2021年高考数学一轮复习夯基练习：平面向量的数量积及其应用(含答案)

夯基练习 平面向量的数量积及其应用

一 、选择题

1.已知a=(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|=1，a与a－b的夹角为，则a·b=(　　)

A．2               B.3             C．4               D．5

2.若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(　　)

A.2          B.       C.2         D.4

3.若向量a、b满足：|a|=1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|=(　　)

A.2          B.        C.1          D.

4.已知向量a=(2，－1)，b=(－1，2)，则(2a＋b)·a=(　　)

A．6            B.5          C．1            D．－6

5.已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a=(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为(　　)

A．- 　       B.           C.          D．-

6.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是(　　)

A．a∥b⇒a在b方向上的投影为|a|

B．a·b=0⇒a=0或b=0

C．a⊥b⇒a·b=(a·b)2

D．a·c=b·c⇒a=b

7.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)

A．e1=(0,0)，e2=(1，-2)        B．e1=(-1,2)，e2=(5,7)

C．e1=(3,5)，e2=(6,10)         D．e1=(2，-3)，e2=

8.△ABC中，·＜0，则△ABC是(　　)

A.锐角三角形      B.直角三角形      C.钝角三角形      D.等边三角形

9.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量a=e1＋e2，b=－e1＋2e2的夹角为(　　)

A．30°          B．60°         C．90°         D．120°

10.已知，向量，则实数的值为(    )

A.       B.       C.       D.

11.在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（　　）

A.          B.               C.             D.

12.已知=(cos 23°，cos 67°)，=(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC的面积为(　　)

A．2            B.           C．1             D．

二 、填空题

13.已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为－2，则|a|=______.

14.已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ值是_____．

15.已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=　　．

16.在正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB=3，BD=1，则    

三 、解答题

17.已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积.

(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.

18.在△ABC中，⊥，M是BC的中点．

(1)若||=||，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；

(2)若O是线段AM上任意一点，且||=||=，求·＋·的最小值．

19.已知向量a、b的长度|a|=4，|b|=2.

(1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|；

(2)若|a＋b|=2，求a与b的夹角θ.

20.如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

参考答案

1.答案为：B；

解析：∵a=(2sin 13°，2sin 77°)=(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|=2.

又∵|a－b|=1，a与a－b的夹角为，∴a·(a－b)=|a||a－b|·cos ，

∴a2－a·b=2×1×=1，∴a·b=3.故选B.

2.答案为：C；解析：a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>=4×cos30°=2.

3.答案为：B；

解析：本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2a＋b)·b=0，即2a·b＋b·b=0，

(a＋b)·a=0，所以|a|2＋a·b=0,2a·b＋|b|2=0，又|a|=1所以|b|=.

4.答案为：A；

解析：∵向量a=(2，－1)，b=(－1,2)，∴2a＋b=(3,0)，则(2a＋b)·a=6.故选A.

5.答案为：C；

解析：根据A，B两点的坐标，可得=(3,1)，

∵a∥，∴2×1-3λ=0，解得λ=，故选C.

6.答案为：C.

解析：选项A：∵a∥b，∴θ=0或π，所以所求投影为|a|cos θ=±|a|；

选项B：a·b=0⇒a=0或b=0或a⊥b；

选项C：a⊥b⇒a·b=0⇒a·b=(a·b)2；

选项D：a·b=a·c⇒(a－b)·c=0⇒a=b或(a－b)⊥c，故选C.

7.答案为：B；

解析：A中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1=e2，∴e1∥e2；

D中e1=4e2，∴e1∥e2，故选B.

8.答案为：C；

解析：∵·=||||cos A＜0，∴cos A＜0.∴A是钝角.∴△ABC是钝角三角形.

9.答案为：B；

解析：依题意，有e1·e2=cos60°=，

则cos〈a，b〉=====，

故〈a，b〉=60°，故选B．

10.C

11.B解：如图所示，△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，，且AB=2AC=2，∴=（+）•=（﹣+）•（+）=﹣﹣•+=﹣×12﹣×（﹣1）+×22=.故选：B.

12.答案为：D；

解析：根据题意，=(cos 23°，cos 67°)，∴=－(cos 23°，sin 23°)，

则||=1.又∵=(2cos 68°，2cos 22°)=2(cos 68°，sin 68°)，∴||=2.

∴·=－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)=－2×cos 45°=－，

∴cos B==－，则B=135°，则S△ABC=||||sin B=×1×2×=，故选D.

二 、填空题

13.答案为：4；

解析：∵|a|·cos 120°=－2，∴|a|·(－)=－2，∴|a|=4.

14.答案为：；

解析：

由题意不妨设e1=(1,0)，e2=(0,1)，则e1－e2=(，－1)，e1＋λe2=(1，λ)．

根据向量的夹角公式得cos60°===，

所以－λ=，解得λ=．

15.答案为：5　．

解：∵⊥，∴ =x+6=0，解得x=﹣6．∴=（﹣5，5）．

∴|+|==5．故答案为：5．

16.答案为：7.5   

三 、解答题

17.解：

18.解：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，

则cos θ=，

令||=||=a，则cos θ==.

(2)∵||=||=，∴||=1，设||=x(0≤x≤1)，则||=1－x.而＋=2，

所以·＋·=·(＋)=2·=2||·||cos π=2x2－2x=22－，

当且仅当x=时，·＋·取得最小值，最小值为－.

19.解：

20.证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．

令||=1，则||=1，||=2.

∵CE⊥AB，而AD=DC，

∴四边形AECD为正方形．

∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．

(1)∵=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，=(0,1)－(1,0)=(－1,1)，

∴=，∴∥，即DE∥BC.

(2)连接MD，MB，∵M为EC的中点，∴M(0，)，

∴=(－1,1)－(0，)=(－1，)，=(1,0)－(0，)=(1，－)．

∵=－，∴∥.

又MD与MB有公共点M，

∴D，M，B三点共线．