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2019届二轮复习第4讲转化与化归思想学案（全国通用）
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第四讲 转化与化归思想
要点一 特殊与一般的转化
[解析] (1)f(x)＝－x显然符合题中条件，易得f(x)＝－x在区间[a，b]上有最大值f(a)．故选B．
(2)令a＝4，c＝5，b＝3，则符合题意．
则由∠C＝90°，得tan＝1，由tanA＝，
得tan＝.
所以tan·tan＝·1＝.故选C．
[答案] (1)B (2)C
化一般为特殊的应用要点
把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速．常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量．
[对点训练]
1．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若＝＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部
[解析] 取λ＝1，则2＝，因为边AB的中点为D，所以＋＝2，所以＋＝－，所以＝，所以A，C，P三点共线，因此点P一定在AC边所在的直线上，故选C．
[答案] C
2．(2018·银川质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则＝________.
[解析] 令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，
且cosA＝cosC＝，
代入所求式子，得＝＝.
[答案]
要点二 函数、方程、不等式间的转化
[解析] (1)由题易得f ′(x)＝3x2－12x＋4，因为a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，所以a3，a2017是方程3x2－12x＋4＝0的两个不等实数根，所以a3＋a2017＝4.又数列{an}为等差数列，所以a3＋a2017＝2a1010，即a1010＝2，从而＝－，故选B．
(2)设|MA|＝a>0，因为|OM|＝2，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝＝＝×≥×2 ＝，当且仅当a＝2时等号成立，所以∠OMA≤，即∠OMA的最大值为.
[答案] (1)B (2)C
函数、方程与不等式间的转化策略
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简．本例(1)将函数的极值点转化为导函数的零点，再转化为方程的两个实根．(2)将∠OMA的最值转化为其三角函数值的最值，这样才能更好地进行运算．一般可将函数的零点与方程的根相互转化，将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
[对点训练]
3．(2018·银川二模)若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围为( )
A．(－∞，－5)∪(10，＋∞) B．[－5,10)
C．(－5,10) D．[－5,10]
[解析] 因为点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，所以(5＋m)(－10＋m)<0，解得－5
4．(2018·贵阳摸底)已知直线l过点A(2,3)且与x轴、y轴的正半轴分别交于M、N两点，则当|AM|·|AN|最小时，直线l的方程为________．
[解析] 设∠AMO为θ，则θ∈，
∴|AM|＝，|AN|＝.
∴|AM|·|AN|＝＝≥12.
当且仅当sin2θ＝1，即θ＝时取“＝”号．
此时kl＝－1，∴l的方程为x＋y－5＝0.
[答案] x＋y－5＝0
要点三 正与反的转化
[解析] (1)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则
①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立；
②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，
所以m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
所以，函数g(x)在区间(t,3)上不为单调函数的m的取值范围为－
[答案] (1)A (2)[4，＋∞)
正与反的转化要点
正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．
[对点训练]
5．若命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2,6] B．[－6，－2]
C．(2,6) D．(－6，－2)
[解析] 因为命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，所以命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，所以Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，所以2≤m≤6.故选A．
[答案] A
6．(2018·日照一中模拟)设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q⇒綈p，且綈p綈q等价于p⇒q，且qp.
记p：A＝{x||4x－3|≤1}＝，q：B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}，则AB．
从而且两个等号不同时成立，解得0≤a≤.
故所求实数a的取值范围是.
[答案]
要点四 主与次的转化
[解析] (1)因为x∈[－2,2]，
当x＝0时，原式为02－a·0＋1≥0恒成立，此时a∈R；
当x∈(0,2]时，原不等式可化为a≤，而≥＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a的取值范围是(－∞，2]；
当x∈[－2,0)时，可得a≥，
令f(x)＝＝x＋，
由函数的单调性可知，f(x)max＝f(－1)＝－2，
所以a∈[－2，＋∞)．
综上可知，a的取值范围是[－2,2]．
(2)因为a∈[－2,2]，则可把原式看作关于a的函数，
即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，
由题意可知，解之得x∈R，
所以x的取值范围是(－∞，＋∞)．
[答案] (1)[－2,2] (2)(－∞，＋∞)
主与次的转化要点
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”．
[对点训练]
7．(2018·陕西汉中模拟)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2] B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2]
[解析] mx2＋2mx－4<2x2＋4x，即(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，对任意x均成立，当m＝2时，适合题意；当m<2时，由Δ<0，即4(m－2)2＋16(m－2)<0得m>－2.所以－2
8．(2018·衡水中学检测)对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________．
[解析] 设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.
f(p)在0≤p≤4上恒正，等价于
即解得x>3或x<－1.
