人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法优秀一课一练

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2020-2021学年新教材人教A版选择性必修二册 4.4 数学归纳法 作业








一、选择题


1、用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（ ）


A． B． C． D．


2、用数学归纳法证明“ ”，则当 时，左端应在的基础上加上（ ）


A．B．


C．D．


3、在用数学归纳法证明:“对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于( )


A．1B．3C．5D．7


4、用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq \f(（n＋3）（n＋4）,2)(n∈N*)时，第一步验证


n＝1时，左边应取的项是( )


A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4


5、用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（ ）


A．B．


C．D．


6、用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N)能被9整除”,要利用归纳假设证明当n=k+1时的情况,只需展开( )


A. (k+3)3 B. (k+2)3


C. (k+1)3 D. (k+1)3+(k+2)3


7、某个命题与正整数n有关，如果当 时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）


A. 当n=7时该命题不成立 B. 当n=7时该命题成立


C. 当n=9时该命题不成立 D. 当n=9时该命题成立


8、已知整数的数对列如下:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第60个数对是（ ）


A．（3，8） B．（4，7） C．（4，8） D．（5，7）


9、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把、、、 这样的数称为“三角形数”，而把、、、 这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是





A． B．


C． D．


10、用数学归纳法证明“(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到( )


A．1＋2＋22＋＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1


B．1＋2＋22＋＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1


C．1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1


D．1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k＋1－1


11、用数学归纳法证明 （）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（ ）


A. B. C. D.


12、用数学归纳法证明，则当时，等式左边应在的基础上加上（ ）


A. B.


C. D.








二、填空题


13、已知，根据这些结果,归纳出一个一般性的结论是____．


14、把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列．若902，则 ．





15、观察下列各式:9-1=8,16-4=12，25-9=16，36-16=20，，这些等式反映了自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于的等式表示为__________.


16、已知等比数列的前项和是，这里为正整数，、为与无关的常数，则_______．


参考答案


1、答案D


根据所给式子可知左边为，可知正确选项.


详解


当时，左边应为，即，故选D.


2、答案A


写成的式子和的式子，两式相减可得.


详解


当时，左端式子为，


当时，左端式子为，


两式比较可知增加的式子为.故选A.


3、答案C


根据前几项逐一验证可得结果.


详解


当时，当时，当时，当时，当时，所以第一步验证的n0等于5，选C.


4、答案D


当n＝1时，右边＝eq \f(（1＋3）（1＋4）,2)＝10，所以左边＝1＋2＋3＋4＝10.


5、答案A


假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A


6、答案A


假设当n＝k时，原式能被9整除，


即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．


当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．


7、答案A


详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，


P（n）对n=8不成立，P（n）对n=7也不成立，


否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立．


与当n=7时该命题不成立矛盾


故选：A．


8、答案D


：（1，1），两数的和为2，共1个，（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个


∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）．


9、答案C


结合题意可知,代入数据,即可.


详解


A选项,13不满足某个数的平方,故错误;


B选项,,故错误;


C选项,故正确;


D选项,,故错误.故选C.


10、答案D


由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.


11、答案D


详解：当n=k时，等式的左边为，当n=k+1 时，等式的左边为，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是，故选D.


12、答案D


详解：


当n=k时，等式左端=1+2++k2，


当n=k+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）++（k+1）2，增加了2k+1项．即（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）++（k+1）2


故答案为：（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）++（k+1）2


13、答案


等式右边是一个首项为,公比为的等比数列,故右边为左边有项时,分母为,有两项时分母为,即分母为等差数列,由此可以分析得到结论为.


14、答案436


首先由，，因此902在甲图中的第31行第二个数，前30行共去年的数的个数为，还剩下个数，第31行的第一个数为91去掉，因此902是第436个数，即在乙图中，902对应的．


15、答案


考点归纳推理．


解：观察下列各式


9-1=32-12=8=4×（1+1），


16-4=42-22=12=4×（1+2），


25-9=52-32=16=4×（1+3），


36-16=62-42=20=4×（1+4），


，，


分析等式两边数的变化规律，我们可以推断


（n+2）2-n2=4（n+1）（n∈N?）


故答案为：（n+2）2-n2=4（n+1）（n∈N?）


16、答案


利用求出数列的通项公式，可得出，再由可得出的值.


详解：因为等比数列的前项和是.


当时，；


当时，，


所以，.


由于数列是等比数列，则，整理得，化简得.


故答案为：.