第三讲 分类与整合思想 学案

第三讲　分类与整合思想

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一、分类与整合思想的含义

分类与整合思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．

二、分类与整合的常见类型

有关分类与整合的数学问题需要运用分类与整合思想来解决，引起分类与整合的原因大致可归纳为如下几种：

1．由数学概念引起的分类与整合：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．

2．由性质、定理、公式的限制引起的分类与整合：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．

3．由数学运算要求引起的分类与整合：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．

4．由图形的不确定性引起的分类与整合：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．

5．由参数的变化引起的分类与整合：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．

6．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．

例1 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝－.

[解析]　当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意，得无解．

当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得

所以a＋b＝－.

『规律总结』

“四步”解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题

第一步：确定分类对象：一般把需要用到概念、法则、公式解决问题的对象作为分类目标．

第二步：确定分类标准：运用概念、法则、公式对分类对象进行区分．

第三步：分类解决“分目标”：对分类出来的“分目标”分别进行处理．

第四步：汇总“分目标”：将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．

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1．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在区间[0，＋∞)上是增函数，则a＝.

[解析]　若a>1，则a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．

若0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，

故a＝，m＝，此时g(x)＝在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．

综上可知，a＝.

2．已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为1或－.

[解析]　f(1)＝e0＝1，，即f(1)＝1，

由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.

当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1，

当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，

所以πa2＝2kπ＋(k∈Z)．

所以a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝.因为－1<a<0，所以a＝－.故a＝1或－.

例2 (1)在约束条件下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(  D  )

A．[6,15]　　　　 B．[7,15]

C．[6,8]  D．[7,8]

[解析]　(1)由⇒取点A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．

①当3≤s<4时，可行域是四边形OABC，如图1所示．此时，7≤z<8.

②当4≤s≤5时，此时可行域是△OAC′，如图2所示，zmax＝8.

综上，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7,8]．

(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为或.

[解析]　不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，

若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，

|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；

若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，

|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝.

所以圆锥曲线T的离心率为或.

『规律总结』

图形位置或形状的变化中常见的分类

圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．

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(2017·郑州三模)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为或2.

[解析]　若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，

又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，

解得|PF1|＝，|PF2|＝，

所以＝.

若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，

所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20.

所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.

综上知，＝或2.

(文) 例3 设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．

[思路探究]　看到求f(x)＝x3－ax－b的单调区间，想到对参数a进行分类整合，分为a≤0和a>0两种情况．

[解析]　由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.

下面分两种情况讨论：

①当a≤0时，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立．

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表：

所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.

『规律总结』

几种常见的由参数变化引起的分类与整合

(1)含有参数的不等式的求解．

(2)含有参数的方程的求解．

(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题．

(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．

(5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．

(理) 例3 已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x)．

(1)若函数g(x)过点(1,1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；

(2)判断函数f(x)的单调性．

[解析]　(1)因为函数g(x)过点(1,1)，

所以1＝，

解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.

所以f ′(x)＝＋＝.

所以f ′(0)＝3.

所以所求的切线的斜率为3.

又f(0)＝0，所以切点为(0,0)．

故所求的切线方程为y＝3x.

(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x>－1)，

所以f ′(x)＝＋＝.

①当a≥0时，因为x>－1，所以f ′(x)>0.

②当a<0时，由得－1<x<－1－a；

由得x>－1－a.

综上可知，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)内单调递增；当a<0时，函数f(x)在(－1，－1－a)内单调递减，在(－1－a，＋∞)内单调递增．

『规律总结』

1．几种常见的由参数变化引起的分类讨论

(1)含有参数的不等式的求解．

(2)含有参数的方程的求解．

(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题．

(4)二元一次方程表示曲线类型的判定等．

2．利用分类讨论思想的注意点

(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．

(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏．

(3)讨论结果归类合并，最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．

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当实数x，y满足时，ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是(－∞，].

[解析]　由约束条件作可行域如图，

联立解得C(1，)．

联立解得B(2,1)．

在x－y－1＝0中取y＝0得A(1,0)．

由ax＋y≤4得y≤－ax＋4，

要使ax＋y≤4恒成立，

则平面区域在直线y＝－ax＋4的下方，

若a＝0，则不等式等价于y≤4，此时满足条件，

若－a>0，即a<0，平面区域满足条件，

若－a<0，即a>0时，要使平面区域在直线y＝－ax＋4的下方，则只要B在直线上或直线下方即可．

即2a＋1≤4，得0<a≤.综上a≤.

所以实数a的取值范围是(－∞，]．