(a1,1-q),设A=-eq \f(a1,1-q),则Sn=Aqn-A.)
    当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.
    【即学即练1】(2022·贵州黔东南·高二期末(理))已知等比数列的前项和为,且,,则( )
    A.64B.42C.32D.22
    【解析】设数列的公比为,依题意可得,
    解得,
    所以.
    故选:D
    【即学即练2】(2022·云南曲靖·高二期末)已知等比数列的前n项和为,公比.若,则__________.
    【解析】由题意知,,解得或,又,则.
    故答案为:.
    【即学即练3】(2022·全国·高二课时练习)已知数列的前项和.
    (1)若,当常数满足什么条件时,数列是等比数列?
    (2)若,当常数、满足什么条件时,数列是等比数列?
    【解析】(1)对于等比数列,,当时, ,
    故结合可知, ,,
    故 ;
    (2)由(1)可知,当,时,令 , 数列是等比数列,
    即常数A、满足 时,数列是等比数列.
    当时,是常数,不适合题意,
    当时,是常数,数列不可能是等比数列,不适合题意,
    故当,时,,
    当常数A、满足时,数列是等比数列.
    知识点2 等比数列前n项和的性质
    1.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列.
    注意点:等比数列片段和性质的成立是有条件的,即Sn≠0.
    注:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…仍成等比数列,证明如下:
    思路一:当q=1时,结论显然成立;
    当q≠1时,Sn=eq \f(a11-qn,1-q),S2n=eq \f(a11-q2n,1-q),S3n=eq \f(a11-q3n,1-q).
    S2n-Sn=eq \f(a11-q2n,1-q)-eq \f(a11-qn,1-q)=eq \f(a1qn1-qn,1-q),
    S3n-S2n=eq \f(a11-q3n,1-q)-eq \f(a11-q2n,1-q)=eq \f(a1q2n1-qn,1-q),
    而(S2n-Sn)2=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a1qn1-qn,1-q)))2,Sn(S3n-S2n)=eq \f(a11-qn,1-q)×eq \f(a1q2n1-qn,1-q),
    故有(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),
    所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
    思路二:由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,故有S2n-Sn=qnSn,
    S3n=S2n+q2nSn,故有S3n-S2n=q2nSn,故有(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),
    所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
    2.{an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,eq \f(T2n,Tn),eq \f(T3n,T2n),…成等比数列.
    3.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N*)⇔qn=eq \f(Sn+m-Sn,Sm)(q为公比).
    注:思路一:Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm
    =Sm+qmSn.
    思路二:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m
    =Sn+a1qn+a2qn+…+amqn
    =Sn+qnSm.
    4.若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:
    (1)在其前2n项中,eq \f(S偶,S奇)=q;
    (2)在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1=eq \f(a1+a2n+1q,1--q)=eq \f(a1+a2n+2,1+q)(q≠-1).
    S奇=a1+qS偶.
    注:若等比数列{an}的项数有2n项,则
    其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,
    其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,所以有eq \f(S偶,S奇)=q.
    若等比数列{an}的项数有2n+1项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,即S奇=a1+qS偶.
    【即学即练4】【多选】(2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习)已知数列的前n项和为,下列说法正确的是( )
    A.若,则是等差数列
    B.若,则是等比数列
    C.若是等比数列,则,,成等比数列
    D.若是等差数列,则
    【解析】对选项A,,,,
    ,不满足是等差数列,故A错误.
    对选项B,当时,,
    当时,,
    检验:时,,所以,即是等比数列,故B正确.
    对选项C,当时,是等比数列,
    ,,,
    不满足,,成等比数列,故C错误.
    对选项D,,故D正确.
    故选:BD
    【即学即练5】(2022·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试)记等比数列的前项和为,若,,则( )
    A.12B.18C.21D.27
    【解析】因为为等比数列的前项和,且,,易知等比数列的公比,
    所以成等比数列
    所以,所以,解得.
    故选:C.
    【即学即练6】(2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试)等比数列中,,,则( )
    A.90B.120C.240D.480
    【解析】设等比数列中的公比为,由得,
    ,解得,,
    故选:B
    【即学即练7】(2022·全国·高二课时练习)已知各项为正的等比数列的前5项和为3,前15项和为39,则该数列的前10项和为( )
    A.B.C.12D.15
    【解析】由等比数列的性质可得也为等比数列,
    又,故可得即,
    解得或,因为等比数列各项为正,所以,
    故选:C
    【即学即练8】(2022·全国·高二单元测试)等比数列的前n项和为,若,,则( ).
