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    2021届高考数学人教版一轮创新教学案:第8章第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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    2021届高考数学人教版一轮创新教学案:第8章第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程01
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    2021届高考数学人教版一轮创新教学案:第8章第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

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    第八章 平面解析几何
    第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
    [考纲解读] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式,并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系.(重点)
    2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),并了解斜截式与一次函数的关系.(难点)
    [考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点,但很少独立命题.预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式;②直线平行与垂直的判定或应用,求直线的方程.试题常以客观题形式考查,难度不大.

    1.直线的斜率
    (1)当α≠90°时,tanα表示直线l的斜率,用k表示,即k=tanα.当α=90°时,直线l的斜率k不存在.
    (2)斜率公式
    给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),经过P1,P2两点的直线的斜率公式为k=.
    2.直线方程的五种形式
    名称
    已知条件
    方程
    适用范围
    点斜式
    斜率k与点(x1,y1)
    y-y1=k(x-x1)
    直线不垂直于x轴
    斜截式
    斜率k与直线在y轴上的截距b
    y=kx+b
    直线不垂直于x轴
    两点式
    两点(x1,y1),(x2,y2)
    =(x1≠x2,y1≠y2)
    直线不垂直于x轴和y轴
    截距式
    直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b
    +=1(a≠0,b≠0)
    直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点
    一般式

    Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
    任何情况

    1.概念辨析
    (1)直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.(  )
    (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(  )
    (3)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(  )
    (4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )
    答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
    2.小题热身
    (1)直线l经过原点和点(-1,-1),则直线l的倾斜角是(  )
    A.45° B.135°
    C.135°或225° D.60°
    答案 A
    解析 由已知,得直线l的斜率k==1,所以直线l的倾斜角是45°.
    (2)在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角是(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 D
    解析 直线x+y-3=0的斜率为-,所以倾斜角为.
    (3)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为(  )
    A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0
    C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0
    答案 A
    解析 由题意得直线l的点斜式方程为y-5=-[x-(-2)],整理得3x+4y-14=0.
    (4)已知直线l过点P(1,3),且与x轴,y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6,则直线l的方程是(  )
    A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0
    C.3x-y=0 D.x-3y+8=0
    答案 A
    解析 设直线l的方程为+=1(a>0,b>0).
    由题意,得解得a=2,b=6.故直线l的方程为+=1,即3x+y-6=0.故选A.

    题型一 直线的倾斜角与斜率

    1.(2019·长春模拟)设直线y=2x的倾斜角为α,则cos2α的值为(  )
    A.- B.-
    C.- D.-
    答案 C
    解析 由题意,知tanα=2,所以cos2α====-.
    2.(2019·安阳模拟)若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=(  )
    A.1±或0 B.或0
    C. D.或0
    答案 A
    解析 若A,B,C三点共线,则有kAB=kAC,即=,整理得a(a2-2a-1)=0,解得a=0或a=1±.
    3.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.

    答案 (-∞,-]∪[1,+∞)
    解析 如图,∵kAP==1,
    kBP==-,
    ∴k∈(-∞,-]∪[1,+∞).

    1.直线的倾斜角与其斜率的关系
    斜率k
    k=tanα>0
    k=0
    k=tanα<0
    不存在
    倾斜角α
    锐角

    钝角
    90°
    2.倾斜角变化时斜率的变化规律

    根据正切函数k=tanα的单调性,如图所示:
    (1)当α取值在内,由0增大到时,k由0增大并趋向于正无穷大;
    (2)当α取值在内,由增大到π(α≠π)时,k由负无穷大增大并趋近于0.如举例说明3.
    3.三点共线问题
    若已知三个点中的两个坐标,可以先通过这两个已知点求出直线方程,然后将第三个点代入求解;也可利用斜率相等或向量共线的条件解决.如举例说明2.                    

