专题01：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈空间几何体及点、线、面位置关系解析版

空间几何体及点、线、面位置关系

题型一、空间几何体的结构特点

1、给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；

③半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面；

④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．

其中正确命题的序号是（    ）

A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③

【答案】： D

【解析】：

根据常见几何体的性质逐个判定即可.

详解：对于①,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,但不一定是全等平行四边形,所以①错误；

对于②,用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台,所以②错误；

对于③,半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,③正确；

对于④,棱台的侧棱延长后交于一点,但侧面不一定是等腰梯形,所以④错误.

综上知,正确的命题序号是③.

故选：D.

2、以下说法不正确的是______________.(写出所有不正确说法的序号)

（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.

（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.

（3）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台.

（4）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径.

【答案】： （1）（2）（3）（4）

【解析】：

根据棱锥的定义可得（1）错误；当相邻侧面不垂直时可判断（2）错误；只有以垂直于底边的腰旋转才符合要求，可得（3）错误；圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥的母线长可判断（4）错误.

详解：有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故（1）错误；

所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，

因为各相邻侧面并不一定都互相垂直，所以（2）错误；

以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，以另一腰为轴所得旋转体不是圆台，故（3）错误；

圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故（4）错误，

故答案为：（1）（2）（3）（4）.

【点睛】

本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的机构特征，属基础知识的考查.

题型二：空间几何体的表面积和体积

1、一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为1的正方形和正三角形，则此圆柱的表面积是________，此圆锥的体积是________.

【答案】：      

【解析】：由圆柱、圆锥轴截面的性质结合圆柱的表面积、圆锥体积公式即可得解.

详解：因为一个圆柱的轴截面是边长为1的正方形，

所以该圆柱的底面半径为，高为1，

所以该圆柱的表面积；

又一个圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，

所以该圆锥的的底面半径为，母线长为1，

所以该圆锥的高为，

所以该圆锥的体积.

故【答案】为：；.

2、一圆台的母线长为20cm，母线与轴的夹角为，上底面半径为15cm，则下底面半径为____，圆台的高为_______.

【答案】： 25     

【解析】：

分析：根据题意画出图形，结合图形求出圆台的高和下底面圆的半径和高．

详解：解：如图所示，

圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，上底面的半径为，

所以圆台的高为，

则，

所以底面圆的半径为，

故答案为：；

3、将一个半径为的半球切削成一个正方体（保持正方体的一个面在半球底面所在平面上），所得正方体体积的最大值为（    ）

A． B．8 C． D．4

【答案】： B

【解析】： 利用数形结合，可得当正方体体积的最大值时，该正方体内接于半球，然后计算正方体的棱长，结合勾股定理以及正方体体积公式，可得结果.

详解：由题意：当正方体内接于半球时体积最大，

如图，

连接球心与点，连接，则．

设正方体棱长为，则在中，

，，

解得，故正方体体积的最大值为8.

故选：B．

【点睛】

本题考查几何体内接于半球的问题，常采用数形结合，形象直观，难点在于找到该正方体体积最大时的位置，属基础题.

4、如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为.若在容器内放入一个半径为1的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心（水没有溢出），则的值为______.

【答案】：

【解析】： 倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，得出底面半径与水深的关系，求出水深为的体积，放入球后体积增加，根据球与圆锥的关系求出，可以得到半球和水的体积和，建立的方程，即可求出结论.

详解：倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，当水深为时，

底面半径为，此时水的体积为，

当球放入圆锥容器后截面图如下所示，作，垂足为，

则球的半径为，此时，底面半径为，

体积为，所以，

.

故【答案】为:.

【点睛】

本题考查圆锥的结构特征和体积、球的体积等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

5、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】： A

【解析】： 细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则【答案】可求.

详解：解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，

设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，

∴细沙的体积为.

细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，

则，

得.

∴.

故选：A.

【点睛】

此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题

6、某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.则该几何体共有______面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是______.

【答案】： 14     

【解析】：

由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，

所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.

详解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，

所以该几何体共有14个面；

如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是

.

故【答案】为：14，.

