专题14：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈直线与抛物线的位置关系解析版

一、 定点
1、已知抛物线的焦点为F，直线l过点．
（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值
答案： （1）（2）证明见详解.
解析： （1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明.
【详解】
（1）由条件知直线l的斜率存在，设为，
则直线l的方程为：，
即．
从而焦点到直线l的距离为，
平方化简得：，．
故直线斜率为：.
（2）证明：设直线AB的方程为，
联立抛物线方程，消元得：．
设，，
线段AB的中点为，
故
因为，．
将M点坐标代入后整理得：

即可得：
故为定值．即证.
【点睛】
本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.
2、在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到其焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程与准线方程；
（2）直线与抛物线相交于两点(位于轴的两侧)，若，求证直线恒过定点.
答案： （1）， ；（2）见详解
解析： （1）先计算，根据抛物线的定义，可得，最后可得结果.
（2）假设直线方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示出，可得结果.
【详解】
（1）因为在抛物线上，
，由抛物线的定义，
或
当时，，故舍去
所以，抛物线的方程为，
准线方程为
（2）设直线的方程为，由
，得，
设，
则.
由

得或.
当时，
位于轴的同侧，舍去；
当时，
位于轴的两侧，
即直线的方程为，
所以，直线恒过.
【点睛】
本题主要考查抛物线中过顶点的问题，难点在于找到方程中的关系，属中档题.
3、已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

（1）求椭圆的方程;
（2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上.
答案：
（1）；（2）.
试题分析：（1）设，由已知得，可求得点M的坐标，代入椭圆的方程中可求得，可得椭圆的方程；
（2）由向量的坐标运算和向量相等的条件，以及点在圆上可得出点Q所在的直线.
详解：（1）设，因为点M在抛物线上，且，所以，解得，
又点M在抛物线上，所以，且，即，解得，
所以椭圆的方程；
（2）设，，因为，所以，即有，
又，所以，即有，
所以得：，
又点A、B在圆上，所以，又，所以，
故点Q总在直线上.

【点睛】
本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题.

二、 定值
1、抛物级的焦点到直线的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：.
答案： （1）；（2）证明见解析
试题分析：（1）利用抛物线的定义求出即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，设切线的斜率为，切线的斜率为，点坐标为，利用已知条件对函数求导得出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用，即可得出结论.
详解：（1）由题意知：，
则焦点到直线的距离为：，
所以抛物线的方程为：；
（2）证明：
把直线代入消得：，
又，
利用韦达定理得，
由题意设切线的斜率为，切线的斜率为，点坐标为，
由（1）可得：，
则，
所以，
则切线的方程为：，切线的方程为：，
则，
利用韦达定理化简整理得：，
把代入整理得：
，
则，
，
则
【点睛】
本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题.
2、已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设为曲线上的一点，过点作圆的两条切线，分别为两切线的斜率，若，求点的坐标.
答案： （1）（2）
试题分析：利用抛物线的概念及标准方程直接得结论
设过点P的切线方程为，即，
则圆心到切线的距离为，化简后利用根与系数的关系即可求解．
详解：圆F的圆心为，半径为1，
，
又轴，垂足为H，，
动点到点等于到直线的距离．
故动点的轨迹是以为焦点的抛物线，
则，
，
则动点M的轨迹C的方程是；
设过点P的切线方程为，即，
则圆心到切线的距离为，
化简得，，
两切线斜率分别为，，
，
由题设知，，又为曲线C上的一点，
由知，，
，即，
解得，或，
，
，则，
点P的坐标为．
【点睛】
本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.
3、等腰直角△内接于抛物线()，其中为抛物线的顶点，，△的面积是16.
（1）求抛物线的方程；
（2）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于？两点，交轴于点，若，，证明：是一个定值.
答案： （1）；（2）证明见解析.
试题分析：（1）设点，，由抛物线方程、两点之间距离公式可得，结合面积即可得点A坐标，代入即可得解；
（2）设直线，点，，由平面向量的知识可得，联立方程组，结合韦达定理即可得证.
详解：（1）设点，，则，，
因为△为等腰直角三角形，，所以，
所以，化简得，
由，，可得，
所以即，所以点A、点B关于x轴对称，
又△的面积是16，所以，
不妨设点，所以，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）证明：由题意可知点，直线的斜率存在且不为0，
设直线，点，，
所以点，，，，
，
因为，，
所以，，
所以，
由消去x可得，，
所以，，
所以，
所以是一个定值,且.
【点睛】
本题考查了抛物线方程的求解及直线、平面向量与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
4、如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点.