    A.10B.20C.20或10D.20或10
    【解析】由等比数列的性质可得:
    ,,成等比数列,

    解得,或,



    故选:B.
    【即学即练9】(2022·全国·高二学业考试)已知一个项数为偶数的等比数列,所有项之和为所有偶数项之和的倍,前项之积为,则( )
    A.B.
    C.D.
    【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍,所以,,故
    设等比数列的公比为,设该等比数列共有项,
    则,所以,,
    因为,可得,因此,.
    故选:C.
    知识点3 等比数列前n项和的实际应用
    1.解应用问题的核心是建立数学模型.
    2.一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型.
    3.注意问题是求什么(n,an,Sn).
    注:(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性:设数列,判断数列,解题完毕要作答.
    (2)在归纳或求通项公式时,一定要将项数n计算准确.
    (3)在数列类型不易分辨时,要注意归纳递推关系.
    (4)在近似计算时,要注意应用对数方法,且要看清题中对近似程度的要求.
    【即学即练10】(2022·安徽滁州·高二期中)古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织布的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天织布多?”根据上述的已知条件,可求得该女子第5天所织布的尺数为______.
    【解析】设这女子每天分别织布的尺数构成数列,依题意,数列是公比为2的等比数列,前5项之和,即,得,
    所以,
    故答案为:
    【即学即练11】(2022·全国·高二课时练习)某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元,并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要______万元.
    【解析】设每个实验室的装修费为,每个实验室的设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,其公比为,
    由题设可得:,即,解得:,
    ,且,
    由可得:,
    研究所改建这十个实验室投入的总费用(万元),
    故答案为:4808.
    考点一 等比数列前n项和公式的基本运算
    解题方略:
    (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”),通过列方程(组)便可迎刃而解;
    (2)对于基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方法进行消元,有时会用到整体代换,如qn,eq \f(a1,1-q)都可看作一个整体.
    (3)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=eq \f(a11-qn,1-q)=eq \f(a1-anq,1-q),当q>1时,用公式Sn=eq \f(a1,q-1)(qn-1)代入计算,当q<1时,用公式Sn=eq \f(a1,1-q)(1-qn)代入计算,可避免出现符号错误.

    【例1-1】(2022·全国·高二课时练习)设等比数列的前项和为,若公比,,则______.
    【解析】设等比数列的首项为,则,则
    故答案为:
    变式1:(2022·浙江省杭州第九中学高二期末)已知正项等比数列前项和为,且,,则等比数列的公比为( )
    A.B.2C.D.3
    【解析】因为,
    所以
    设公比为q,可得:,
    两式相除得:
    故选:A
    变式2:(2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习)等比数列的各项均为正数,其前n项和为,已知,,则( )
    A.B.32C.64D.
    【解析】设等比数列{an}的公比为q,由题意知,
    因为S3=,S6=,
    所以,
    解得,
    所以.
    故选:B
    变式3:(2022·全国·高二课时练习)设等比数列的前n项和为.
    (1)若公比,,,求n;
    (2)若,求公比q.
    【解析】(1)依题意,
    由于,所以两式相除得,
    .
    (2)依题意,即,
    ,解得或.
    考点二 等比数列的片段和性质的应用
    解题方略:
    处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
    (1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质,能有效减少运算.
    (2)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.
    【例2-1】(2022·全国·高二课时练习)在各项均为正数的等比数列中,若,,则______.
    【解析】设等比数列的公比为,由题可知,
    方法一:由已知条件可列出方程组
    两式作商得,
    ∴,
    ∴.
    方法二:由性质得,
    ,即,
    ∴,
    ∴.
    方法三:运用性质.
    由已知条件,,易得,
    ∴,即,
    ∴.
    由,解得.
    方法四:运用性质,,,,…成等比数列解答.
    ∵,,成等比数列,
    而,,∴,
    即,
    ∴.
    故答案为:70.