【点睛】

本题考查几何体面数的辨析，考查多面体表面积的计算，属于基础题.

题型三、斜二测画法

1、利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③相等的角在直观图中仍然相等;④正方形的直观图是正方形.以上结论正确的是(    )

A．①② B．① C．③④ D．①②③④

【答案】： A

【解析】： 由直观图的画法和相关性质，逐一进行判断即可.

【详解】

斜二侧画法会使直观图中的角度不同，也会使得沿垂直于

水平线方向的长度与原图不同，而多边形的边数不会改变，

同时平行直线之间的位置关系依旧保持平行，故：

①②正确，③和④不对，因为角度会发生改变.

故选：A.

【点睛】

本题考查斜二侧画法的相关性质，注意角度是发生改变的，这是易错点.

2、如图所示是水平放置三角形的直观图，点是的边中点，，分别与轴、轴平行，则三条线段，，中（    ）．

A.最长的是，最短的是 B.最长的是，最短的是

C.最长的是，最短的是 D.最长的是，最短的是

【答案】： B

【解析】： 根据直观图可得竖直放置的，根据其形状可得到三条线段、、长的大小关系.

【详解】

竖直放置的如图所示：

因为在直观图中，，故在图（1）中，轴，同理，轴，

所以为直角三角形，故，

故选：B.

【点睛】

本题考查斜二测画法，其关键是“横等竖半”即平行于的线段长度不变，平行于轴的线段长度变成原来的一半，如果知道直观图，只需要“横等竖倍”还原即可.

3、已知水平放置的的直观图(斜二测画法)是边长为的正三角形，则原的面积为______

【答案】：

【解析】： 如图所示建立坐标系，根据正弦定理得到，，计算面积得到【答案】.

【详解】

如图所示建立坐标系：

在图1的中， ，故，故.

.

故【答案】为：.

【点睛】

本题考查了斜二测画法的面积计算，意在考查学生的计算能力.

4、已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则此正三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】： A

【解析】：

根据的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积.

【详解】

由于，所以，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为，其面积为，所以正三棱锥的体积为.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.

5、如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】： D

【解析】：

由直观图与原图形的面积比为求解．

详解：设的边上的高为，因为，所以，又，所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查斜二测画法中的面积问题，根据斜二测画法的规则，直观图与原图形面积比为．

题型三、点、线、面的位置关系

1、已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（    ）

A．一定是异面直线 B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线

答案： C

解析：

详解：如图：

设，为两个相交于直线的平面，其中，平面；，平面，且.

A、D项，如图中满足题设条件，但与是相交直线，故A、D项错误；

B项，如图中满足题设条件，但与是异面直线，故B项错误；

C项，假设，则由可知，这与、异面矛盾，所以与不可能平行，

故选C.

（多选）2、下列说法中正确的有（    ）

A．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为

B．用斜二测法作△ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为

C．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分

D．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．

【答案】： ACD

【解析】： 对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可.

对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可.

对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可.

对D,利用反证法证明即可.

详解：对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S底面积＝6？1×1×sin60°；

又侧棱长为,则棱锥的高h2,

所以该棱锥的体积为VS底面积h2,A正确；

对于B,水平放置直观图是边长为a的正三角形,直观图的面积为S′a2×sin60°,则原△ABC的面积为S＝2S′＝2a2a2,所以B错误；

对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；

若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；

若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；

若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；

若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；

所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C正确；

对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D正确；

综上知,正确的命题序号是ACD.

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题.

3、下列命题正确的是（    ）

A．若直线平面，直线平面，则；

B．若直线l上有两个点到平面的距离相等，则；

C．直线l与平面所成角的取值范围是；

D．若直线平面，直线平面，则

【答案】： D

【解析】：

根据线面平行垂直的性质与判定判断即可.

详解：对于A，若直线平面，直线平面,不一定有，故A错误；

对于B，当平面时也满足直线上有两个点到平面的距离相等，故B错误；

对于C，直线l与平面所成角的取值范围是，故C错误；

对于D，若直线平面，直线平面，则成立，故D正确.

故选：D.