（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；
（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点.证明为定值，并求此定值.
答案： （1）；（2）证明见解析；定值为8
试题分析：（1）根据抛物线标准方程得，从而易得焦点坐标和准线方程；
（2）设点的坐标分别为.直线的斜率为，则直线方程为，代入抛物线方程整理后可和，这样可得中点的坐标，由直线与垂直可得的方程，在此方程中令得，计算化简得定值．
详解：解（1）设抛物线的标准方程为，则，从而.
因此焦点的坐标为（2，0），又准线方程的一般式为.
从而所求准线的方程为.
（2）设点的坐标分别为.直线的斜率为，则直线方程为.将此式代入，得.
故.
记直线与的交点为，则，.
故直线的方程为.
令，得点的横坐标，故
.
从而为定值.
【点睛】
本题考查由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题．直线与抛物线相交，可设交点坐标为，再写出直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，本题中由此可得中点坐标．这就是解析几何中的设而不求的思想方法，务必掌握住．
5、已知，是抛物线：上不同两点.
（1）若抛物线的焦点为，为的中点，且，求抛物线的方程；
（2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
答案： （1）；（2）存在，：
试题分析：(1)根据抛物线的定义求解即可.
(2)设：,联立直线与抛物线的方程,再转换可得,进而利用点坐标与韦达定理代入化简求解即可.
详解：解：（1）由抛物线的定义得
,∴,
∴所求抛物线方程为.
（2）由题意得的斜率存在设：,
,∴,,
∴,∴,,
作轴,轴,垂足为,,
∵,∴,∴,
∴.
∴,∴,∴存在直线：符合题意.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义运用,同时也考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达弦长进行化简求解的问题.属于中档题.
6、已知O为原点，抛物线的准线与y轴的交点为H，P为抛物线C上横坐标为4的点，已知点P到准线的距离为5.
（1）求C的方程；
（2）过C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，若以AH为直径的圆过B，求的值.
答案： （1）；（2）4.
试题分析：（1）由题意结合椭圆的性质可得，求得后即可得解；
（2）设，，直线AB的方程为，联立方程组结合韦达定理可得，由圆的性质、直线垂直的性质可得，进而可得，再由抛物线的性质即可得解.
详解：（1）由题意点，抛物线的准线方程为，
则，解得或（舍），
∴抛物线方程为；
（2）由题意抛物线的焦点为，准线方程为，，
由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，
设，，直线AB的方程为，
代入抛物线方程可得，，
∴，，①
又，，
由可得，∴，
整理得，即，
∴，②
把①代入②得，
则.
【点睛】
本题考查了抛物线性质的应用及方程的求解，考查了直线与抛物线的综合问题，关键是对题目条件合理转化，属于中档题.
7、设抛物线C：的焦点为F，经过点F的动直线交抛物线C于两点，且
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF、MA、MB的斜率分别为求证：当时，为定值.
答案： （1）；（2）.
试题分析：（1）设直线方程为，与抛物线方程联立，利用根与系数关系，即可求解；
（2）根据条件求出点坐标，用表示，再利用根与系数关系，即可证明结论.
【详解】
（1）抛物线C：的焦点，
设直线方程为，
联立，消去得，，
，
，所以抛物线方程为；
（2）抛物线准线方程为，设，
直线方程为，




