2.4平面向量中的最值范围问题专项测试-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修4）

专题2.4  平面向量中的最值与范围问题专项测试

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·全国高一课时练习）已知向量，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】,,则,,故选D.

2．（2020·江西高一）已知是圆的直径，是圆的弦上的一动点，，，则的最小值为(  )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设点，则， 所以，则，又因为，且在弦上一动点，所以， 其中当取的中点时取得最小值，所以，故选D．

3．（2020·山西应县一中高一期中）若，且，，则的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

如图所示：，，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离．的最大值是，最小值为.

4．（2020·浙江高一开学考试）在矩形中，，为上的动点，则的最小值为（    ）

A．4 B．2 C．1 D．0

【答案】A

【详解】以为坐标原点可建立如下图所示平面直角坐标系：

则，，，，设，，，，，，当时，取得最小值.

5．（2020·宁夏吴忠中学高一期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（    ）

A．－ B．0

C．4 D．－1

【答案】A

【详解】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，

当t＝时，·取得最小值－，

6．（2020·全国高一课时练习）如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为点O是线段AB的中点，所以向量=.所以=.又因为向量是互为相反向量.所以=-2=-2=.

7．（2020·陕西高一期末）在中，，P为所在平面内一动点，则的最小值为（ ）

A．9 B． C．8 D．

【答案】B

【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知，设，

则，

故．当且仅当时取得等号，∴所求最小值为，

8．（2020·湖北黄冈·高一期末）如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则的最小值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】如图，

延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，等于在上的投影与之积，当点A运动到A1时，在上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-，CB=2，=，，

所以当时，最小，最小值为。

9．（2020·全国高一课时练习）平行四边形中，, 点P在边CD上，则的取值范围是（   ）

A．[-1,8] B． C．[0,8] D．[-1,0]

【答案】A

【解析】∵,，∴，∴，A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为轴，以AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，∴A(0,0),B(4,0),，设，∴，∴，设，∴在上单调递减,在上单调递增，结合二次函数的性质可知：函数的最小值为：，函数的最大值为，则的取值范围是[−1,8]，

10．（2020·临泽县第一中学高一期中）已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足，，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解法一：取中点，，从而轨迹为以为圆心，为半径的圆，

，，，三点共线时，为最大值.所以最大值为，

的最大值为.

解法二：如图所示，建立直角坐标系.，，，∵点满足，

令，，.又，则，

∴

.的最大值是.

11．（2020·北京人大附中朝阳学校高一期末）设向量，，满足，，，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【详解】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，因为，所以，化简得，表示以为圆心，为半径的圆，则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，

12．（2020·湖北高一期末）在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设，所以，又，可知

，所以，化简可得

，又，，

所以，则，即，，又在递增，所以，

，故。

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·江苏高一期末）矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是________．

【答案】

【详解】

由题意，取中点为，则有，，如图所示，当点与点或者点重合时，取最大值，当点与点重合时，取最小值0。

14．（2020·抚顺市第十中学高一月考）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为_________.

【答案】   

【详解】如图所示，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，则，，，，设，则，，所以，所以，此时，即，的最小值为5.

15．（2020·天津静海一中高一期中）如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____

【答案】

【详解】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：

由题可知，，设，，故可得，

则，故可得，因的对称轴，故可得的最小值为.

16．设两个向量和，其中、、为实数，若，则的取值范围为_____.

【答案】．

【解析】, ①；②，①代入②消去整理得.

，，从而，由得.易证在上是增函数，，即.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2020·全国高一课时练习）如图，在梯形ABCD中，，，，，E是边BC上一动点，求的最小值.

【答案】

【详解】过点作，垂足为，因为，，，所以，，.又因为，所以四边形为矩形.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，，.设，所以，因为，所以，所以.因为，，

所以，

当时，取得最小值.

18．（2020·湖北高一期末）如图，在正中，，，分别是、边上一点，并且，设，与相交于．

（1）试用，表示；（2）求的取值范围．

【答案】（1）；（2），．.

【详解】（1），．

（2），，

．

是边上一点，，，，．

19．（2020·河南南阳中学高一月考）在中，底边上的中线，若动点满足.

（1）求的最大值；

（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.

【答案】（1）8；（2）-5.

【详解】（1）且，三点共线，又，在线段上，为的中点，设，则，，，当时，取最大值。

（2）为等腰三角形，且为底边的中线，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系

由（1）可得，又，，，则

20．（2020·广东潮州·高一期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，，.

（1）若，且，求向量的坐标.

（2）若，求的最小值.

【答案】(1) (2)

【详解】（1）∵，又，∴，∴    ①

又∵，∴  ②，由①②得，，∴，∴

当时，（舍去）

当时，，∴，∴

（2）由（1）可知，

，∴当时，

21．（2020·苍南县树人中学高一期中）如图，在矩形中，，，为对角线上一点，且满足：，.

（1）求，并直接写出的最小值（不需要证明）；（2）求的值.

【答案】（1）；.（2）.

【详解】（1）∵、、三点共线，由平面向量三点共线的结论得：，∴.

因为四边形为矩形，所以，所以，

因为

，

所以当时，取得最小值..

（2）

.

22．（2020·湖南岳阳一中高一月考）在中，设.

（1）求证：为等腰三角形；（2）若且，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）因为，所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，故为等腰三角形，

（2）因为，所以，设，因为，

所以，所以，所以，

又因为，

，，即.