80分小题精准练(一)

80分小题精准练(一)

(建议用时：50分钟)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x∈R|x＋1＞0}，B＝{x∈Z|x≤1}，则A∩B＝(　　)

A．{x|－1＜x≤1}　 B．{x|0≤x≤1}

C．{0,1}   D．{1}

C　[由题知A＝{x∈R|x＞－1}，B＝{x∈Z|x≤1}，∴A∩B＝{x∈Z|－1＜x≤1}，∴A∩B＝{0,1}，故选C.]

2．[一题多解](2019·石家庄模拟)若复数z＝(i为虚数单位)，则z·＝(　　)

A.i　　　B．－　　　C.　　　D.

D　[法一：∵z＝＝＝＝＋，∴＝－，∴z·＝＝，故选D.

法二：∵z＝＝＝，∴＝－，∴z·＝·＝，故选D.

法三：∵z＝，∴|z|＝＝，∴z·＝|z|2＝，故选D.]

3．某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

D　[由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，即4个小时，所以所求的概率为＝，故选D.]

4．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行了统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是(　　)

A．x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

B．x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

C．x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

D．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

D　[由茎叶图知，甲的平均成绩是＝82，乙的平均成绩是＝87，所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩，从茎叶图可以看出乙比甲成绩稳定．故选D.]

5．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)

A．－3  B．3  C．－  D.

A　[∵cos＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan＝＝－3，故选A.]

6．下列说法中正确的是(　　)

A．若数列{an}为常数列，则{an}既是等差数列又是等比数列

B．若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0

C．在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件

D．若两个变量x，y的相关系数为r，则r越大，x与y之间的相关性越强

C　[因为an＝0时，数列{an}不是等比数列，所以选项A错误；当奇函数f(x)的定义域中没有数值0时，f(0)没有意义，所以选项B错误；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，则sin A＞sin B，反之亦然，所以在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件，所以选项C正确；|r|越大，两个变量的相关性越强，|r|越接近0，两个变量的相关性越弱，所以选项D错误．]

7．[一题多解](2019·福州检测)已知非零向量a与b的夹角为，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝(　　)

A．1  B．2  C.  D．2

B　[法一：∵|a＋2b|＝2，∴|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4，又a与b的夹角为，|b|＝1，∴|a|2－2|a|＋4＝4，∴|a|2－2|a|＝0.又a≠0，∴|a|＝2，故选B.

法二：在如图所示的平行四边形中，∵|b|＝1，∴|2b|＝2，又a与b的夹角为，|a＋2b|＝2，∴此平行四边形是菱形，∴|a|＝2，故选B.]

8．(2019·武汉调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则f＝(　　)

A．1  B．0  C．－1  D．－

C　[∵f(x)＝f(2－x)，∴f＝f，又f(x)是奇函数，∴f＝f＝－f，∵0≤x≤1时，f(x)＝4x－1，∴f＝1，∴f＝－1，故选C.]

9．[一题多解]已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1,0)和(2,3)，则圆C的半径为(　　)

A．8  B．2  C．5  D.

D　[法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵圆C经过点(－1,0)和(2,3)，∴∴a＋b－2＝0　①，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴|a|＝|b|　②，由①②得a＝b＝1，∴圆C的半径为，故选D.

法二：∵圆C经过点M(－1,0)和N(2,3)，∴圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴圆心C到两坐标的距离相等，∴圆心C在直线y＝±x上，∵直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，∴圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1,1)，∴圆C的半径为，故选D.]

10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，点A(0，)，B，则函数f(x)图象的一条对称轴为(　　)

A．x＝－   B．x＝－

C．x＝   D．x＝

D　[∵函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象过点A(0，)，∴2cos φ＝，即cos φ＝，∴φ＝2kπ±(k∈Z)．∵|φ|＜，∴φ＝±，由函数f(x)的图象知＜0，又ω＞0，∴φ＜0，∴φ＝－，∴f(x)＝2cos.∵f(x)＝2cos的图象过点B，∴cos＝0，∴＝mπ＋(m∈Z)，∴ω＝6m＋4(m∈Z)．∵ω＞0，＞，∴0＜ω＜6，∴ω＝4，∴f(x)＝2cos.∵x＝时，f(x)＝2，∴x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，故选D.]