,
所以为定值.
【点睛】
本题考查求抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的位置关系，要注意根与系数关系设而不求的应用，属于中档题.
8、已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点，和有公共焦点，点在轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当的准线与直线的距离为时，求及的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率为的直线交于，两点，交于，两点．当时，求的值．
试答案： （Ⅰ）：，：（Ⅱ）
试题分析：（1）依据题设条件“的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列”建立方程求得，从而求出的右准线方程为，然后借助题设“的准线与直线的距离为”建立方程求出，求出及的方程；（2）先建立直线的方程：，后与椭圆方程联立，借助已知求出的值，再与曲线的方程联立求出的值：
解：（Ⅰ）设：，其半焦距为．则：．
由条件知，得．
的右准线方程为，即．
的准线方程为．
由条件知，所以，故，．
从而：，：．
（Ⅱ）由题设知：，设，，，．
由（Ⅰ）知，即
由，知满足，
从而
由条件,得，故：．
由得，所以
于是
点睛：圆锥曲线是高中数学教材中较为典型的传统内容，也是高考每年重点考查的知识内容之一．本题以椭圆与抛物线两种圆锥曲线为背景设置问题，旨在考查椭圆、抛物线的标准方程与几何性质等基础知识，以及运用代数中的方程解决几何问题的各种综合能力．解答本题的第一问时，先依据题设条件“的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列”建立方程求得，从而求出的右准线方程为，然后借助题设“的准线与直线的距离为”建立方程求出，求出及的方程；求解本题的第二问，先建立直线的方程：，后与椭圆方程联立，借助已知求出的值，再与曲线的方程联立求出的值使得问题获解．
9、已知抛物线与圆一个交点的横坐标，动直线与相切于点，与交于不同的两点，，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）若，求的值.
答案： （1）；（2）.
试题分析：（1）将抛物线方程和圆方程联立，消去，得到关于的方程，然后将交点的横坐标代入方程中，可求出圆的半径，可得的方程；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立成方程组，消元后判别式等于零，得到，直线方程与圆的方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再结合，可得，从而可求出，的值，从而可求出点的坐标，进而得到的值
详解：（1）联立抛物线与圆的方程：，得，
由题意，满足上述方程，所以
解得，所以的方程为.
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得，由于直线与相切，所以，即①
联立直线与圆的方程：，得
设，，则，.
由得，，即
故
化简得，②，
将①代入②得：，解得或（舍去），，所以，
故直线的.
解方程组得，切点的坐标为，.
（1）当的坐标为时，此时，，故；
（2）当的坐标为时，此时，，故.
所以，.
【点睛】
本题主要考查抛物线方程、圆的方程、向量等综合知识，考查推理论证、转化与化归及运算求解能力，属于较难题.
三、面积
1、已知点，.若点在抛物线上，则使得的面积为2的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案： D
解析： 由题意可得，的方程为，，求出点到的距离的值，再代入面积公式得，由此求得的值，从而得出结论．
详解：由题意可得，的方程为，即．
设点，则点到的距离．
由于的面积为2，故有，化简可得，
①，或②．
解①求得或；解②求得或．
综上可得，使得的面积为2的点的个数为4.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，一元二次方程的解法，属于中档题．
2、在直角坐标系xOy中，是以PF为底边的等腰三角形，PA平行于x轴，点，且点P在直线上运动.记点A的轨迹为C.

（1）求C的方程.
（2）直线AF与C的另一个交点为B，等腰底边的中线与直线的交点为Q，试问的面积是否存在最小值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由.
答案： （1）；（2）存在，值为.
试题分析：（1）根据抛物线的定义得轨迹为抛物线（去除顶点），从而可得其方程；
（2）设直线AB的方程为，，，直线方程代入抛物线方程整理可得，由抛物线的焦点弦弦公式求得弦长，再求出点到直线的距离，求得三角形面积（表示为的函数），由函数性质可得最小值．
详解：（1）由题意得PA与直线垂直，且，
故点A到定点的距离和到直线的距离相等，
由抛物线的定义可得，C是以为焦点，
直线为准线的抛物线(除原点O)，
故C的方程为.
（2）存在．
设直线AB的方程为，，，
由，得，
则，，.
因为，，所以，
则.又P的坐标为，
所以PF的中点为，
故底边的中线所在的直线方程为.
令，得，
故Q的坐标为.点Q到直线AB的距离，
所以，
故当时，取得最小值4.
【点睛】
本题考查用定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦性质及抛物线中三角形面积问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标，，设直线AB的方程为，代入抛物线方程应用韦达定理得，然后用去表示出弦长，把三角形面积表示为参数的函数，再由函数知识得最小值．
3、已知抛物线：，点是上的不同于顶点的动点，上在点处的切线分别与轴轴交于点、．若存在常数满足对任意的点都有．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）过点作的垂线与交于不同于的一点，求面积的最小值．
答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）．
试题分析：（Ⅰ）先求导数，利用导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，即得、坐标，根据坐标化简，最后根据等式恒成立得，的值；
（Ⅱ）先设，根据向量垂直坐标表示得与横坐标关系，再根据两点间距离公式得、，最后根据三角形面积公式得面积函数关系式，利用导数求其最值，即得结果.
详解：（Ⅰ）设，则，