    变式1:(2022·全国·高二课时练习)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S10=1,S30=13,S40=( )
    A.﹣51B.﹣20C.27D.40
    【解析】由{an}是等比数列,且S10=1>0,S30=13>0,得S20>0,S40>0,且1<S20<13,S40>13
    所以S10,S20﹣S10,S30﹣S20,S40﹣S30成等比数列,
    即1,S20﹣1,13﹣S20,S40﹣13构成等比数列,
    ∴(S20﹣1)2=1×(13﹣S20),解得S20=4或S20=﹣3(舍去),
    ∴(13﹣S20)2=(S20﹣1)(S40﹣13),即92=3×(S40﹣13),解得S40=40.
    故选:D.
    变式2:(2022·辽宁·高二期中)等比数列的前n项和为,若,,则( )
    A.24B.12C.24或-12D.-24或12
    【解析】因为等比数列的前n项和为,所以,,成等比数列,
    因为,,所以,
    解得或,因为,
    所以,则.
    故选:A
    变式3:(2022·四川省内江市第二中学高二开学考试(文))等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若a1+a2+a3=2,S6=9S3,则S9=( )
    A.50B.100C.146D.128
    【解析】根据题意:S3=a1+a2+a3=2,S6=9S3=18,
    则S6﹣S3=18﹣2=16,
    根据等比数列的性质可知,S3,S6﹣S3,S9﹣S6构成等比数列,
    故,即S9﹣S6=128,
    故S9=S6+128=146,
    故选:C.
    变式4:(2022·湖北十堰·高二阶段练习)已知正项等比数列的前项和为,若,,则,的等差中项为__________.
    【解析】设,因为为等比数列,所以,,成等比数列.
    因为,,所以,解得或(舍去).
    所以,的等差中项为.
    故答案为:.
    变式5:(2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末)设等比数列的前项和为,若,则( )
    A.B.C.D.
    【解析】因为数列为等比数列,则,,成等比数列,
    设,则,则,
    故,所以,得到,所以.
    故选:C.
    考点三 等比数列奇偶项和的性质
    解题方略:
    等比数列{an}共有2n项,要抓住eq \f(S偶,S奇)=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.
    【例3-1】(2022·全国·高二课时练习)已知正项等比数列共有项,它的所有项的和是奇数项的和的倍,则公比______.
    【解析】设等比数列的奇数项之和为,偶数项之和为,
    则,
    由,得,因为,所以,所以,.
    故答案为:.
    变式1:(2022·全国·高二课时练习)在等比数列中,若,且公比,则数列的前100项和为______.
    【解析】在等比数列中,公比,则有,
    而,于是得,
    所以数列的前100项和.
    故答案为:450
    变式2:(2022·全国·高二)已知数列的前项和,则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为( )
    A.B.2C.D.
    【解析】当时,,又,
    即前10项分别为,
    所以数列的前10项中,,所以,
    故选:C.
    变式3:(2022·全国·高二)已知等比数列共有32项,其公比,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列的所有项之和是( )
    A.30B.60C.90D.120
    【解析】设等比数列的奇数项之和为,偶数项之和为
    则,
    又,则,解得,
    故数列的所有项之和是.
    故选:D
    考点四 等比数列前n项和其他性质
    【例4-1】(2022·全国·高二)设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,且满足条件,,,则下列结论错误的是( )
    A.B.
    C.的最大值为D.的最大值为
    【解析】若,则,,所以,与矛盾;
    若,则因为,所以,,则,与矛盾,
    因此,所以A正确.
    因为,所以,因此,即B正确.
    因为,所以单调递增,即的最大值不为,C错误.
    因为当时,,当时,,
    所以的最大值为,即D正确.
    故选:C
    变式1:(2022·全国·高二)设等比数列的公比为q,前n项和为,前n项积为,并满足条件,,则下列结论中不正确的有( )
    A.q>1
    B.
    C.
    D.是数列中的最大项
    【解析】因为,所以或,而为等比数列,,于是,,则A错误;
    ,则B正确;
    ,则C正确;
    因为,所以是数列中的最大项,则D正确.
    故选:A.
    考点五 等比数列中an与Sn的关系
    解题方略:
    由Sn求通项公式an的步骤
    (1)令n=1,则a1=S1,求得a1.
    (2)令n≥2,则an=Sn-Sn-1.
    (3)验证a1与an的关系:
    ①若a1适合an,则an=Sn-Sn-1,
    ②若a1不适合an,则an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1,n=1,,Sn-Sn-1,n≥2.))
    【例5-1】(2022·全国·高二)已知是数列的前项和,且满足,.则( )
    A.B.C.D.
    【解析】当时,;
    当时,由,可得.
