第六讲 填空题的解题方法

第六讲　填空题的解题方法

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题型地位

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题，这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现．填空题的分值一般占全卷的13%左右．

题型特点

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等．由于填空题和选择题相比，缺少选项的信息，所以高考题多以定量型问题出现．

(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等，近几年又出现了定性型的具有多重选择性的填空题．

解题策略

数学填空题绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，所以在解填空题时，一般要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，并且还要将答案表达准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本要求，简言之，解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略就是“准”“巧”“快”．其基本方法一般有直接求解法、图象法和特殊法以及等价转化法等．另外，在解答填空题时还应注意以下几点：

(1)结果要书写规范，如分式的分母不含根式，特殊角的函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求等．

(2)结果要完整，如函数的解析式要写出定义域，应用题不要忘记写单位，求轨迹要排除不满足条件的点等．

(3)结果要符合教材要求，如求不等式的解集要写成集合或区间的形式，不能只用一个不等式表示．

总之，解填空题的基本原则是“直扑结果”．

对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法．它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．

例1 (1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝4.

[解析]　在△ABC中，因为3sinA＝2sinB．由正弦定理可知3a＝2b，

因为a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知

c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×＝16，

所以c＝4.

(2)(2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是[－1，].

[解析]　因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－

＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)．

所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数，

因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，

所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．

因为f ′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，

所以f(x)在R上单调递增，

所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，

所以－1≤a≤.

『规律总结』

直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题关键．

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1．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f＝－2.

[解析]　因为函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以

f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，所以－f(1)＝f(1)，即f(1)＝0，f＝f＝f＝－f＝－4＝－2，所以f＋f(1)＝－2.

2．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x.

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，

∴y1＋y2＝.

又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，

∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，

∴＝p，即＝，

∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．

例2 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线经过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，点M是这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2p，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.

[解析]　由抛物线的定义可知，点M到准线x＝－＝－a的距离就是|MF|＝2p，不妨设点M在第一象限，则点M的横坐标为，代入y2＝2px，得点M(，p)，即M(3a,2a)，代入－＝1，得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.

『规律总结』

特例法的理论依据：若对所有值都成立，那么特殊值也成立．我们可以利用填空题不需要过程、只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求解．

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如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若＝λ，＝μ，则＋＝2.

[解析]　由题意可知，＋的值与点P、Q的位置无关，而当直线PQ与直线BC重合时，则有λ＝μ＝1，所以＋＝2.

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．

例3 若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)且x∈[1,3]时，f(x)＝－x2＋4x－3，函数g(x)＝则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－3,3]上根的个数为4.

[解析]　由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，可知此函数是周期为2的周期函数，因为方程f(x)－g(x)＝0在区间[－3,3]内根的个数，即函数f(x)和g(x)图象交点的个数．画出f(x)和g(x)的图象(如图所示)，得两图象有4个交点，即方程f(x)－g(x)＝0在区间[－3,3]上根的个数为4.

『规律总结』

数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．

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函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为2.

[解析]　函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－

|ln(x＋1)|的零点个数等价于方程

4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|＝0的根的个

数，即函数g(x)＝4cos2cos－2sinx＝sin2x与h(x)＝|ln(x＋1)|的图象交点个数．分别画出其函数图象的草图如图所示，由图可知，函数g(x)与h(x)的图象有2个交点．

用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．

例4 (1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于π.

[解析]　如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，

所以R＝，故球O的体积V＝＝π.

(2)已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf ′(x)恒成立，则不等式x2f()－f(x)>0的解集

为(  C  )

A．(0,1)　　　　　 B．(1,2)

C．(1，＋∞)  D．(2，＋∞)

[解析]　设g(x)＝，则g′(x)＝，又因为f(x)>xf ′(x)，所以g′(x)＝<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g(x)＝为(0，＋∞)上的减函数，又因为x2f()－f(x)>0⇔>⇔g()>g(x)，则有<x，解得x>1.故选C．

『规律总结』

构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．

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设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x)，且f ′(x)<f(x)，则关于x的不等式xf(1)<ef(ln x)的解集为(1，e).

[解析]　设函数g(x)＝，则g′(x)＝＝<0，所以g(x)＝为(0，＋∞)上的单调递减函数．当x>0时，不等式xf(1)<ef(ln x)等价于>，即>，所以0<ln x<1，即1<x<e.

多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论，这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间正反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．

例5 对于函数f(x)＝给出下列四个结论：

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；

③该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称；

④当且仅当2kπ<x<＋2π(k∈Z)时，0<f(x)≤.

其中正确结论的序号是③④.(请将所有正确结论的

序号都填上)

[解析]　如图所示，作出f(x)在区间[0,2π]上的图象．由图象易知，函数f(x)的最小正周期为2π；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故①②错误．由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称；当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤，故③④正确．

『规律总结』

正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断，利用正反互推结合可以快速解决这类问题．

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已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 017)＋f(－2 018)的值为0；②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有①③④.

[解析]　根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和

函数f(x)的图象如下：

根据图象可知①f(2 017)＋f(－2 018)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．

对于概念与性质的判断等类型的填空题，应按照相关的定义、性质、定理等进行合乎逻辑的推理和判断，尤其是新定义型问题．必须进行严密的逻辑推理，才能得到正确的结果．

例6 (2017·贵阳监测)已知不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，照此规律总结出第n个不等式为1＋＋＋…＋＋<.

[解析]　由已知，三个不等式可以写成1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，所以照此规律可得到第n个不等式为1＋＋＋…＋＋<＝.

『规律总结』

推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．

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已知12＝×1×2×3,12＋22＝×2×3×5,12＋22＋32＝×3×4×7,12＋22＋32＋42＝×4×5×9，…，则12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(其中n∈N*)．

[解析]　根据题意归纳出12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，下面给出证明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，故填n(n＋1)(2n＋1)．