，
即．
分别与轴轴交于点、
，．
，
∵存在常数满足对任意的点都有∴．
（Ⅱ）设，


∵，，故，即



又，故的面积为
取，则．

∴在上是减函数，在上是增函数．
∴当时，的最小值是．
故面积的最小值是．
【点睛】
本题考查抛物线切线方程、等式恒成立、抛物线中三角形面积、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属较难题.
4、已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．

（1）求焦点的坐标，并证明直线过点；
（2）求四边形面积的最小值．
答案： （1），证明见解析；（2）3
试题分析：（1）由点斜式设出直线的直线方程，再由在上，得出直线的方程，从而证明直线过点；
（2）将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，抛物线的性质，点到直线的距离公式得出，，再由四边形的面积，结合导数得出四边形面积的最小值．
详解：（1）由题意可知
设，则即
同理.
又在上,则,所以
所以直线过焦点F.
（2）由（1）知,代入得
则
则
到AB的距离,所以
由（1）知,则
所以,令
则四边形的面积
设，
当时，
即函数在上是增函数
则四边形面积的最小值为3
【点睛】
本题主要考查了抛物线中直线过定点问题，抛物线中的四边形的面积问题，属于中档题.
5、已知抛物线经过点.
（1）写出抛物线的标准方程及其准线方程，并求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
（i）求点的坐标；
（ii）求与面积之和的最小值.
答案： （1），，焦点到准线的距离为1；（2）（i），（ii）.
试题分析：（1）由抛物线经过点，求得抛物线的方程为，再结合抛物线的几何性质，即可求解；
（2）（i）设过点的直线，联立方程组，求得，再由直线的方程，，即可求解的坐标；
（ii）利用三角形的面积公式，求得与面积之和的表示，结合基本不等式，即可求解.
详解：（1）由题意，抛物线经过点，即，
解得，所以抛物线的方程为，
抛物线的准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为1.
（2）（i）设过点的直线，
代入抛物线的方程，可得，
设直线与抛物线的交点，且，
则，
所以直线的方程为，
即，即，
令，可得，
所以，所以，所以，
（ii）如图所示，可得，
，
所以与面积之和为：
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以与面积之和的最小值为.

【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
6、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点的直线与抛物线相交于、两点，、分别与轴相交于、两点，当轴时，．

（1）求抛物线的方程；
（2）设的面积为，面积为，求的取值范围．
答案： （1）；（2）．
试题分析：（1）当轴时，求出，利用勾股定理可求得正数的值，进而可得出抛物线的标准方程；
（2）设直线的方程为，设点、，求出点、的坐标，进而可求得、关于的表达式，可得出关于的表达式，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
详解：（1）当轴时，直线的方程为，联立，可得，
则，且，，解得，
因此，抛物线的标准方程为；
（2）设直线的方程为，
由，得，
设点、，所以，，
直线方程为，
令，得，同理，
所以

其中，
则，当时等号成立，
因此的取值范围为．
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中三角形面积比的取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.