[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
转化与化归思想的四项原则
1．熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
2．简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
3.和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．
4．正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．
专题跟踪训练(四)
一、选择题
1．(2018·甘肃兰州一诊)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＋a7＝24，则S9等于( )
A．36 B．72
C．144 D．288
[解析] 解法一：因为{an}是等差数列，又a3＋a5＋a7＝3a5＝24，
所以a5＝8.
S9＝＝9a5＝72.故选B．
解法二：不妨设等差数列{an}的公差为0，
则由a3＋a5＋a7＝24，
得a1＝an＝8，则S9＝9a1＝9×8＝72.故选B．
[答案] B
2．过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则·的值为( )
A．a2 B．b2
C．2ab D．a2＋b2
[解析] 当直线PQ与x轴重合时，||＝||＝A．故选A．
[答案] A
3．(2018·山西四校联考)P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和圆(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，则其分别为已知两圆的圆心，
由已知|PF1|－|PF2|＝2×3＝6.
要使|PM|－|PN|最大，需PM，PN分别过F1、F2点即可．
∴(|PM|－|PN|)max＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)
＝|PF1|－|PF2|＋3＝9.故选D．
[答案] D
4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )
A． B．
C． D．
[解析]
由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝1，母线长为l＝3的圆锥，则圆锥的高为h＝＝＝2.
由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD－A1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1在圆锥的底面上，过平面AA1C1C的轴截面如图所示，设正方体的棱长为x，则有＝，即＝，解得x＝，则原工件的材料利用率为＝＝，故选A．
[答案] A
5．(2018·广东广州一模)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A． B．
C． D．
[解析] 由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率，四个人抛，共有24＝16种不同的情况，其中有两个人同为正面且相邻需要站起来的有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率P＝＝(转化为对立事件求解)，故没有相邻的两人站起来的概率P＝1－＝.故选B．
[答案] B
6．(2018·湖南长沙模拟)若对任意的x∈[0,1]，总存在唯一的y∈[－1,1]，使得x＋y2ey－a＝0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[1，e] B．
C．(1，e] D．
[解析] 方程x＋y2ey－a＝0，即y2ey＝a－x，
构造函数f(x)＝x2ex(转化为函数)
则f′(x)＝(x2＋2x)ex，
当－1≤x<0时，f′(x)<0，f(x)在[－1,0)上单调递减；
当00，f(x)在(0,1]上单调递增．
且f(－1)＝，f(0)＝0，f(1)＝e，
因为存在唯一的y，
所以f(x)∈.
g(x)＝a－x在[0,1]上的值域为[a－1，a]，
若对任意的x∈[0,1]，总存在唯一的y∈[－1,1]，
使得x＋y2ey－a＝0成立，等价于[a－1，a]⊆，
故a－1>且a≤e，即1＋
二、填空题
7．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围为________．
[解析] 如果在[－1,1]内没有值满足f(c)>0，则⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3
8．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
[解析] 设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)>0恒成立，则由即
解得log2x<－1或log2x>3.
即08，
故x的取值范围是∪(8，＋∞)．
[答案] ∪(8，＋∞)
9.如图，已知三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为________．
[解析] 因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．
把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，
易知三棱锥P－ABC的各棱分别是长方体的面对角线．
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，
由已知有
解得x＝6，y＝8，z＝10，
从而知三棱锥P－ABC的体积为
V三棱锥P－ABC＝V长方体AEBG－FPDC－V三棱锥P－AEB－V三棱锥C－ABG－V三棱锥B－PDC－V三棱锥A－FPC
＝V长方体AEBG－FPDC－4V三棱锥P－AEB
＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
[答案] 160
三、解答题
10．(2018·广西南宁监测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1的区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
[解] (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2,0]．
11．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)如图，过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设圆心C(a,0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
12．已知函数f(x)＝lnx－(x＋1)．
(1)求函数f(x)的极大值；
(2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．
[解] (1)∵f(x)＝lnx－(x＋1)，
∴f′(x)＝－1(x>0)．
令f′(x)>0，解得0
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)极大值＝f(1)＝－2.
