1.8三角函数图象问题专项测试-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修4）

专题1.8 三角函数图象问题专项测试

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·江西上高二中）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）  

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】B

【解析】因为，且==,所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B

2．（2020·河南鹤壁高中）如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称.∴，∴当时，有.

3．（2020·辉县市第二高级中学）函数在区间上的零点的个数是　　

A．10 B．20 C．30 D．40

【答案】A

【详解】画出图象函数和的图象，根据图象可得函数在区间上的零点的个数是10，故选A．

4．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得，所以，令（，解得，当时，有.故选A.

5．（2020河北衡水）将函数图像上的所有点向右平移个单位长度后得到函数的图像，若在区间上单调递增，则的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】右移个单位得到，根据余弦函数的图像可知，，即时递增，故的最大值为.

6．已知函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】函数的图象向右平移个单位后,得到，依题意可得 ，所以，因为，所以，.

7．（2020·北京期末）将函数的图象向右平移()个单位，得到函数的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由图可知，，因为的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以，所以，

所以或，，解得或，，

因为，所以.

8．（2020·江西）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到的图象.若，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意知且，∵，则，又，∴，解得或，∴当时，有最大值。

9．（2020·安徽合肥）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在区间上是单调递减函数，则实数的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上是单调递减函数，，，.

，....，解得，所以实数的最大值为.

10．（2020·江苏）已知函数的图象如图所示，若函数的两个不同零点分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由图象可知函数的最大值为2，所以，，所以，当时，，，，，即，当时，，得或，

解得，或，相邻的零点中，的最小值是.

11．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】根据题意，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则

.根据函数的单调增区间满足，解得.当时，函数的增区间为，当时，函数的增区间为.若满足函数在区间和上均单调递增，则 ，解得.

12．（2020·河北）函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（    ）

A．函数在上单调递减

B．函数的图象关于直线对称

C．当时，函数的最小值为

D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位

【答案】D

【详解】由函数的最大值为2可得，，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期满足，所以，，又的图象关于点对称，所以即，所以，，当时，，

所以函数在上单调递增，故A正确；当时，，所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；当时，，，故C错误；将的图象向右平移个单位可得的函数为：

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．已知函数的一个零点是，是的图像的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是_______.

【答案】

【解析】由条件得 ，又因为 ，此时，又因为 ，

由.

14．（2020·陕西安康·）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则在区间上的值域为_______.

【答案】

【详解】由题意得的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，这时变为，再把得到的图像向左平移个单位长度，这时变为，所以，，∵，∴.

15．（2020·青铜峡市高级中学）函数的部分图象如图所示，给出以下结论：

① 的最小正周期为2；② 的一条对称轴为；

③ 在，上单调递减；④ 的最大值为；则错误的结论为________.

【答案】② ④

【详解】由图易知函数的最小正周期为，①正确；由图知，左侧第一个零点为：，

所以对称轴为，所以不是对称轴，②不正确；由图可知，即时函数是减函数，所以③正确；

因为正负不定，所以④不正确．所以只有② ④不正确．

16．（2020·江苏无锡）函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.

【答案】

【详解】由题意因为x∈(0，)，则，可画出函数大致的图

则由图可知当时，方程有三个根，由解得，解得，且点与点关于直线对称，所以，点与点关于直线对称，故由图得，令，当为x∈(0，)时，解得或，所以，，，解得，则，即.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2020·安徽省蚌埠第三中学）已知函数．

（1）在给定的平面直角坐标系中，画函数的简图；

（2）求的单调增区间；

（3）函数的图象只经过怎样的平移变换就可得到的图象？

【答案】（1）作图见解析；（2）和；（3）向左平移.

【详解】（1）列表如下：

图象如下：

（2）由解得（）.依题意，

令，得；令，得.所以的单调递增区间为和.

（3），所以向左平移，

得到.

18．（2020·新绛县第二中学）已知函数，.

（1）求的最大值和最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；；（2）.

【详解】（1）由题意，函数，因为，可得，

所以当，即时，函数取得最大值，最大值为；

当，即时，函数取得最小值，最小值为.

由题意，不等式在上恒成立，即不等式对恒成立，

又当时，，所以，解得，故的取值范围是.

19．函数的部分象如图所示.

(1)求的最小正周期及解析式；

(2)求函数在区间上的取值范围.

【答案】(1)，；(2).

【详解】(1)由图象知，函数的周期，即，则，

又由五点对应法，可得，得， 则函数的解析式为.

(2)因为，所以，则，故，

令，即，则，当时取得最小值，当时取得最大值3，故的取值范围是。

20．（2020·四川遂宁）函数，若函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线．

（1）求函数的解析式；

（2）设集合, 若，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）.

【详解】（1）由题意知，函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，可得, 解得，又由，所以， 又由图象的一条对称轴是直线，可得，

且，解得，所以

（2）由集合，因为若，即当时，不等式恒成立， 所以，因为，

则，当，即，函数取得最小值，最小值为；

当，即，函数取得最大值，最大值为，所以.

21．（2020·广东潮州）已知，函数，当时，.

（1）求常数的值；（2）设且，求的单调区间.

【答案】（1）；（2）递增区间为；递减区间为.

【详解】（1）由，所以，则，所以，所以，又因为，可得，解得.

（2）由（1）得，则，

又由，可得，所以，即，

所以，当时，

解得，此时函数单调递增，即的递增区间为

当时，解得，此时函数单调递减，即的递减区间为.

22．（2020·镇原中学）如图是函数的部分图象.

（1）求函数的表达式；

（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；

（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围．

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）

【详解】（Ⅰ）由图可知：，即，又由图可知：是五点作图法中的第二点，，即．

（Ⅱ）因为的周期为，在内恰有个周期.

⑴当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ；

⑵当时，方程在内有个实根为，故所有实数根之和为

⑶当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ；

综上：当时，方程所有实数根之和为 ；

当时，方程所有实数根之和为 ；

（Ⅲ），函数的图象如图所示：

则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意，所以．