四、综合类
1、已知抛物线：（）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

（1）求p的值；
（2）设（）为抛物线上的动点，过P作圆的两条切线分别与y轴交于A、B两点.求的取值范围.
答案： （1）；（2）
试题分析：（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义得到求解.
（2）设过点的直线方程为，根据直线与圆相切，则有，整理得：，根据题意，建立，将韦达定理代入求解.
详解：（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4，
由抛物线的定义得：，
解得:.
（2）设过点的直线方程为，
因为直线与圆相切，
所以，
整理得：，
，
由题意得：
所以，，
因为，
所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2、若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.
答案： (1)；(2)或
试题分析：(1)先设的坐标为，根据向量与轴正方向的夹角为60°，可得出，再利用三角形的面积公式可求得的值即可求出抛物线的方程；
(2)先设的坐标为，利用两点间的距离公式分别求出，，再利用基本不等式求出取得最大值时点的坐标，即可求出直线的方程.
详解：(1))设的坐标为，(如图)

因为向量与轴正方向的夹角为60°,，
所以，
根据抛物线定义得：，
即，解得：即，
则，
解得：即抛物线的方程为：；
(2)设的坐标为，，则
，
因为点在抛物线：上，即有：，
所以，
，
因此

当且仅当即时等号成立，
此时，，
所以直线的方程为：
或
【点睛】
本题考查了抛物线定义、两点间距离公式以及利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于一般题.
3、已知抛物线，焦点为F，过外一点Q（不在x轴上），作的两条切线，切点分别为A，B，直线QA，QB分别交y轴于C，D两点，记的外心为M，的外心为T．

（1）若，求线段CF的长度；
（2）当点Q在曲线上运动时，求的最大值．
答案： （1）；（2）.
试题分析：（1）由确定切点的坐标，设方程为，由和点在切线上求出切线方程，则点坐标可求，从而线段CF的长度可求.
（2）设、方程，联立抛物线方程，表示出的坐标，求出线段的中垂线方程，求出，求出线段的中垂线方程，由两中垂线方程求出的坐标，采用同样的方法确定的外心为，表示出，用换元法可求最大值.
详解：解：，由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，
设方程为，不妨设，
，
，设，
(1)，，
，则，，
所以，，，
所以线段CF的长度为.
(2)，设，
设方程为，，同理，，
的中点，，
中垂线方程为，
，即，
线段的中点，
线段的中垂线方程为，
，，
所以，
，，
线段的中垂线方程为，的中点，，
中垂线方程为，
，，
，
在上，所以，
令，
，，



，
令，，开口向下，
，
所以的最大值为.
【点睛】
以直线、三角形的外心、抛物线和椭圆为载体，求向量数量积的最大值，综合考查学生的运算求解能力、逻辑思维能力以及换元的思想方法，运算量大，变量多，属于难题.
4、已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．
（1）求抛物线和双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．
答案： （1）抛物线E的标准方程为，双曲线C的标准方程为（2）
试题分析：（1）由双曲线过点，且其离心率为．可得，，，联立解得：，，即可得出双曲线的标准方程．可得，解得．可得抛物线的标准方程．
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．的方程为：．可得．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由题意可得：．联立化为：．设，，，．利用根与系数的关系可得．设的半径为，．过点作，垂足为．在中，，可得范围，及其范围，即可得出结论．
详解：（1）由双曲线过点，且其离心率为．
，，，
联立解得：，．
双曲线的标准方程为：．
由，可得，解得．
抛物线的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．
的方程为：．
可得，．．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
由题意可得：．联立，化为：．
设，，，．则，．
，
．
设的半径为，则．
过点作，垂足为．
在中，．
，则．
综上可得：的最大值为．

【点睛】
本题考查了双曲线与抛物线的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
5、已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，且，其中过，分别作抛物线的切线，，设，交于点.

（1）如果点的坐标为(-2，0)，求弦长
（2）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求取值范围.
答案： （1）；（2）.
试题分析：（1）设，，根据可求得，，再利用两点间的距离公式，即可得到答案；
（2）令，由（1）可得，所以，再利用焦半径公式及一元二次函数的判别式大于等于0，即可得到答案；
详解：解：（1）设，，则过、的切线方程分别为
，，
联立两条切线方程可得交点，
又由，可知，即，所以
，从而
因为点的坐标为(-2，0)，则，不妨设，则，
所以，，
因此，
（2）令，由（1）可得，所以，
因此，
因为，所以，
所以，
令，
则，由得，
即，
解得，
即的取值范围为|.
【点睛】
本题考查抛物线的弦长、焦半径公式、抛物线中的范围问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，运算量较大，属于难题.