(2)证明：由(1)知x＝1是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，
∴f(x)≤f(1)＝－2，即lnx－(x＋1)≤－2⇒lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，
令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1)，
取t＝(n∈N*)时，
则>ln＝ln，
∴1>ln2，>ln，>ln，…，>ln，
叠加得1＋＋＋…＋
>ln＝ln(n＋1)．
即1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．
要点一 特殊与一般的转化
[解析] (1)f(x)＝－x显然符合题中条件，易得f(x)＝－x在区间[a，b]上有最大值f(a)．故选B．
(2)令a＝4，c＝5，b＝3，则符合题意．
则由∠C＝90°，得tan＝1，由tanA＝，
得tan＝.
所以tan·tan＝·1＝.故选C．
[答案] (1)B (2)C
化一般为特殊的应用要点
把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速．常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量．
[对点训练]
1．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若＝＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部
[解析] 取λ＝1，则2＝，因为边AB的中点为D，所以＋＝2，所以＋＝－，所以＝，所以A，C，P三点共线，因此点P一定在AC边所在的直线上，故选C．
[答案] C
2．(2018·银川质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则＝________.
[解析] 令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，
且cosA＝cosC＝，
代入所求式子，得＝＝.
[答案]
要点二 函数、方程、不等式间的转化
[解析] (1)由题易得f ′(x)＝3x2－12x＋4，因为a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，所以a3，a2017是方程3x2－12x＋4＝0的两个不等实数根，所以a3＋a2017＝4.又数列{an}为等差数列，所以a3＋a2017＝2a1010，即a1010＝2，从而＝－，故选B．
(2)设|MA|＝a>0，因为|OM|＝2，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝＝＝×≥×2 ＝，当且仅当a＝2时等号成立，所以∠OMA≤，即∠OMA的最大值为.
[答案] (1)B (2)C
函数、方程与不等式间的转化策略
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简．本例(1)将函数的极值点转化为导函数的零点，再转化为方程的两个实根．(2)将∠OMA的最值转化为其三角函数值的最值，这样才能更好地进行运算．一般可将函数的零点与方程的根相互转化，将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
[对点训练]
3．(2018·银川二模)若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围为( )
A．(－∞，－5)∪(10，＋∞) B．[－5,10)
C．(－5,10) D．[－5,10]
[解析] 因为点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，所以(5＋m)(－10＋m)<0，解得－5
4．(2018·贵阳摸底)已知直线l过点A(2,3)且与x轴、y轴的正半轴分别交于M、N两点，则当|AM|·|AN|最小时，直线l的方程为________．
[解析] 设∠AMO为θ，则θ∈，
∴|AM|＝，|AN|＝.
∴|AM|·|AN|＝＝≥12.
当且仅当sin2θ＝1，即θ＝时取“＝”号．
此时kl＝－1，∴l的方程为x＋y－5＝0.
[答案] x＋y－5＝0
要点三 正与反的转化
[解析] (1)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则
①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立；
②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，
所以m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
所以，函数g(x)在区间(t,3)上不为单调函数的m的取值范围为－
[答案] (1)A (2)[4，＋∞)
正与反的转化要点
正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．
[对点训练]
5．若命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2,6] B．[－6，－2]
C．(2,6) D．(－6，－2)
[解析] 因为命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，所以命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，所以Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，所以2≤m≤6.故选A．
[答案] A
6．(2018·日照一中模拟)设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q⇒綈p，且綈p綈q等价于p⇒q，且qp.
记p：A＝{x||4x－3|≤1}＝，q：B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}，则AB．
从而且两个等号不同时成立，解得0≤a≤.
故所求实数a的取值范围是.
[答案]
要点四 主与次的转化
[解析] (1)因为x∈[－2,2]，
当x＝0时，原式为02－a·0＋1≥0恒成立，此时a∈R；
当x∈(0,2]时，原不等式可化为a≤，而≥＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a的取值范围是(－∞，2]；
当x∈[－2,0)时，可得a≥，
令f(x)＝＝x＋，
由函数的单调性可知，f(x)max＝f(－1)＝－2，
所以a∈[－2，＋∞)．
综上可知，a的取值范围是[－2,2]．
(2)因为a∈[－2,2]，则可把原式看作关于a的函数，
即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，
由题意可知，解之得x∈R，
所以x的取值范围是(－∞，＋∞)．
[答案] (1)[－2,2] (2)(－∞，＋∞)
主与次的转化要点
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”．
[对点训练]
7．(2018·陕西汉中模拟)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2] B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2]
[解析] mx2＋2mx－4<2x2＋4x，即(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，对任意x均成立，当m＝2时，适合题意；当m<2时，由Δ<0，即4(m－2)2＋16(m－2)<0得m>－2.所以－2
8．(2018·衡水中学检测)对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________．
[解析] 设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.
f(p)在0≤p≤4上恒正，等价于
即解得x>3或x<－1.
