第一讲　坐标系与参数方程 学案

专题八　选修系列4
第一讲　坐标系与参数方程

高考考点
考点解读
参数方程
1.直线、圆、椭圆、抛物线的参数方程
2．参数方程与普通方程的互化
极坐标
1.常见的直线及圆的极坐标方程
2．极坐标方程与直角坐标方程的互化
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下知识点：
一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二是由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题的应用等，考查知识点较为简单和稳定，这也为大家的备考指明了方向．

Z
1．直角坐标与极坐标的互化公式
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则

2．圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程
①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；
③当圆心位于M(a，)，半径为a：ρ＝2asinθ.
3．直线的极坐标方程
(1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
(2)几个特征位置的直线的极坐标方程
①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
③直线过M(b，)且平行于极轴：ρsinθ＝b.
4．几种常见曲线的参数方程
(1)圆
①以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．
②当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数．
(2)椭圆
①椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．
②椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．
(3)直线
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．
5．直线参数方程中参数t的几何意义
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)①.
通常称①为直线l的参数方程的“标准式”，其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.
当0<α<π时，sinα>0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上．此时，若t>0，则的方向向上；若t<0，则的方向向下；若t＝0，则点M与点M0重合，即当点M在M0上方时，有t＝||；当点M在M0下方时，有t＝－||.
Y
1．极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．
2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．

1．(2018·全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程．
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[解析]　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上可得，k＝－，C1的方程为：y＝－|x|＋2.
2．(2018·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程．
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
[解析]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
3．(2018·全国卷Ⅲ，22)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为 (θ为参数)，过点且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解析]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数，<α<)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数，<α<)．
4．(2018·江苏卷，21C)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin ＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．
[解析]　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，
则直线l过A(4,0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB＝.
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA＝，
所以AB＝4cos＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.


例1 (2018·江苏一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos(θ－)＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[解析]　(1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；
因为ρ2－2ρcos(θ－)＝2，
所以ρ2－2ρ(cosθcos＋sinθsin)
＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，
即ρsin(θ＋)＝.
『规律总结』
直角坐标与极坐标方程的互化及应用
(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可．
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．
G
(2017·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为(2，)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[解析]　设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·|sin(α－)|
＝2|sin(2α－)－|≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.

例2 (2018·衡水一模)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(α为参数)．
(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；
(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的抛迹方程．
[解析]　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，普通方程为y＝mx，圆C的参数方程为(α为参数)，
普通方程为x2＋(y－1)2＝1，
圆心到直线l的距离d＝，
相交弦长＝2，
所以2≥，
所以m≤－1或m≥1.
(2)设P(cosα，1＋sinα)，Q(x，y)，则
x＝(cosα＋2)，y＝(1＋sinα)，
消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程(x－1)2＋(y－)2＝.
『规律总结』
参数方程化为普通方程消去参数的方法
(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．
(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．
(3)常见消参数的关系式：
①t·＝1；
②(t＋)2－(t－)2＝4；
③()2＋()2＝1.
G
(2017·全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
[解析]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由
解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，(－，)．
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，
故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为
d＝.
当a≥－4时，d的最大值为.
由题设得＝，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为.
由题设得＝，
所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.

例3 在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
[解析]　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(，)．
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sinα，α)，
B的极坐标为(2cosα，α)．
所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
『规律总结』
解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法
与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆，处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程，利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题，另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程，化为三角函数的最值问题处理．
G
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝4.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．
[解析]　(1)对于曲线C1有
则()2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，
即C1的普通方程为＋y2＝1.
对于曲线C2有ρsin(θ＋)＝ρ(cosθ＋sinθ)＝4⇔ρcosθ＋ρsinθ＝8⇔x＋y－8＝0，所以C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.
(2)显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P(cosα，sinα)到直线x＋y－8＝0的距离为d＝＝，
当sin(α＋)＝1时，d取最小值为3，此时点P的坐标为(，)．

A组
1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy中相同)的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝2acosθ(a>0)，l与C相切于点P.
(1)求C的直角坐标方程；
(2)求切点P的极坐标．
[解析]　(1)l表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线，曲线C表示以C′(a,0)为圆心，a为半径的圆．
∵l与C相切，∴a＝(3－a)，⇒a＝1.
于是曲线C的方程为ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，
于是x2＋y2＝2x，
故所求C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
(2)∵∠POC′＝∠OPC′＝30°，∴OP＝.
∴切点P的极坐标为(，)．
2．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
[解析]　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为(φ为参数)．
(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m：(t为参数)平行的直线l的普通方程．
(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值．
[分析]　(1)由直线l与直线m平行可得l的斜率，将椭圆C的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l方程．
(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．
[解析]　(1)由C的参数方程可知，a＝5，b＝3，∴c＝4，∴右焦点F2(4,0)，将直线m的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0，所以k＝，于是所求直线方程为x－2y－4＝0.
(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤)，则S＝4|xy|＝60sinφcosφ＝30sin2φ，∴当2φ＝时，Smax＝30，
即矩形面积的最大值为30.
4．(2018·邯郸一模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2sinθ，ρcos(θ－)＝.
(1)求C1和C2交点的极坐标；
(2)直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
[解析]　(1)C1，C2极坐标方程分别为ρ＝2sinθ，ρcos(θ－)＝，
化为直角坐标方程分别为x2＋(y－1)2＝1，x＋y－2＝0.
得交点坐标为(0,2)，(1,1)．
即C1和C2交点的极坐标分别为(2，)，(，)．
(2)把直线l的参数方程：(t为参数)，代入x2＋(y－1)2＝1，
得(－＋t)2＋(t－1)2＝1，
即t2－4t＋3＝0，t1＋t2＝4，t1t2＝3，
所以|PA|＋|PB|＝4.
B组
1．(2017·全国卷Ⅲ，22)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解析]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，
联立
得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．
故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为.
2．在平面直角坐示系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)．
(1)若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；
(2)当a＝3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．
[解析]　(1)曲线C1：的普通方程为y＝3－2x.
曲线C1与x轴的交点为(，0)．
曲线C2：的普通方程为＋＝1.
曲线C2与x轴的交点为(－a,0)，(a,0)．
由a>0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知a＝.
(2)当a＝3时，曲线C2：为圆x2＋y2＝9.
圆心到直线y＝3－2x的距离d＝＝.
所以A，B两点的距离|AB|＝2＝
2＝.
3．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.
(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
[解析]　(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.
(Ⅱ)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．
所以a＝1.
4．(2018·邵阳三模)在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线．
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为(1,0)，试求当α＝时，|PA|＋|PB|的值．
[解析]　(1)曲线C：ρ＝2cos(θ＋)，
可以化为ρ2＝2ρcos(θ＋)，ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ，
因此，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0.
它表示以(1，－1)为圆心，为半径的圆．
(2)当α＝时，直线的参数方程为(t为参数)
点P(1,0)在直线上，且在圆C内，把代入x2＋y2－2x＋2y＝0中得t2＋t－1＝0.
设两个实数根为t1，t2，则A，B两点所对应的参数为t1，t2，
则t1＋t2＝－，t1t2＝－1.
所以|PA|＋|PB|＝|t1－t2|
＝＝.