2021年高考数学一轮复习夯基练习：曲线与方程(含答案)

夯基练习 曲线与方程

一 、选择题

1.已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cos θ=，则方程x2sinθ－y2cosθ=1表示(　　)

A．焦点在x轴上的双曲线           B．焦点在y轴上的双曲线

C．焦点在x轴上的椭圆             D．焦点在y轴上的椭圆

2.已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为(　　)

3.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)

A.π           B.4π          C.8π         D.9π

4.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为(　　)

A．直线           B．圆           C．椭圆           D．双曲线

5.已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)

A．x2＋y2=2　　　                B．x2＋y2=4

C．x2＋y2=2(x≠±)            D．x2＋y2=4(x≠±2)

6.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)

A.x2＋y2=2                    B.x2＋y2=4

C.x2＋y2=2(x≠±)           D.x2＋y2=4(x≠±2)

7.已知不等式3x2－y2＞0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y=x和直线y=－x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为，则点P的轨迹的一个焦点坐标可以是(　　)

A．(2，0)          B．(3，0)         C．(0，2)          D．(0，3)

8.已知圆O的方程为x2＋y2=9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为(　　)

A.－=1(x≠0)     B．＋=1(x≠0)      C.－=1(y≠0)     D．＋=1(y≠0)

9.已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若=λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)

A．圆             B．椭圆            C．抛物线          D．双曲线

10.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)

A．x＋y=5　　　         B．x2＋y2=9       C.＋=1              D．x2=16y

11.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是(　　)

A．直线            B．圆          C．双曲线          D．抛物线

12.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=5，=＋，则点M的轨迹方程为(　　)

A.＋=1           B．＋=1         C.＋=1          D．＋=1

二 、填空题

13.若点M(m，m)在曲线x－y2=0上，则m的值为________.

14.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________.

15.等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1)，C(0，－3)，则另一顶点A的轨迹方程是________.

16.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________．

三 、解答题

17.如图，已知点F(1,0)，直线l：x=－1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且·=·.求动点P的轨迹C的方程.

18.已知双曲线2x2－2y2=1的两个焦点为F1、F2，P为动点，若PF1＋PF2=6，求动点P的轨迹E的方程.

19.若动点P在曲线y=2x2＋1上移动，求点P与Q(0，－1)连线中点M的轨迹方程.

20.如图，在圆C：(x＋1)2＋y2=25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程.

参考答案

1.答案为：D.

解析：因为(sin θ＋cos θ)2=1＋2sin θcos θ=，所以sin θcos θ=－＜0，

又sin θ＋cos θ=＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故＞＞0，

而x2sin θ－y2cos θ=1可化为＋=1，

故方程x2sin θ－y2cos θ=1表示焦点在y轴上的椭圆．

2.答案为：A；

解析：由2log2y=2＋log2x，得log2y2=log24x，∴y2=4x(x>0，y>0)，即y=2(x>0).

3.答案为：B；

解析：设P(x，y)，代入|PA|=2|PB|，得(x＋2)2＋y2=4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2=4，

所求的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.

4.答案为：B.

解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，

∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．

∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，

∴|PO|=|F2S|=(|QS|－|QF2|)=(|QF1|－|QF2|)=a，∴点P的轨迹为圆．

5.答案为：D.

解析：MN的中点为原点O，易知|OP|=|MN|=2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，

除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2=4(x≠±2)，故选D.

6.答案为：D；

解析：设P(x，y)，因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，

∴MP2＋NP2=MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2=16.

整理得，x2＋y2=4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2.

∴轨迹方程为x2＋y2=4(x≠±2).

7.答案为：A.

解析：不等式3x2－y2＞0⇒(x－y)(x＋y)＞0⇒或

其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P(x，y)到直线y=x和直线y=－x的距离

分别为|PA|==，|PB|==，

∵∠AOB=120°，∴∠APB=60°，

∴S△PAB=×|PA|×|PB|sin 60°=×，又S△PAB=，

∴×=，∴3x2－y2=3，即x2－=1，

∴P点的轨迹是双曲线，其焦点为(±2，0)，故选A.

8.答案为：D.

解析：设抛物线C的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，

其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，且|AA′|＋|BB′|=2|OP|=6.

因为抛物线过点A，B，所以|AA′|=|FA|，|FB|=|BB′|，

所以|FA|＋|FB|=|AA′|＋|BB′|=6＞|AB|=2，

所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为＋=1(y≠0)．

9.答案为：C.

解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．因为=λ·，

所以y2=λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2=λa2，

当λ=1时，轨迹是圆；

当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；

当λ＜0时，轨迹是双曲线；

当λ=0时，轨迹是直线．

综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．

10.答案为：B.

解析：因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，

所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－=1.

A项，直线x＋y=5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；

B项，x2＋y2=9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；

C项，＋=1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；

D项，方程代入－=1，可得y－=1，即y2－9y＋9=0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．

11.答案为：D.

解析：在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，

垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．

由题意知|PE|2－|PM|2=1，

又因为|PE|2=|PF|2＋|EF|2，

所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2=1，

即|PF|2=|PM|2，即|PF|=|PM|，

所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．

由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，

AD为准线的抛物线，

所以点P的轨迹为抛物线．

12.答案为：A.

解析：设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由=＋，得(x，y)=(x0，0)＋(0，y0)，

则解得由|AB|=5，得＋=25，化简得＋=1.

二 、填空题

13.答案为：0或1

解析：∵点M在曲线x－y2=0上，∴m－m2=0，解得m=0或m=1.

14.答案为：x2=y2

解析：设动点M(x，y)，到两坐标轴的距离为|x|、|y|.则|x|=|y|，∴x2=y2.

15.答案为：x＋2y＋1=0(x≠1)

解析：设点A的坐标为(x，y).由已知得AB=AC，即=.

化简得 x＋2y＋1=0.

∵点A不能在直线BC上，∴x≠1，

∴顶点A的轨迹方程为x＋2y＋1=0(x≠1).

16.答案为：＋=1(y≠0)；

解析：由题知|CA|＋|CB|=|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|=2|CP|＋|AB|=4＞|AB|，

所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．

设曲线M的方程为＋=1(a＞b＞0，y≠0)，

则a2=4，b2=a2－=3，所以曲线M：＋=1(y≠0)为所求．

三 、解答题

17.解：设P(x，y)，则Q(－1，y).

∴=(x＋1,0)，=(2，－y).=(x－1，y)，=(－2，y).

由·=·，得2(x＋1)＋0·(－y)=－2(x－1)＋y2，

整理得y2=4x.

即动点P的轨迹C的方程为y2=4x.

18.解：依题意双曲线方程可化为－=1，则F1F2=2.

∴PF1＋PF2=6>F1F2=2，

∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程可设为＋=1(a>b>0).

由2a=6,2c=2得a=3，c=1.∴b2=a2－c2=8.

则所求椭圆方程为＋=1.

故动点P的轨迹E的方程为＋=1.

19.解：设P(x0，y0)，中点M(x，y)，

则∴

又P(x0，y0)在曲线y=2x2＋1上，

∴2y＋1=2(2x)2＋1，即y=4x2.

∴点M的轨迹方程为y=4x2.

20.解：由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|，

∴|CM|＋|MA|=|CM|＋|MQ|=|CQ|.

∴|CM|＋|MA|=5.∴M点轨迹为椭圆.

由椭圆的定义知：a=，c=1，

∴b2=a2－c2=－1=.

∴所求轨迹方程为：＋=1.