    1.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(  )
    A. B.
    C.[0,]∪ D. ∪
    答案 B
    解析 ∵直线的斜率k=-,∴-1≤k<0,则倾斜角的范围是.
    2.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为(  )
    A. B.-
    C.- D.
    答案 B
    解析 依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有
    解得
    从而可知直线l的斜率为=-.
    题型二 直线方程的求法

    1.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在的直线方程为________.
    答案 x+13y+5=0
    解析 BC的中点坐标为,∴BC边上的中线所在的直线方程为=,即x+13y+5=0.
    2.(1)求过点A(1,3),且斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程;
    (2)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.
    解 (1)设所求直线的斜率为k,
    依题意k=-4×=-.
    又直线经过点A(1,3),
    因此所求的直线方程为y-3=-(x-1),
    即4x+3y-13=0.
    (2)当直线不过原点时,设所求的直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,
    所以直线方程为x+2y+1=0;
    当直线过原点时,设直线方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-,所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
    故所求的直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.

    给定条件求直线方程的思路
    (1)求直线方程常用的两种方法
    ①直接法:根据已知条件,直接写出直线的方程,如举例说明2(1)求直线方程,则直接利用斜截式即可.
    ②待定系数法:即设定含有参数的直线方程,结合条件列出方程(组),求出参数,再代入直线方程即可.必要时要注意分类讨论,如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况,否则会造成漏解.
    (2)设直线方程的常用技巧
    ①已知直线纵截距b时,常设其方程为y=kx+b.
    ②已知直线横截距a时,常设其方程为x=my+a.
    ③已知直线过点(x0,y0),且k存在时,常设y-y0=k(x-x0).                    

    1.在等腰三角形AOB中,AO=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为(  )
    A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)
    C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)
    答案 D
    解析 因为AO=AB,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数,所以kAB=-kOA=-3,所以直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-1).故选D.
    2.求适合下列条件的直线方程:
    (1)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数;
    (2)过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;
    (3)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.
    解 (1)当直线过原点时,方程为y=x,
    即3x-2y=0.
    当直线l不过原点时,设直线方程为-=1.
    将P(2,3)代入方程,得a=-1,
    所以直线l的方程为x-y+1=0.
    综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.
    (2)设直线y=3x的倾斜角为α,
    则所求直线的倾斜角为2α.
    因为tanα=3,所以tan2α==-.
    又直线经过点A(-1,-3),
    因此所求的直线方程为y+3=-(x+1),
    即3x+4y+15=0.
    (3)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为
    +=1,
    又直线过点(-3,4),从而-+=1,
    解得a=-4或a=9.
    故所求的直线方程为
    4x-y+16=0或x+3y-9=0.
    题型三 直线方程的综合应用 

    角度1 由直线方程求参数问题
    1.若直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是(  )
    A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
    C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)
    答案 C
    解析 令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,所以所求的三角形面积为|-b|=b2,且b≠0,因为b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].
    角度2 与直线方程有关的最值问题
    2.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
    (1)证明:直线l过定点;
    (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
    (3)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
    解 (1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,
    令解得
    ∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
    (2)由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0;当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围为[0,+∞).
    (3)由题意,知k≠0,再由直线l的方程,得
    A,B(0,1+2k).
    依题意得解得k>0.
    ∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|
    =·=
    ≥×(2×2+4)=4,
    “=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,
    ∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.

    与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
    (1)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
    (2)求解与直线方程有关的最值问题,先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决.如举例说明2.

    1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是(  )
    A.m≠- B.m≠0
    C.m≠0且m≠1 D.m≠1
    答案 D
    解析 由解得m=1,故m≠1时方程表示一条直线.
    2.(2019·济南模拟)已知直线l过点M(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于点A,B,O为坐标原点,求当||·||取得最小值时直线l的方程.
    解 设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,
    直线l的方程为+=1,所以+=1.
    ||·||=-·
    =-(a-2,-1)·(-2,b-1)
    =2(a-2)+b-1=2a+b-5
    =(2a+b) -5=+≥4,
    当且仅当a=b=3时取等号,
    此时直线l的方程为x+y-3=0.

     组 基础关
    1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(  )
    A.1 B.4
    C.1或3 D.1或4
    答案 A
    解析 由题意知=1(m≠-2),解得m=1.
    2.(2019·郑州一模)已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为(  )
    A.y=x+2 B.y=x-2
    C.y=x+ D.y=-x+2
    答案 A
    解析 ∵直线x-2y-4=0的斜率为,∴直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=x+2.

