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    第一讲 函数与方程思想 学案

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    专题九   数学思想方法精析

    第一讲 函数与方程思想

    Z

    一、函数思想

    就是用运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系并用函数的解析式将其表示出来从而通过研究函数的图象和性质使问题获解

    二、方程思想

    就是分析数学中的变量间的等量关系构建方程或方程组转化为对方程的解的讨论 从而使问题获解

    三、函数思想与方程思想联系

    函数思想与方程思想是密切相关的如函数问题可以转化为方程问题来解决方程问题也可以转化为函数问题加以解决如解方程f(x)0就是求函数yf(x)的零点解不等式f(x)>0(f(x)<0)就是求函数yf(x)的正(或负)区间再如方程f(x)g(x)的解的问题可以转化为函数yf(x)yg(x)的交点问题也可以转化为函数yf(x)g(x)x轴的交点问题方程f(x)a有解当且仅当a属于函数f(x)的值域函数与方程的这种相互转化关系十分重要

    1 (1)已知f(x)log2xx[2,16]对于函数f(x)值域内的任意实数m使x2mx4>2m4x恒成立的实数x的取值范围为(  D  )

    A(,-2]

    B[2,+)

    C(,-2][2,+)

    D(,-2)(2,+)

    [解析] 因为x[2,16],所以f(x)log2x[1,4],即m[1,4]不等式x2mx4>2m4x恒成立,即为m(x2)(x2)2>0恒成立

    g(m)(x2)m(x2)2

    则此函数在区间[1,4]上恒大于0

    所以

    解得x<2x>2.

    (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)>f()a的取值范围是().

    [解析] f是偶函数且f上单调递增可知,f(x)上单调递减

    又因为f>fff

    所以2<,即<,解得<a<.

    『规律总结』

    函数与方程思想在不等式问题中的应用要点

    (1)在解决不等式成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,然后利用函数的最值解决问题

    (2)要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化一般地,已知范围的量为变量,而待求范围的量为参数

    G

    1(2018·太原)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)满足f(x)>f(x)f(0)1则不等式<1的解集为(  B  )

    A(0)        B(0,+)

    C(2)  D(2,+)

    [解析] 构造函数g(x),则g(x).由题意得g(x)<0恒成立,所以函数g(x)R上单调递减又因为g(0)1,所以<1.

    g(x)<1,所以x>0,所以不等式的解集为(0,+)

    2若不等式x2ax10对一切x(0]恒成立a的最小值为(  C  )

    A0    B.-2    

    C.-    D.-3

    [解析] 因为x2ax10

    a=-(x),令g(x)=-(x)

    0<x时,g(x)=-(x)递增,

    g(x)maxg()=-,故a

    a的最小值为-.

    2 f(x)是定义在R上的偶函数对任意xR都有f(x4)f(x)且当x[2,0]f(x)()x6.若在区间(2,6]内关于x的方程f(x)loga(x2)0(a>1)恰有3个不同的实数根则实数a的取值范围是(2).

    [解析] f(x4)f(x),即函数f(x)的周期为4

    因为当x[2,0]时,f(x)()x6.

    所以若x[0,2],则-x[2,0]

    f(x)()x63x6

    因为f(x)是偶函数,

    所以f(x)3x6f(x)

    f(x)3x6x[0,2]

    f(x)loga(x2)0f(x)loga(x2)

    作出函数f(x) 图象如图

    a>1时,要使方程f(x)loga(x2)0恰有3个不同的实数根,

    则等价于函数f(x)g(x)loga(x2)3个不同的交点,

    则满足

    解得<a<2,故a的取值范围是(2)

    『规律总结』

    利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路

    (1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题,应用函数思想把方程根的问题转论为函数零点问题

    (2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决

    G

    已知函数f(x)xcosx则方程f(x)所有根的和为(  C  )

    A0    B    

    C    D

    [解析] f(x)xcosx

    f (x)sinx

    x()时,

    sinx>

    f (x)sinx>0

    f(x)xcosx()上是增函数

    f()cos

    在区间()上有且只有一个实数x满足f(x).

    x时,有x,-cosx1

    x时,f(x)xcosx1<

    由此可得:当x时,f(x)没有实数根

    同理可证:x时,f(x)1>

    方程f(x)也没有实数根

    综上可知f(x),只有实数根.故选C

    3 直线ya分别与曲线y2(x1)yxln x交于点AB|AB|的最小值为(  D  )

    A3   B2   

    C   D

    [解析] ya时,2(x1)a,所以x1.

    设方程xln xa的根为t

    tln ta,则|AB|.

    g(t)1(t>0)

    g(t)

    g(t)0,得t1,当t(0,1)时,g(t)<0

    t(1,+)时,g(t)>0

    所以g(t)ming(1)

    所以|AB|,所以|AB|的最小值为.

    『规律总结』

    求最值或参数范围的技巧

    (1)充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式()求解

    (2)充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后应用函数知识求解

    (3)当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的明显信息,构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决

    (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数

    G

    如图A是单位圆与x轴的交点P在单位圆上AOPθ(0<θ)四边形OAQP的面积为S·S取得最大值时θ的值为(  B  )

    A    B    

    C    D

    [解析] (1,0)(cosθsinθ)·Scosθsinθsin(θ),故·S的最大值为,此时θ.故选B

    4 椭圆C的中心为坐标原点O焦点在y轴上短轴长为离心率为直线ly轴交于点P(0m)与椭圆C交于相异两点AB3.

    (1)求椭圆C的方程

    (2)m的取值范围

    [解析] (1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)

    c>0c2a2b2

    由题意,知2b,所以a1bc.

    故椭圆C的方程为y21,即y22x21.

    (2)设直线l的方程为ykxm(k0)l与椭圆C的交点坐标为A(x1y1)B2(x2y2)

    (k22)x22kmx(m21)0

    Δ(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)>0(*)

    x1x2x1x2

    因为3,所以-x13x2.

    所以

    3(x2x2)24x1x20

    ()20

    整理得4k2m22m2k220

    k2(4m21)(2m22)0

    m2时,上式不成立;

    m2时,k2

    (*)式,得k2>2m22,又k0

    所以k2>0

    解得-1<m<<m<1

    即所求m的取值范围为(1,-)(1)

    『规律总结』

    利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤

    第一步:联立方程

    第二步:求解判别式Δ.

    第三步:代换利用题设条件和圆锥曲线的几何性质,得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系,将其代换

    第四步:下结论将上述等量代换式代入Δ>0Δ0中,即可求出目标参数的取值范围

    G

    若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a>0)的中心和左焦点P为双曲线右支上的任意一点·的取值范围为(  B  )

    A[32,+)     B[32,+)

    C[,+)  D[,+)

    [解析] c2,得a214

    a23.

    双曲线方程为y21.

    P(xy)(x)

    ·(xy)·(x2y)

    x22xy2x22x1

    x22x1(x)

    g(x)x22x1(x)

    g(x)[,+)内单调递增,

    g(x)ming()32.

    ·的取值范围为[32,+)


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