初一数学 第6讲 线与角 学案

线与角

“一点在平面上或空间中沿一定方向和其相反方向运动，所画成的轨迹是直线。通过两点只能引一条直线。两点间以直线距离最短。”

——《辞海》（1979年版）苏步青

  模块一  线

   模块二  角

一、线

1．基本概念：

（1）直线：能够向两端无限延伸的线叫做直线．

表示方法：①直线可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序；

②直线也可以用一个小写字母来表示．

【例】如图1：可以记为直线AB或直线BA；

如图2：记为直线l．

图1                  图2

（2）射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．

表示方法：①射线可以用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点；

②射线也可以用一个小写字母来表示．

【例】如图3：记为射线OA，但不能记为射线AO；

如图4：记为射线l．

图3                  图4

（3）线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫做线段的端点．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

表示方法：①线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，不分先后顺序；

②线段也可以用一个小写字母来表示．

【例】如图5：可以记为线段AB或线段BA；

如图6：记为线段l．

图5                   图6

（4）中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．

【例】如图7：点O是线段AB的中点，此时． 

图7

2．公理：

（1）两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线；

（2）两点之间，线段最短：两点之间的连线中，线段最短．

二、角

1．定义：

（1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸．

（2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．

表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间．

②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个．

③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。

【例】

或                                      

2．角的相关换算：

①1度分（），1分秒（）；

②1周角，1平角，1直角；

③1周角平角，1平角直角．

3．相关概念

（1）下列说法正确的是（　　）

A．直线AB和直线BA是两条直线

B．射线AB和射线BA是两条射线

C．线段AB和线段BA是两条线段

D．直线AB和直线a不能是同一条直线

（2）下列四个生活、生产现象：

①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；

②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；

③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；

④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，

其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）

A．①②    B．①③     C．②④    D．③④

（3）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D．按要求作图：

①画射线CD；②画直线AD；③连结AB；④直线BD与直线AC相交于点O．

（1）补全下面解题过程．已知：如图，B、D是线段AC上两点，D是BC的中点，，，求线段AB的长．

解：∵，，（已知）

∴．

∵D是BC的中点，（已知）

∴________________cm．（线段中点的定义）

∴________________cm．

（2）如图，在直线l的同侧有A、B两点，在直线l上找点C、D，分别使最小，最大．（不用说理由，保留作图痕迹即可）

（1）如图3-1，线段，线段，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得，则__________．

（2）如图3-2已知线段，点M为AB的中点，点P在MB上，点N为PB的中点，且，求PM的长．

图3-1                                    图3-2

（1）如图，M是线段AB上一点，，，C、D分别是AM、BM的中点．求CD的长．

（2）若把上题中的条件“”去掉，其它条件不变，你能求出CD的长度吗？若能，请求出CD的长度，若不能请说明理由．

（3）若M是线段AB延长线上一点，，C、D分别是AM、BM的中点，请画出相应的图形，并求出CD的长（用含a的代数式表出）．

（1）延长线段AB到C，使，反向延长线段AB到D，使，若，则线段CD的长为___________．

（2）已知A，B，C三点在同一直线上，线段，D是线段AB的中点，且，则线段CD的长为___________．

（3）已知A，B，C，D四点共线，若，，，画出图形，求AD的长．

已知关于m的方程的解也是关于x的方程的解．

（1）求m，n的值；

（2）已知线段，在线段AB所在直线上取一点P，恰好使，点Q是PB的中点，求线段AQ的长．

（1）如图7-1，将一副三角板的直角顶点重合，可得，理由是等角（或同角）的________；若，则__________．

（2）一个角的补角比它的余角的4倍少，则这个角的度数为________．

（3）如图7-2，O是直线AB上的一点，，，OE平分，则图中彼此互补的角共有______对．

图7-1                                   图7-2

如图，已知，OD平分，且，求的度数．

如图所示，已知OM平分，ON平分．

（1）当，，求的度数；

（2）若，时，求的度数．

已知，从O点引射线OC，若，求OC与的平分线所成的角的度数为________．

已知、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别计算出了、、这三个不同的结果，其中只有一个是正确答案，则________．

（1）下列说法正确的是（    ）

A．射线PA和射线AP是同一条射线

B．射线OA的长度是12cm

C．直线ab、cd相交于点M

D．两点确定一条直线

（2）如图1-1长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成，则线段AC的长度为（    ）

A．10cm              B．8cm              C．6cm              D．4cm

（3）已知：如图1-2，，点C为线段AB上一点，点D、E分别为线段AB、AC的中点，，求线段AC的长．

图1-1                                     图1-2

线段AB上有两点P、Q，，，，求BQ的长．

如图所示，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，求绳子的原长．

如图所示，已知和都是的余角，OE、OF分别为和的角平分线．若，求的度数．

如图所示，OM是的平分线，ON是的平分线．

（1）如果，，求的度数；

（2）如果，求的度数．当的大小改变时，的大小是否随之改变？它们之间有怎样的大小关系？

如图，是一个的正方形网格，则_____．