（多选）4、已知两条直线，及三个平面，下列条件中能推出的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】： ABC

【解析】：

利用面面垂直的判定定理与性质定理来处理.

详解：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A正确；选项B显然正确；

如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面 那么另一个平面也垂直这个平面知选项C

正确；D选项有可能与可能平行.

故选：ABC.

5、已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：

①若，，，则；

②若，，，则；

③若，，，则；

④若，，，则．

其中，真命题的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

【答案】： D

【解析】：

对于①，也可能相交；对于②，可能相交，平行，异面；对于③④均可以看成是平面的法向量，是平面的法向量即可.

详解：①，，且，α，β也可能相交，如图所示，所以错误；

②若，，，则可能相交，平行，异面，所以错误；

③利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；

④利用当两个平面互相垂直时，这两个平面的法向量垂直，故成立；

即真命题的序号是③④，

故选：D.

6、如图，是平行六面体，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（　　）

A.不共面 B.三点共线

C.不共面 D.共面

答案： B

解析： 根据空间中的点、线、面的位置关系来判断是否共线、共面.

【详解】

如图所示：连接，

因为平面，平面，所以是平面与平面的交线；又因为直线交平面于点，所以，所以三点共线，则B正确；因为平面，所以共面，故A错误，同理可知C错误；显然不是中点，所以不共面，故D错误，

故选：B.

【点睛】

本题考查空间中的共线、共面的判断，难度一般.当两个平面的交线为时，若其中一个平面内的直线与另一个平面相交，则交点一定在上

7、给出下列命题

（1）若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面；

（2）若三条直线两两平行，那么这三条直线共面；

（3）若直线与直线异面，直线与直线异面，那么直线与直线异面；

（4）若直线与直线垂直，直线与直线垂直，那么直线与直线平行；

其中正确的命题个数有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

答案： A

解析：

根据空间直线与平面平行垂直的性质与判定逐个分析即可.

【详解】

(1)如正四面体的任意一定点经过的三条棱均相交,但这三条直线异面.故(1)错误.

(2)如直三棱柱的三条高均互相平行,但这三条直线异面.故(2)错误.

(3)当与相交且,时可满足直线与直线异面,直线与直线异面,但直线与直线共面.故(3)错误.

(4)同(3)可知(4)错误.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了线面平行垂直的判定,需举出反例证明结论不正确,属于基础题.

8、下列命题中不正确的个数是（    ）

①若直线上有无数个点不在平面内，则；

②和两条异面直线都相交的两条直线异面；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

A．0 B．1 C．2 D．3

答案： D

解析：

A：根据线面位置关系进行判断即可；

B：通过长方体举特例进行判断即可；

C：根据线面平行的性质进行判断即可；

D：根据确定平面定理，结合异面直线的定义进行判断即可.

【详解】

A：当直线与平面相交时，直线上也存在有无数个点不在平面内，故本说法不正确；

B：如下图，在长方体中，都与异面直线都相交，而是相交直线，故本说法不正确；

C：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条有可能在该平面内，故本说法不正确；

D：两个相交线可以确定一个平面，因此一条直线和两条异面直线都相交，一共能确定两个平面，如果这两个平面重合，这与异面直线的定义相矛盾，故本说法是正确的.

【点睛】

本题考查了线面关系、线面平行的性质，考查了异面直线的定义人，考查了确定平面问题，属于中档题.

9、在正方体中，、、分别是棱、、的中点，点在上且．则以下四个说法：________(填序号).

①平面；②平面；③、、三点共线；④平面平面.

答案： ②③

解析：

观察正方体不难发现①因为直线在平面内；（4）平面与平面相交，是错误的；②在平面内找到直线和它平行③利用相似可以说明是正确的．

详解：

解：①，连接、，

得、交与点，即面，所以面是错误的；

②平面延展，可知、在平面上，，所以面，是正确的；

③由，以及②△，所以，，，三点共线，是正确的；

④直线延长到，则在平面，又在平面，面面是错误的．

故答案为②③

【点睛】

本题考查直线与平面平行，平面与平面平行的判定，三点共线问题，考查空间想象能力，是基础题．