第四讲 转化与化归思想 学案

第四讲　转化与化归思想

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一、转化与化归思想的含义

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．

二、转化与化归的常见方法

1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．

3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．

4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．

5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．

6．构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．

7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．

8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．

9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．

10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA使原问题获得解决，体现了正难则反的原则．

例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝.

[思路探究]　看到a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解．

[解析]　显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以＝＝＝.

(2)已知f(x)＝，则f(－2018)＋f(－2017)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2019)＝2019.

[思路探究]　看到求f(－2018)＋f(－2017)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2019)的值，想到求f(x)＋f(1－x)的值．

[解析]　f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＝1，

所以f(0)＋f(1)＝1，f(－2018)＋f(2019)＝1，

所以f(－2018)＋f(－2017)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2019)＝2019.

『规律总结』

化一般为特殊的应用

(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．

(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．

(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．

G

1．AB是过抛物线x2＝4y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点的坐标为(0，－1).

[解析]　找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝1，则A(－2,1)，B(2,1)，过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0.同理，过点B的切线方程为x－y－1＝0，则l1，l2的交点为(0，－1)．

2．已知数列{xn}满足xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，则数列{xn}的前2019项和S2019＝1346.

[解析]　根据题意，特殊化可得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a(a≤1，a≠0)，则x1＋x2＋x3＝2又因为xn＋3＝xn，所以x4＝x1，x5＝x2，x6＝x3，即x4＋x5＋x6＝x1＋x2＋x3＝2.同理，x7＋x8＋x9＝2，x10＋x11＋x12＝2，…，而2019＝673×3，则S2019＝2×673＝1346.

例2 已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[，1]，总存在唯一的y∈[－1,1]，使得ln x－x＋1＋a＝y2ey成立，则实数a的取值范围是(  A  )

A．[，e]　　　　　 B．(，e]

C．(，＋∞)  D．(，e＋)

[解析]　设f(x)＝ln x－x＋1＋a，当x∈[，1]时，f ′(x)＝≥0，f(x)是增函数，所以x∈[，1]时，f(x)∈[a－，a]；设g(y)＝y2ey，则g′(y)＝eyy(y＋2)，则g(y)在[－1，0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g(－1)＝<g(1)＝e.因为对任意的x∈[，1]，存在唯一的y∈[－1,1]，使得f(x)＝g(y)成立，所以[a－，a]⊆[0，e]，解得≤a≤e.

『规律总结』

函数、方程与不等式相互转化的应用

(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．

(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．

G

已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f ′(x)－ax－5，其中f ′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为(－，1).

[解析]　由题意得g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1，对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，

∴即

解得－<x<1.

故x的取值范围是(－，1)．

例3 若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋(＋2)x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是(  B  )

A．(－5，－)　　　　　 B．(－，－5)

C．(－5，－2)  D．(－5，＋∞)

[解析]　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，

若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，

则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，

即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，

所以m＋4≥－3t恒成立，又t∈[1,2]，

则m＋4≥－3×1＝－1，即m≥－5；

由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，

则m＋4≤－9，即m≤－.

所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－<m<－5.

『规律总结』

转化化归思想遵循的原则

(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．

(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．

(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)．

(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．

G

若抛物线y＝x2上的所有弦都不能被直线y＝k(x－3)垂直平分，则k的取值范围是(  D  )

A．(－∞，]　　　　　　 B．(－∞，)

C．(－，＋∞)  D．[－，＋∞)

[解析]　设抛物线y＝x2上两点A(x1，x)，B(x2，x)关于直线y＝k(x－3)对称，AB的中点为P(x0，y0)，则x0＝，y0＝.由题设知＝－，所以＝－.又AB的中点P(x0，y0)在直线y＝k(x－3)上，所以＝k()＝k(－3)＝－，所以中点P(－，－)．由于点P在y>x2的区域内，则－>(－)2，整理得(2k＋1)(6k2－2k＋1)<0，解得k<－.因此当k<－时，抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝k(x－3)对称，于是当k≥－时，抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝k(x＝3)对称．所以实数k的取值范围是[－，＋∞)．故选D．