4.3空间直角坐标系-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修2）

专题4.3  空间直角坐标系

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．空间直角坐标系中，已知A(2,3,5)，B(3,1,4)，则A，B两点间的距离为(　　)

A．6   B.

C.   D.

【答案】B

【解析】|AB|＝＝.

2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是(　　)

A．(－2,1，－4)   B．(－2，－1，－4)

C．(2，－1,4)   D．(2,1，－4)

【答案】A

【解析】过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.

3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为(　　)

A．(0，，0)   B．(0，，)

C．(1,0，)   D．(1，，0)

【答案】D

【解析】点P(1，，)关于平面xOy的对称点是P1(1，，－)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，，0)，故选D.

4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为(　　)

A．2   B．4

C．2   D．2

【答案】B

【解析】点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，

故|BC|＝ ＝4.

5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　)

A．－3或4   B．6或2

C．3或－4   D．6或－2

【答案】D

【解析】∵|AB|＝ ＝ ＝2，∴x＝6或－2.

6．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】C

7．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为(　　)

A.a　　　　　　 B.a

C．a   D.a

【答案】B

【解析】由题意可知A1(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，则由中点坐标公式可得：E(，，)，F(a，，0)，故由空间两点间的距离公式可得|EF|＝ ＝a.

8．（2020·安徽芜湖）已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则，两点的最短距离是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为点是平面内的直线上的动点, 所以可设点，由空间两点之间的距离公式,得,令

,当时,的最小值为,所以当时,的最小值为,即两点的最短距离是,故选B.

9．（2020·江苏无锡高一期末）在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，则的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【解析】因为的顶点分别为，2，，，4，，，4，，

则，，

．所以．所以的形状为直角三角形．

10．（2020·四川成都）在空间直角坐标系Oxyz中，点到点和点的距离相等，则实数m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，解得.
11．（2020·邢台市第八中学高二期末）以棱长为1的正方体，的棱AB，AD，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则四边形对角线交点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，四边形对角线的交点的横坐标为AB的中点值，竖坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，所以四边形对角线交点的坐标为.选B.

12．在空间直角坐标系中，四个点的坐标为，，，，则四面体的体积为（    ）．

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】因为该四面体内接于一个长方体，如图所示，

则四面体的体积等于长方体体积减去三棱锥、、、的体积，

因为长方体的长、宽、高分别为2，1，1，所以长方体的体积为2，所以该四面体的体积为．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

12．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．

【答案】(a，b，c)

【解析】由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c)．

13．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为________．

【答案】

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点，由题意，得

F(，，0)，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G(0，，0)，则E(0，，)．所以|EF|＝ ＝.

14．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．

【答案】(0,0,6)

【解析】设点P(0,0，z)，则由|PA|＝|PB|，得 ＝ ，

解得z＝6，即点P的坐标是(0,0,6)．

15．在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．

【答案】.

【解析】由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)，所以C1(－3,3,2)．正方体体对角线长为

|AC1|＝＝2，所以正方体的棱长为＝.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

【解析】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，

由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，

∴|DE|＝ ＝ ，|EF|＝ ＝ .

18．已知正方体的棱长为a，过B1作B1E⊥BD1于点E，求A、E两点之间的距离．

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．

过点E作EF⊥BD于F，如图所示，

则在Rt△BB1D1中，|BB1|＝a，|BD1|＝a，|B1D1|＝a，

所以|B1E|＝＝，所以在Rt△BEB1中，|BE|＝a.

由Rt△BEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝a，|EF|＝，所以点F的坐标为(，，0)，

则点E的坐标为(，，)．由两点间的距离公式，得|AE|＝  ＝a，

所以A、E两点之间的距离是a.

19、如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且

|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．

【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M，O′.因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝ ＝a.

20．（2020·延安市第一中学）如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．

(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；

(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

【答案】(1) (2) 点P的坐标为(), 最小值为.

【解析】 (1)因为正方体的棱长为1，P是AB的中点，所以P().因为2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0,1,).由两点间的距离公式得|PQ|＝＝.

(2)如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.

设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x.由正方体的棱长为1，

得|AE|＝ (1－x)．因为，所以|PE|＝＝1－x，所以P(x，x,1－x)．

又因为Q(0,1,)，所以|PQ|＝

所以当x＝时，|PQ|min＝，即当点P的坐标为()，即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为.