初一数学 第5讲 一元一次方程及其解法 学案

一元一次方程及其解法

“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”

——刘徽

  模块一  等式和方程的概念

   模块二  一元一次方程的概念和解法

  模块三  一元一次方程的巧解

一、等式和方程的概念

1．等式：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．

【例】，，，都是等式．

2．等式的分类：

（1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母都能成立的等式；

（2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母才能成立的等式；

（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母都不成立的等式．

【例】①，都是恒等式；

②是条件等式；

③，，都是矛盾等式．

3．等式的性质：

（1）若，则．

等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式．

（2）若，则；若且，则．

等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式．

（3）对称性：若，则．

（4）传递性：若，，则．

4．方程：含有未知数的等式，叫做方程．

注意：①方程中必须含有未知数；

②方程是等式，但等式不一定是方程，例如是等式而不是方程．

【例】①、、都是方程；

②、、不是方程．

5．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

【例】是的解．

6．解方程：求方程的解的过程．

【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．

二、一元一次方程的概念和解法

1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．

2．一元一次方程的判断：

Step1：不化简，看是否是整式方程；

Step2：化简，看是否满足．

【例】，，，都是一元一次方程；

、、、都不是一元一次方程．

3．一元一次方程的两种形式：

最简形式：方程的形式叫一元一次方程的最简形式．

标准形式：方程的形式叫一元一次方程的标准形式．

【例】，是一元一次方程的最简形式；

，是一元一次方程的标准形式．

4．解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.

【例】解方程

解：去分母，得：

去括号，得：

移项，得：

合并同类项，得：

系数化为1，得：．

下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．

①；   ②； ③；   ④；   ⑤；

⑥；   ⑦；   ⑧；   ⑨；       ⑩．

（1）若，那么下列等式不一定成立的是（    ）.

A．     B．      C．     D．

（2）下列判断错误的是（　　）

A．若，则　　　  B．若，则

C．若，则　　　        D．若，则

（3）给出下列等式：①若，则；②若，则；③若，则，④如果，那么．其中正确的有________．

下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是___________．（填序号）

（1）下列等式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有________．

（2）若是关于x的一元一次方程，则_______．

（3）若方程是关于x的一元一次方程，则__________．

（4）若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值为（    ）

A．1或            B．1              C．              D．2

（1）若是方程的解，则的值是_________．

（2）如果关于x的一元一次方程的解是，则m的值______．

（3）如果方程是关于x的一元一次方程，且是它的解，则______．

解方程：（1）      （2）

（3）            （4）

（5）         （6）

解方程：（1）  

（2）

（3）

解方程：（1）

（2）

（3）

（4）

（1）下列变形后的等式不一定成立的是（    ）

A．若，则   B．若，则

C．若，则    D．若，则

（2）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ）

A．      B．

C．         D．

（1）下列方程中是一元一次方程的是（    ）

A．         B．         C．         D．

（2）若是关于x的一元一次方程，则m的值是________．

（3）若关于x的方程是一元一次方程，则________．

（1）若是关于x的方程的解，则________．

（2）已知方程的解为，则方程的解为______________．

解方程：（1）               （2）

（3）           （4）

（5）

解方程：（1）

（2）