2021年高考数学一轮复习夯基练习：数列的概念及简单表示法(含答案)
展开夯基练习 数列的概念及简单表示法
一 、选择题
1.数列{an}满足a1=1，an＋1=2an－1(n∈N*)，则a1 000=( )
A．1 B．1 999 C．1 000 D．－1
2.对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n=1,2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知数列{xn}满足xn＋2=|xn＋1-xn|(n∈N*)，若x1=1，x2=a(a≤1，a≠0)，且xn＋3=xn对于任意的正整数n均成立，则数列{xn}的前2020项和S2020=( )
A．673 B．674 C．1345 D．1347
4.在数列{an}中，a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)，则a4的值为( )
A．31 B．30 C．15 D．63
5.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A．511个 B．512个 C．1 023个 D．1 024个
6.已知数列{an}的通项公式是an=n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞)
7.数列{an}中,an=,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )
A.a1,a50 B.a1,a44 C.a45,a44 D.a45,a50
8.数列{an}定义如下:a1=1,当n≥2时,an=，若an=,则n的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
9.数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n=am＋an＋mn，则＋＋＋…＋=( )
A． B． C． D．
10.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an=( )
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n
11. 能力提升练
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列．则(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＋a6a8)－(a＋a＋a＋a＋a＋a)=( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
12.已知数列{an}满足an=(n∈N*)，将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成新数列{bn}，则b2 019的末位数字为( )
A．8 B．2 C．3 D．7
二 、填空题
13.对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn=an＋1-an(n∈N*)，且bn＋1-bn=1(n∈N*)，a3=1，a4=-1，则a1=________．
14.已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),则an= .
15.数列－1，，－，，…的一个通项公式为________.
16.在数列{an}中，a1=1，a1＋＋＋…＋=an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=________.
三 、解答题
17.已知数列{an}中，an=1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a=-7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
18.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)对任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
19.已知数列{an}满足a1=，且当n>1，n∈N*时，有，设bn=，n∈N*.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
20.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2＋4，数列{bn}中，bn=.
(1)求公差d的值；
(2)若a1=－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；
(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．
参考答案
1.答案为：A；
解析：a1=1，a2=2×1－1=1，a3=2×1－1=1，a4=2×1－1=1，…，可知an=1(n∈N*)，∴a1 000=1.
2.答案为：B.
当an＋1＞|an|(n=1,2，…)时，
∵|an|≥an，∴an＋1＞an，
∴{an}为递增数列．
当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，
即an＋1＞|an|(n=1,2，…)不一定成立．
综上知，“an＋1＞|an|(n=1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
3.答案为：D；
解析：
∵x1=1，x2=a(a≤1，a≠0)，∴x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a，∴x1＋x2＋x3=1＋a＋(1-a)=2，
又xn＋3=xn对于任意的正整数n均成立，∴数列{xn}的周期为3，
∴数列{xn}的前2020项和S2020=S673×3＋1=673×2＋1=1347．故选D．
4.答案为：C；
5.答案为：B；
解析：3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为29=512.
6.答案为：D.
an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，
而当n=1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.
7.答案为：C；
8.答案为：C；
9.答案为：D；
解析：
∵a1=1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n=am＋an＋mn，∴an＋1=an＋n＋1，即an＋1-an=n＋1，
用累加法可得an=a1＋=，∴==2-，
∴＋＋＋…＋=21-＋-＋…＋-=，故选D．
10.答案为：A；
11.答案为：A.
a1a3－a=1×2－1=1，a2a4－a=1×3－22=－1，a3a5－a=2×5－32=1，a4a6－a=3×8－52=－1，
…，则(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＋a6a8)－(a＋a＋a＋a＋a＋a)=0.
12.答案为：D；
解析：由an=(n∈N*)，可得此数列为，，，，，，，，
，，，，，…，{an}中的整数项为，，，，，，…，∴数列{bn}的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，….
∵2 019=4×504＋3，故b2 019的末位数字为7.故选D.
二 、填空题
13.答案为：8；
解析：
由bn＋1-bn=1知数列{bn}是公差为1的等差数列，又b3=a4-a3=-2，
所以b1=-4，b2=-3，b1＋b2=(a2-a1)＋(a3-a2)=a3-a1=-7，解得a1=8．
14.答案为：n2+1；
15.答案为：an=(－1)n
16.答案为：；
解析：由a1＋＋＋…＋=an(n∈N*)知，当n≥2时，a1＋＋＋…＋=an－1，
∴=an－an－1，即an=an－1，∴an=…=2a1=2，∴an=.
三 、解答题
17.解：
(1)∵an=1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
a=-7，∴an=1＋(n∈N*)．
结合函数f(x)=1＋的单调性，
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5=2，最小项为a4=0．
(2)an=1＋=1＋．
∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)=1＋的单调性，
∴5<<6，∴-10<a<-8．
18.解：
19. (1)证明:当n>1，n∈N*时，
-2=2+-=4.
⇔bn－bn－1=4，且b1==5.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解:由(1)知bn=b1＋(n－1)d=5＋4(n－1)=4n＋1.∴an==，n∈N*.
∴a1=，a2=，∴a1a2=.令an==，∴n=11.
即a1a2=a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
20.解：
(1)∵S4=2S2＋4，∴4a1＋d=2(2a1＋d)＋4，解得d=1.
(2)∵a1=－，∴数列{an}的通项公式为an=－＋(n－1)=n－，
∴bn=1＋=1＋.
∵函数f(x)=1＋在和上分别是单调减函数，
∴b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，
∴数列{bn}中的最大项是b4=3，最小项是b3=－1.
(3)由bn=1＋，得bn=1＋.
又函数f(x)=1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，
且x＜1－a1时，y＜1；当x＞1－a1时，y＞1.
∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，
∴7＜1－a1＜8，∴－7＜a1＜－6，
∴a1的取值范围是(－7，－6)．