    3.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(  )
    A.k1 B.k3 C.k3 D.k1 答案 D
    解析 设l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由图象知0<α3<α2<<α1<π,所以k1<0 4.(2019·沈阳模拟)若直线ax+by+c=0同时经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足(  )
    A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0
    C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0
    答案 A
    解析 由题意,知a≠0,b≠0,已知直线方程可化为y=-x-,若此直线同时经过第一、二、四象限,则即ab>0,bc<0.
    5.直线xcos140°+ysin40°+1=0的倾斜角是(  )
    A.40° B.50°
    C.130° D.140°
    答案 B
    解析 将直线xcos140°+ysin40°+1=0化成xcos40°-ysin40°-1=0,其斜率为k==tan50°,倾斜角为50°.故选B.
    6.(2019·荆州模拟)两直线-=a与-=a(其中a是不为零的常数)的图象可能是(  )

    答案 B
    解析 已知两直线的方程可分别化为l1:+=1与l2:+=1,所以直线l1的横截距与直线l2的纵截距互为相反数;直线l1的纵截距与直线l2的横截距互为相反数,结合四个选项中的图象可知,B符合题意.
    7.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(  )
    A.-11或k<
    C.k>1或k< D.k>或k<-1
    答案 D
    解析 因为直线l过点A(1,2),在x轴上的截距取值范围是(-3,3),所以直线端点的斜率分别为=-1,=,如图.所以k>或k<-1.所以D正确.

    8.若直线l过点(m,3)和(3,2),且在x轴上的截距是1,则实数m=________.
    答案 4
    解析 由在x轴上的截距是1,得m≠3,则直线方程为=.当y=0时,则x=6-2m+3=1,故m=4.
    9.若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是________.
    答案 
    解析 设直线的倾斜角为α,斜率为k,则k=tanα==,又α为钝角,所以<0,即(a-1)·(a+3)<0,故-3 10.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为________.
    答案 4x-3y-4=0
    解析 由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为,则tanα=,所以直线l的斜率k=tan2α===,所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),即4x-3y-4=0.
    组 能力关
    1.若<α<2π,则直线+=1必不经过(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 B
    解析 令x=0,得y=sinα<0,令y=0,得x=cosα>0,所以直线过点(0,sinα),(cosα,0)两点,因而直线不过第二象限.故选B.
    2.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为(  )
    A.4 B.
    C.-4 D.-14
    答案 A
    解析 ∵{an}为等差数列,a4=15,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,∴a3=11,∴kPQ==4.
    3.(2019·成都诊断)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为(  )
    A. B.[-1,0]
    C.[0,1] D.[ ,1]
    答案 A
    解析 由题意知y′=2x+2,设P(x0,y0),则k=2x0+2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,故-1≤x0≤-.故选A.
    4.函数y=asinx-bcosx的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 D
    解析 由函数y=f(x)=asinx-bcosx的一条对称轴为x=知,f(0)=f,即-b=a,∴直线l的斜率为-1,∴倾斜角为.故选D.
    5.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.
    答案 5
    解析 动直线x+my=0(m≠0)过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).由题意易得直线x+my=0与直线mx-y-m+3=0垂直,即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤===5,即|PA|·|PB|的最大值为5.
    6.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0 答案 

    解析 由已知画出简图,如图所示.
    因为l1:ax-2y=2a-4,
    所以当x=0时,y=2-a,即直线l1与y轴交于点A(0,2-a).
    因为l2:2x+a2y=2a2+4,
    所以当y=0时,x=a2+2,
    即直线l2与x轴交于点C(a2+2,0).
    易知l1与l2均过定点(2,2),
    即两直线相交于点B(2,2).
    则四边形AOCB的面积为S=S△AOB+S△BOC
    =(2-a)×2+(a2+2)×2=2+≥.
    所以Smin=,此时a=.

    7.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当线段AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
    解 由题意可得kOA=tan45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.设A(m,m),B(-n,n),所以线段AB的中点C的坐标为,由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得解得m=,所以A(,).因为P(1,0),所以kAB=kAP==,所以lAB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
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