11．(2019·济南模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

B　[∵FP的斜率为－，FP∥l，∴直线l的斜率为－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得－＝－，即＝－，∵AB的中点为M，∴－＝－，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝c，∴椭圆的离心率为，故选B.]

12．(2019·石家庄模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＋Sn＝(n∈N*)，若a10＜a11，则Sn取最小值时n的值为(　　)

A．9  B．10  C．11  D．12

B　[∵Sn＋1＋Sn＝，∴a2＋2a1＝－9，又n≥2时，Sn＋Sn－1＝，∴an＋1＋an＝n－10，∴a4＋a3＝－7，a6＋a5＝－5，a8＋a7＝－3，a10＋a9＝－1，a12＋a11＝1，∴n≥11且n为奇数时，an＋1＋an＞0，S2＋a1＞S4＋a1＞…＞S10＋a1，S10＋a1＜S12＋a1＜S14＋a1＜…，即S2＞S4＞…＞S10，S10＜S12＜S14＜….a3＋a2＝－8，a5＋a4＝－6，a7＋a6＝－4，a9＋a8＝－2，a11＋a10＝0，a13＋a12＝2，∴n≥12且n为偶数时，an＋1＋an＞0，S3－a1＞S5－a1＞…＞S9－a1＝S11－a1，S11－a1＜S13－a1＜S15－a1＜…，即S3＞S5＞…＞S9＝S11，S11＜S13＜S15＜….又a11＋a10＝0，a10＜a11，∴a11＞0，∴S11－S10＝a11＞0，∴S11＞S10，∴Sn取得最小值时的n＝10.]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知实数x∈[0,10]，则x满足不等式x2－4x＋3≤0的概率为________．

　[∵不等式x2－4x＋3≤0的解集为[1,3]，所以若x∈[0,10]，则x满足不等式x2－4x＋3≤0的概率为.]

14．已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点，则直线l的方程为________．

y＝±(x－2)　[∵双曲线C的方程为x2－4y2＝1，∴a＝1，b＝，∴渐近线方程为y＝±x.∵P(2,0)在双曲线内部且直线l与双曲线有唯一公共点，∴直线l与双曲线的渐近线平行，∴直线l的斜率为±，∴直线l的方程为y＝±(x－2)．]

15．(2019·长春模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，O，O1分别为底面ABCD和A1B1C1D1的中心，记四棱锥O1­ABCD和O­A1B1C1D1的公共部分的体积为V，则体积V的值为________．

　[如图所示，四棱锥O­A1B1C1D1和四棱锥O1­ABCD的公共部分是同底等高的四棱锥O1­EFGH和四棱锥O­EFGH的组合体，其中，四边形EFGH是边长为的正方形，OO1＝a，所以公共部分的体积V＝2××2×＝.

]

16．(2019·昆明模拟)已知函数f(x)＝ax3＋x2，a∈R，当x∈[0,1]时 ，函数f(x)仅在x＝1处取得最大值，则a的取值范围是________．

　[∵f(x)＝ax3＋x2，∴f′(x)＝2ax2＋(2a－1)x，∵0≤x≤1，∴a≤0时，f′(x)≤0，∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，∴x＝1时，f(x)取得最小值，与题意不符，∴a＞0.由f′(x)＝2ax2＋(2a－1)x＝0得，x＝0或x＝－1.①当－1≤0，即a≥时，f′(x)≥0(x∈[0,1])，f(x)在区间[0,1]上单调递增，f(x)仅在x＝1处取得最大值，符合题意．②当0＜－1＜1，即＜a＜时，令f′(x)＜0，得0＜x＜－1，令f′(x)＞0，得－1＜x≤1，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，要使f(x)仅在x＝1处取得最大值，则f(1)＞f(0)，即a－＞0，所以＜a＜.③当－1≥1，即0＜a≤时，f′(x)≤0(x∈[0,1])，f(x)在区间[0,1]上单调递减，∴x＝1时，f(x)取得最小值，与题意不符．综上，a的取值范围是.]