初一数学 第1讲 有理数的概念 学案

有理数的概念

数学是科学之王。

——高斯

  模块一  正数和负数

   模块二  有理数的概念及分类

  模块三  数轴

  模块四  相反数&倒数

  模块五  绝对值

一、正数和负数

在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下和零上，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数：

1．用正负数表示相反意义的量：

我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．

【例】以上几个例子分别记为：和，元和元，米和米.

2．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零；

3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、．

【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；

②数0既不是正数也不是负数．

二、有理数的概念及分类

1．有理数：整数与分数统称为有理数．

2．有理数的分类：

（1）有理数按性质分类：

（2）有理数按符号分类

（3）小数的分类

【注】注意以下几个概念的区分：

非负数：正数和零；非正数：负数和零；

非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；

非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．

三、数轴

1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．

【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；

①原点：表示数0的点；

②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向；

③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.

2．数轴的画法

（1）画一条水平直线；

（2）在这条直线上取一点作为原点；

（3）一般用箭头表示正方向；

（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．

【例】一个标准的数轴：

【注】画数轴的常见错误：

①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度；

②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；

③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱．

一些错误的数轴示例：

3．数轴与有理数的关系

①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；

但数轴上的点不一定代表有理数，比如．

②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；

③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数．

4．数轴与数学思想

①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；

②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零．

四、相反数&倒数

1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．

【例】与互为相反数；是的相反数；

【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的.

2．相反数的性质：

（1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数．

（2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的．

3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数．

【例】2与，与，与．

4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数．

【例】2与，与，与．

【注】①0没有倒数，也没有负倒数；

②倒数是它的本身的数1或．

五、绝对值

1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．

2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

3．绝对值的性质：

（1）非负性：；

（2）双解性：若，则或．

【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．

例如，若，则，，．

（1）仔细思考以下各对量：

①胜二局与负三局；       ②气温为与气温升高；

③盈利5万元与亏损5万元；     ④增加10%与减少20%．

其中具有相反意义的量有（　　）

A．1对    B．2对    C．3对    D．4对

（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．

②如果80m表示向东走80m，那么表示________________．

③A，B两地海拔高度分别是120米，米，则B地比A地低________米．

（3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“”字样，请问“”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml，611ml，589ml，573ml，627ml，问抽查产品的容量是否合格？

（1）下列说法错误的是（　　）

A．0既不是正数也不是负数     B．正整数和负整数统称整数

C．整数和分数统称有理数      D．正有理数包括正整数和正分数

（2）把下列各数分别填在所属分类里：

，0，，32，，，，，，，，3.14159，，2003

①正数：{              }；

②负数：{              }；

③非负整数：{            }；

④分数：{             }；

⑤非正有理数：{            }；

（3）在下表适当的空格里打上“√”号．

（1）下面图形是数轴的是（　　）

A．                 B．               C．                  D．

（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．

（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．

（4）在数轴上标出下列各数：0，，，，，，并用“<”连接．

（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．

（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．

（3）数轴上的点A对应的数是，一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后，用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B点与A点的距离是多少个单位长度？B点对应的数是多少？

（1）的相反数是________，2017与________互为相反数．

（2）已知有理数a、b在数轴上表示如图，则a、b、、的大小，正确的是（    ）

A．     B．

C．     D．

（3）下列说法正确的是（    ）

A．一个数的相反数一定是负数     B．和互为相反数

C．所有的有理数都有相反数           D．13和31互为相反数

我们可以用字母表示数，比如a、b都能代表一个数，在一个数的前面添上“”号，就得到这个数的相反数．

（1）5的相反数是_______；的相反数是_______，0的相反数是_______，数a的相反数是________；

（2）的相反数是_______，的相反数是________，的相反数是________；数的相反数是________；

（3）的相反数是________；的相反数是________，数的相反数是________，数的相反数是_______；与________互为相反数．

如果，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数

①；    ②；     ③；

④；    ⑤；    ⑥

（1）的倒数是________，2017与________互为负倒数．

（2）一个数的倒数等于它本身，这个数是_________；一个数的倒数等于它的相反数，则这个数________．

（3）已知a、b为有理数，在数轴上如图所示，则（    ）

A．     B．    

C．     D．

（1）的绝对值是_________，的相反数是________，与________互为倒数．

（2）①绝对值不大于3的整数有________；

②绝对值大于2而小于5的负整数是________．

（3）①若m、n满足，则mn的值等于________；

②，则________．

（4）已知，，则的值是__________．

（1）下列说法正确的个数（    ）

①表示正数；②一定是正数，一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1；④如果，则．

A．0个     B．1个     C．2个    D．3个

（2）若x表示有理数，则一定是（    ）

A．正数     B．负数     C．非正数   D．非负数

（3）下列说法正确的是（    ）

A．若a表示有理数，则表示非正数   B．和为零的两数互为相反数

C．一个数的绝对值必是正数     D．若，则

（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．

（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．

（3）把下列各数填入表示它所在的大括号：

，3，2.008，，，，0，，3.14，．

正有理数：{           }

非负整数：{           }

负分数：{           }

（1）下列说法正确的是（　　）

A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有

B．正有理数和负有理数组成全体有理数

C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数

D．零既不是正数，也不是负数

（2）下列说法不正确的是（　　）

A．绝对值等于本身的数是非负数

B．倒数等于本身的数有2个

C．有理数可分为整数和分数

D．两个负数比较大小，绝对值越大的数越大

（1）如图，表示数轴正确的是（    ）

A．                                         B．

C．                                         D．

（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．

（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：，，，，5．

（4）已知为有理数，在数轴上的位置如图所示，则，，0，1的大小关系为_______________．

（1）点A在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A点表示的数是________．

（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（　　）

A．     B．4     C．2    D．0

（1）与________互为相反数；是________的相反数．

（2）的相反数是________；是________的相反数．

（3）________；与________互为相反数．

（1），求________．

（2）的倒数是________，3.75的负倒数是___________．

（3）给出下面说法：①互为相反数的两数的绝对值相等；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③若，则；④若，则，其中正确的有______．