规范解答集训(三)　概率与统计 试卷

规范解答集训(三)　概率与统计

(建议用时：40分钟)

1．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．

图1

(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；

(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；

图2

(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．

[解]　(1)∵获数学二等奖的考生有12人，

∴该考场考生的总人数为＝50，

故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4.

(2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为1，s，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为2，s.

1＝＝88，

2＝＝85，

s＝×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22，

s＝×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6，

∵88＞85,11.6＜22，∴获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大，稳定性较差．

(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人．

把两科均获一等奖的3人分别记为A1，A2，A3，仅数学获一等奖的2人分别记为B1，B2，仅语文获一等奖的1人记为C，

则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C，共15个．

记“这2人两科均获一等奖”为事件M，

则事件M包含的基本事件有A1A2，A1A3，A2A3，共3个，

∴P(M)＝＝，

故这2人两科均获一等奖的概率为.

2．(2019·唐山模拟)最近青少年的视力健康问题引起人们的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．

(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；

(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：

根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率．

附：回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为＝，＝－ .

参考数据：xiyi＝2.76，x＝55.

[解]　(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a1，a2，b1，b2，c，

从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，c)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，(b1，b2，c)，共10种，

设事件A表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A包含的基本事件为(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，共4种，故P(A)＝＝.

(2)由题中表格数据得＝3，＝0.15,5 ＝2.25,52＝45，且由参考数据：

xiyi＝2.76，x＝55，

得＝＝0.051，＝0.15－0.051×3＝－0.003，

得线性回归方程为＝0.051x－0.003.

当x＝6时，代入得＝0.051×6－0.003＝0.303，

所以六年级学生的近视率在0.303左右．

3．(2019·昆明模拟)《中国大能手》是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类的节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚．某公司准备派出选手代表公司参加《中国大能手》职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间(单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1：

表1

据表1中甲、乙两位选手完成该项关键技能挑战所用时间的数据，应用统计软件得表2：

表2

(1)在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率；

(2)若该公司只有一个参赛名额，以完成该项关键技能挑战所用时间为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由．

[解]　(1)选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个，

其中低于80秒的成绩有3个，分别记为A1，A2，A3，其余的3个分别记为B1，B2，B3，从6个成绩中任取2个的所有取法有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共15种，其中2个成绩都低于80秒的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种，

所以所取的2个成绩都低于80秒的概率P＝＝.

(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战的次数都为10，挑战失败的次数都为5，所以只需要比较他们完成关键技能挑战的情况即可，

其中甲＝85(秒)，乙＝84(秒)，

s＝50.2，s＝54.

答案①：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但甲＞乙，乙选手平均用时更短．

答案②：选手甲代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，虽然甲＞乙，但两者相差不大，水平相当，s＜s，表明甲选手的发挥更稳定．

答案③：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但乙＜甲，乙选手平均用时更短，从表1中的数据整体看，甲、乙的用时都逐步减少，s＞s，说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好．(答案不唯一)

4．(2019·昆明模拟)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：

(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；

(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．

①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))；

②经计算求得y与x之间的回归方程为＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x值精确到0.01)．

相关公式：r＝.

参考数据： (xi－)(yi－)＝66，

≈77.

[解]　(1)由题可知＝＝7(百单)，

＝＝7(百单)．

外卖甲的日接单量的方差s＝10，外卖乙的日接单量的方差s＝23.6，

因为＝，s＜s，即外卖甲平均日接单量与外卖乙相同，且外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．

(2)①计算可得，相关系数r＝≈0.857＞0.75，

所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系．

②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，解得x≥20.02，

又20.02×100×3＝6 006，

所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元.

5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中wi＝，＝wi.

(1)根据散点图判断，＝＋ 与＝＋哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝－ .

[解]　(1)由散点图可以判断，＝＋适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．

由于＝＝＝68，

＝－ ＝563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，

因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.

(3)①由(2)知，当x＝49时，

年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，

年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.

所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．