    两式相减得,所以,且.
    则数列从第二项开始是一个以3为公比的等比数列,则,
    所以,所以.
    故选:D
    变式1:【多选】(2022·云南·曲靖市第二中学高二期末)已知数列的前项和为,,则下列选项中正确的是( )
    A.
    B.
    C.数列是等比数列
    D.数列的前项和为
    【解析】,①
    ,②
    两式作差得:,,
    ,,即,
    ,.
    数列是以为首项,公比为的等比数列,
    则,.
    由上述内容可知,选项A,C正确.
    当时,,则选项B错误.
    ,,,
    数列是首项为的等比数列.
    则数列的前项和为,则选项D正确.
    故选:ACD.
    变式2:(2022·山东淄博·高二期末)已知数列的前n项和为,,.
    (1)证明:为等比数列,并写出它的通项公式:
    (2)若正整数m满足不等式,求m的最大值.
    【解析】(1)解:因为①,
    当时,解得,
    当时②,
    ①②得,即,即,
    所以,,所以是以为首项、为公比的等比数列,
    所以.
    (2)解: 由(1)可知,
    因为,所以,即,解得,所以,
    因为,所以的最大值为.
    变式3:(2022·湖北武汉·高二阶段练习)已知数列的前项和为,在①=-,②=这两个条件中任选一个,并作答.
    (1)求数列{}的通项公式;
    (2)设=,求数列{}的前项和.
    【解析】(1)若选①,则当时,,得,
    当时,由=-,得,
    所以,得,
    所以数列是以2为公比,3为首项的等比数列,
    所以
    若选②,则当时,,
    当时,由=可得,
    两式相减,即,
    满足上式,所以
    (2)由(1)得,
    所以,
    所以,
    所以,
    所以
    所以
    变式4:(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二期中)已知数列的前n项和为,满足,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设,求数列的前2n项和.
    【解析】(1)因为,①,
    所以当时,,解得,
    当时,②,
    ①-②得即,而,故,
    故,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
    所以;
    (2)由(1)得,
    所以
    .
    考点六 等比数列的简单应用
    解题方略:
    解应用问题的核心是建立数学模型.
    一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型.
    3.注意问题是求什么(n,an,Sn).
    【例6-1】(2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )
    A.6里B.5里C.4里D.3里
    【解析】记每天走的路程里数为,可知是公比的等比数列,
    由,得,解得:,
    .
    故选:A.
    变式1:(2022·安徽省宣城中学高二期末)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”,意思是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天大鼠加倍,小鼠减半,则在第几天两鼠相遇?这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为10尺,则在第( )天墙才能被打穿?
    A.3B.4C.5D.6
    【解析】设需要n天时间才能打穿,则,
    化简并整理得,
    令,则;,
    又在单调递增,
    ∴在内存在一个零点,
    ∴至少需要4天时间才能打通.
    故选:B.
    变式2:(2022·河南焦作·高二期末(理))童谣是一种民间文学,因为常取材于现实生活,语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受,从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯,沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏,明灯层层更倍增(意为:每上一层,灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶,心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数,三百八十一盏明.灯映湖心点点红,但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为( )
    A.96B.144C.192D.231
    【解析】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列,
    设其首层为,公比,顶层为,前项和为
    由已知可得,,,
    由等比数列的前n项和公式可得,
    所以.故玲珑塔的顶层灯的盏数为192,
    故选:C.
    考点七 等差数列、等比数列的综合问题
    解题方略:
    解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清两个数列各自的特征,再进行求解.
    【例7-1】(2022·全国·高二课时练习)已知正项等比数列的前项和为,若,,成等差数列,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【解析】因为是正项等比数列,
    所以,,仍然构成等比数列,
    所以.
    又,,成等差数列,
    所以,,
    所以.
    又是正项等比数列,
    所以,,当且仅当时取等号.
    故选:B.
    变式1:(2022·重庆·高二期末)已知等比数列各项均为正数,且,,成等差数列,则( )
    A.B.C.D.
    【解析】设的公比为, 因为,,成等差数列,
    所以,即,,或(舍去,因为数列各项为正).
    所以.
    故选:A.
    已知量
    首项a1,项数n与公比q
    首项a1,末项an与公比q
    公式
    Sn=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1,q=1,,\f(a11-qn,1-q),q≠1))
    Sn=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1,q=1,,\f(a1-anq,1-q),q≠1))
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