[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
转化与化归思想的四项原则
1．熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
2．简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
3.和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．
4．正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．
专题跟踪训练(四)
一、选择题
1．(2018·甘肃兰州一诊)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＋a7＝24，则S9等于( )
A．36 B．72
C．144 D．288
[解析] 解法一：因为{an}是等差数列，又a3＋a5＋a7＝3a5＝24，
所以a5＝8.
S9＝＝9a5＝72.故选B．
解法二：不妨设等差数列{an}的公差为0，
则由a3＋a5＋a7＝24，
得a1＝an＝8，则S9＝9a1＝9×8＝72.故选B．
[答案] B
2．过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则·的值为( )
A．a2 B．b2
C．2ab D．a2＋b2
[解析] 当直线PQ与x轴重合时，||＝||＝A．故选A．
[答案] A
3．(2018·山西四校联考)P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和圆(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，则其分别为已知两圆的圆心，
由已知|PF1|－|PF2|＝2×3＝6.
要使|PM|－|PN|最大，需PM，PN分别过F1、F2点即可．
∴(|PM|－|PN|)max＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)
＝|PF1|－|PF2|＋3＝9.故选D．
[答案] D
4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )
A． B．
C． D．
[解析]
由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝1，母线长为l＝3的圆锥，则圆锥的高为h＝＝＝2.
由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD－A1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1在圆锥的底面上，过平面AA1C1C的轴截面如图所示，设正方体的棱长为x，则有＝，即＝，解得x＝，则原工件的材料利用率为＝＝，故选A．
[答案] A
5．(2018·广东广州一模)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A． B．
C． D．
[解析] 由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率，四个人抛，共有24＝16种不同的情况，其中有两个人同为正面且相邻需要站起来的有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率P＝＝(转化为对立事件求解)，故没有相邻的两人站起来的概率P＝1－＝.故选B．
[答案] B
6．(2018·湖南长沙模拟)若对任意的x∈[0,1]，总存在唯一的y∈[－1,1]，使得x＋y2ey－a＝0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[1，e] B．
C．(1，e] D．
[解析] 方程x＋y2ey－a＝0，即y2ey＝a－x，
构造函数f(x)＝x2ex(转化为函数)
则f′(x)＝(x2＋2x)ex，
当－1≤x<0时，f′(x)<0，f(x)在[－1,0)上单调递减；
当0
且f(－1)＝，f(0)＝0，f(1)＝e，
因为存在唯一的y，
所以f(x)∈.
g(x)＝a－x在[0,1]上的值域为[a－1，a]，
若对任意的x∈[0,1]，总存在唯一的y∈[－1,1]，
使得x＋y2ey－a＝0成立，等价于[a－1，a]⊆，
故a－1>且a≤e，即1＋
二、填空题
7．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围为________．
[解析] 如果在[－1,1]内没有值满足f(c)>0，则⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3
8．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
[解析] 设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)>0恒成立，则由即
解得log2x<－1或log2x>3.
即0
故x的取值范围是∪(8，＋∞)．
[答案] ∪(8，＋∞)
9.如图，已知三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为________．
[解析] 因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．
把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，
易知三棱锥P－ABC的各棱分别是长方体的面对角线．
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，
由已知有
解得x＝6，y＝8，z＝10，
从而知三棱锥P－ABC的体积为
V三棱锥P－ABC＝V长方体AEBG－FPDC－V三棱锥P－AEB－V三棱锥C－ABG－V三棱锥B－PDC－V三棱锥A－FPC
＝V长方体AEBG－FPDC－4V三棱锥P－AEB
＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
[答案] 160
三、解答题
10．(2018·广西南宁监测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1的区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
[解] (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2,0]．
11．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)如图，过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设圆心C(a,0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
12．已知函数f(x)＝lnx－(x＋1)．
(1)求函数f(x)的极大值；
(2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．
[解] (1)∵f(x)＝lnx－(x＋1)，
∴f′(x)＝－1(x>0)．
令f′(x)>0，解得0
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)极大值＝f(1)＝－2.
(2)证明：由(1)知x＝1是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，
∴f(x)≤f(1)＝－2，即lnx－(x＋1)≤－2⇒lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，
令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1)，
取t＝(n∈N*)时，
则>ln＝ln，
∴1>ln2，>ln，>ln，…，>ln，
叠加得1＋＋＋…＋
>ln＝ln(n＋1)．
即1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．
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