80分小题精准练(二)

80分小题精准练(二)

(建议用时：50分钟)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|lg x＜1}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{1,2}　 B．{0,1,2}

C．{1}   D．{0}

A　[因为A＝{x|lg x＜lg 10}＝{x|0＜x＜10}，所以A∩B＝{1,2}，故选A.]

2．若复数z＝＋2i，则z＝(　　)

A．i   B．1＋2i

C．2＋2i   D．－1＋2i

B　[因为＝＝＝－i，所以＝1，z＝＋2i＝1＋2i.故选B.]

3．[一题多解]若角α满足＝5，则＝(　　)

A.   B.

C．5或   D．5

D　[法一：＝＝＝＝＝5.故选D.

法二：tan＝＝＝，所以＝5.故选D.]

4．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A类人数是(　　)

A．30　　　B．40　　　C．42　　　D．48

A　[由条形统计图知，B—自行乘车上学的有42人，C—家人接送上学的有30人，D—其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设A—结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，A—结伴步行上学与B—自行乘车上学的学生共占60%，所以＝，解得x＝30，故选A.]

5．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A­BC1M的体积VA­BC1M＝(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[VA­BC1M＝VC1­ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故选C.]

6．(2019·洛阳模拟)已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝y－x的最小值为(　　)

A.  B．1  C．2  D．－1

D　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线x－y＝0，平移该直线，由图可知当平移后的直线与直线x－y－1＝0重合时，目标函数z＝y－x取得最小值，此时，zmin＝－1.故选D.

]

7．某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为(　　)

A．10  B．12  C．16  D．20

C　[2名女教师分别记为A1，A2,4名男教师分别记为B1，B2，B3，B4，则选择的3名教师中至少有1名女教师的选择方法有：(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A2，B3)，(A1，A2，B4)，(A1，B1，B2)，(A1，B1，B3)，(A1，B1，B4)，(A1，B2，B3)，(A1，B2，B4)，(A1，B3，B4)，(A2，B1，B2)，(A2，B1，B3)，(A2，B1，B4)，(A2，B2，B3)，(A2，B2，B4)，(A2，B3，B4)，所以至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法有16种．故选C.]

8．已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝在R上单调递增，那么实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B．(0,1)

C．(1,2)   D．(1,2]

D　[依题意，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围为(1,2]，故选D.]

9．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝ac，sin Asin B＋sin Bsin C＝1－cos 2B，则角A＝(　　)

A.  B.  C.  D.

B　[因为1－cos 2B＝2sin2B，所以sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B.因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B．由正弦定理可得a＋c＝2b.又b2＝ac，所以a＝b＝c，即△ABC是等边三角形，所以角A＝.故选B.]

10．已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为(　　)

A．12  B．10  C.  D．2

B　[设向量a，b的夹角为θ，则|b|cos θ＝－2，且－1≤cos θ＜0，所以|b|＝＝≥2，所以|a－3b|＝＝≥＝10，当cos θ＝－1，即θ＝π时，取“＝”．故选B.]

11．[一题多解]过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝(　　)

A．2  B．2  C．3   D．4

D　[法一：由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，

则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，

由，消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，

因为P(4,2)为AB的中点，所以＝8，解得k＝1，满足Δ＞0，

所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，

所以|AB|＝×＝4，故选D.

法二：由已知可得点P的位置如法一中图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，

则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，

因为P(4,2)为AB的中点，所以k＝＝1，所以AB的方程为y＝x－2，

由消去y得x2－8x＋10＝0，

所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，

所以|AB|＝×＝4，故选D.]

12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：

①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0；

②f(x＋4)＝－f(x)；

③y＝f(x＋4)是偶函数．

若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A．a＜b＜c   B．b＜a＜c

C．a＜c＜b   D．c＜b＜a

B　[∵对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0，

∴函数f(x)在区间[4,8]上为增函数．

∵f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为8的周期函数．

∵y＝f(x＋4)是偶函数，

∴函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，又函数f(x)的周期为8，

∴函数f(x)的图象也关于直线x＝4对称．

∴b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(2 017)＝f(252×8＋1)＝f(1)＝f(7)．

又a＝f(6)，函数f(x)在区间[4,8]上为增函数，∴b＜a＜c.故选B.]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．[一题多解]函数f(x)＝ln的值域为________．

(－∞，0)∪(0，＋∞)　[法一：由＞0，得x＜－1或x＞1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，函数y＝＝1＋∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以ln∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．

法二：由＞0，得x＜－1或x＞1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝(t＞0)，得(x－1)t＝x＋1，显然t≠1，所以x＝.由＜－1或＞1，得t∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以ln t∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．故函数f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．]

14．[一题多解](2019·南昌模拟)已知函数y＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．

　[法一：因为函数y＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，所以2sin＝±2，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)．又－＜φ＜，所以φ＝.

法二：因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，即2sin φ＝2sin，sin φ＝cos φ－sin φ，则tan φ＝.因为－＜φ＜，所以φ＝.]

15．[一题多解]将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为________．

　[法一：如图，设球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5.由题意知圆柱为球O的内接圆柱，设圆柱底面圆的圆心为O1，半径为r，高为h，A是圆柱底面圆周上一点，连接OO1，OA，O1A，则OO1＝＝＝(0＜r＜5)，则圆柱的高h＝2，所以圆柱的体积V＝πr2h＝2πr2＝2π.令y＝f(r)＝25r4－r6(0＜r＜5)，再令t＝r2，则y＝g(t)＝25t2－t3(0＜t＜25)，则g′(t)＝50t－3t2＝t(50－3t)，易知g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当t＝时，函数g(t)取得最大值，即f(r)取得最大值，也即是圆柱的体积取得最大值，此时r2＝，h＝2＝.

法二：如图，设球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5.设圆柱的高为x(0＜x＜10)，圆柱底面圆的圆心为O1，A是圆柱底面圆周上一点，连接OO1，OA，O1A，则OO1＝，圆柱底面圆的半径O1A＝＝，所以圆柱的体积V＝π·x＝π(0＜x＜10)，则V′＝π，易知函数V＝π(0＜x＜10)在上单调递增，在上单调递减，所以当x＝时，圆柱的体积V取得最大值．]

16．[一题多解](2019·长春模拟)已知点M(0,2)，过抛物线y2＝4x的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若∠AMF＝，则点B的坐标为________．

　[法一：由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1,0)．如图，易知点A是第一象限的点，点B是第四象限的点，因此设A(y0＞0)，所以＝，＝(1，－2)．因为∠AMF＝，所以⊥，则·＝0，所以×1＋(y0－2)×(－2)＝0，整理，得y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，所以A(4,4)，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程，得y2＝4，解得y＝4(舍去)或y＝－1，所以x＝，故点B的坐标为.

法二：由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1,0)，所以kMF＝＝－2.因为∠AMF＝，所以MA⊥MF，所以直线MA的斜率为，所以直线MA的方程为y＝x＋2，与抛物线方程y2＝4x联立，解得所以直线AB的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程，得y2＝4，解得y＝4(舍去)或y＝－1，所以x＝，故点B的坐标为.]