专题2.2 基本不等式-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题2.2  基本不等式

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数，满足，则的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，得 .

故选：D.

2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数满足，则的最小值是（    ）

A．18 B．9 C．6 D．2

【答案】C

【解析】因为，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为6，

故选：C

3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】A.由基本不等式可知，故A不正确；

B.，即恒成立，故B正确；

C.当时，不等式不成立，故C不正确；

D.当时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B

4．（2020·全国高一）当时，函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，由于，所以，当且仅当时，等号成立.

故选B.

5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故选：C.

6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数，，，则的最小值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，，

∴，当且仅当，即，时取等号.故选B

7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为和，其全程的平均速度为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，.

，由基本不等式可得，，

另一方面，，

，则.

故选：AD.

8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（    ）

A．； B．；

C．； D．.

【答案】ACD

【解析】对A项，当时，，则A错误；

对B项，当时，，当且仅当时，等号成立

当时，，当且仅当时，等号成立，则B正确；

对C项，当时，，则C错误；

对D项，当时，，则D错误；

故选：ACD

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高一期末（理））若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有__________个．

【答案】

【解析】，则，，.

，（1）中的不等式正确；

，则，（3）中的不等式错误；

，（2）中的不等式错误；

，则，由基本不等式可得，（4）中的不等式正确.

故答案为：.

10．（2020·江苏滨湖�辅仁高中高二期中）已知正实数满足，则的最大值是______.

【答案】

【解析】正实数，则，则，

，则，

当时等号成立.故答案为：.

11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设且恒成立，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】因为a＞b＞c，所以a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0.

又,

当且仅当，即2b=a+c时等号成立.所以m≤4.

12．（2018·浙江高三月考）已知，，则的最大值为________，的取值范围是________．

【答案】       

【解析】因为，，所以．因为，所以，解得，当且仅当时取等号．又，所以，，解得，所以的取值范围是．

故答案为：；．

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0<x<，求y＝2x－5x2的最大值；

（2）已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值.

【解析】（1）因为

已知 ，所以，

所以

所以，当且仅当，即 取等号，

所以y＝2x－5x2的最大值为：

（2）因为＋，

当且仅当 x＋y＝1，，即时，取等号，

所以 ＋的最小值.为.

14．（2017·福建高三（理））已知a，b为正实数，且.

（1）求a2＋b2的最小值；

（2）若，求ab的值．

【解析】(1)因为a，b为正实数，且，

所以，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．

因为(当且仅当a＝b时等号成立)，

所以a2＋b2的最小值为1.

(2)因为，所以，

因为，所以，即，

所以(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，

因为a，b为正实数，所以ab＝1.

15．（2020·上海高三专题练习）已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．

【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正实数，

∴（1）（1）（1）8．

∴（1）（1）（1）＞8

16．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.

（1）将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该服装厂年的促销费用投入多少万元时，利润最大？

【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为，

；

（2）由，

当且仅当，即时取等号.

答：该服装厂年的促销费用投入万元时，利润最大.