专题11：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈双曲线与抛物线的定义与标准方程解析版

                 双曲线、抛物线的定义与方程

一、双曲线的定义与标准方程

1、设平面内有两个定点，和一个动点，命题甲：为定值;命题乙:点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案： B

解析： 命题乙由点P的轨迹是以，为焦点的双曲线可得到动点P到两定点的距离的差的绝对值等于定值，即命题乙推得命题甲;再根据||PF1|﹣|PF2||是定值可得到动点P的轨迹是双曲线或射线，即命题甲不一定推出乙，从而可得到答案．

详解：命题甲：||PF1|﹣|PF2||是定值可得到动点M的轨迹是双曲线或以为端点的射线 ，不一定推出命题乙，故不充分

命题乙：点p的轨迹是双曲线，则可得到P到两定点的距离的差的绝对值等于一常数，即可推出命题甲，故必要；

∴命题甲是命题乙的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】

本题考查双曲线的定义，若||PF1|﹣|PF2||是定值，则动点P的轨迹：若||PF1|﹣|PF2||>,P的轨迹为双曲线；||PF1|﹣|PF2||=,P的轨迹为两条射线.

2、方程表示双曲线的充分不必要条件是（    ）

A． 或 B． C． D． 或

答案： C

解析： 根据双曲线的标准方程，方程表示双曲线，可得，解得的范围，根据充分必要条件判断得出结论即可．

详解：解：方程表示双曲线，可得，解得或；

记集合或；

所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集，

由于，

故选：．

【点睛】

本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3、若双曲线的左、右焦点分别为，，点P是双曲线上的一点，且，则 ________.

答案： 9

解析： 利用双曲线定义即可求得.

详解：双曲线,所以 因为双曲线定义为,由于,所以,或,由于,(舍).

故答案为:.

【点睛】

本题考查双曲线定义,特别注意,难度一般.

4、若双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

答案： C

解析： 先假设双曲线的标准方程为，求出其渐近线方程后可得的值，再由焦点到渐近线的距离可得的值，从而得到双曲线的方程.同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程.

详解：若双曲线的焦点在轴上，则其方程为，

故渐近线为，所以.

又双曲线的焦点到渐近线的距离为，故，所以，

故双曲线的方程为：.

若焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，

故渐近线为，所以.

又双曲线的焦点到渐近线的距离为，故，所以，

故双曲线的方程为：.

故选C.

【点睛】

求双曲线的标准方程，一般要根据焦点的位置确定标准方程的形式，如果焦点的位置不确定，则需分类讨论，此类问题属于基础题.

5、已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是_____________.

答案：

解析： 连接,可得点为的中点，故，由线段的垂直平分线与直线相交于点，可得，可得，可得点的轨迹为双曲线，可得其方程.

详解：解：如图,连接，

由题意可得：，且点为的中点，故，

又线段的垂直平分线与直线相交于点，

可得：, 故，

故其轨迹为双曲线，且，，且焦点在轴上，

可得其轨迹方程为：，

故答案为：.

【点睛】

本题以圆为载体，考查了双曲线的定义，体现了转化思想的应用.

6、若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_____________.

答案： 9.

解析： 设双曲线的右焦点，则，再利用双曲线的定义，三角形的两边之差小于第三边，即可得答案.

详解：设双曲线的右焦点，则，

∴，

等号成立当且仅当共线.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的定义、三角形的两边之差小于第三边，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意利用定义进行转化问题.

7、已知点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

答案： C

解析： 由已知条件可得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再把的最大值转化为求即可．

详解：由双曲线的知识，不妨设的两个焦点分别是与，

且，

而这两点恰好是两圆和的圆心，且两圆的半径分别是，

所以，

所以的最大值为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了圆的方程的认识和直线与圆锥曲线的综合应用能力，合理地进行等价转化是解决问题的关键，属于基础题.

8、已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，直线分别与以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆相切于点，则（    ）

A． B．6 C．8 D．10

答案： B

解析： 设点在双曲线的右支上，过作于点，根据双曲线的定义，求得，再在中，结合勾股定理，即可求解.

详解：由题意，双曲线，可得，则，

设点在双曲线的右支上，如图所示，

过作于点.易得四边形为矩形，

因为，

所以

又因为，

所以在中，，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的定义与标准方程，以及直角三角形的应用，其中解答中熟记双曲线的定义和标准方程，求得的长是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

9、已知、是双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则该双曲线方程为（    ）

A． B． C． D．

答案： C

解析： 连接，求得，进而可求得，，求得，利用余弦定理可得，代入可求得、的值，由此可求得该双曲线的标准方程.

详解：如下图所示：

连接，则，且，，，

由于是上的一个靠近点的三等分点，

则，，

，

由余弦定理得，解得，

，解得，则，

因此，双曲线的标准方程为.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线标准方程的求解，同时也考查了双曲线的定义以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

10、（多选）下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为（    ）

A．设A、B为两个定点，K为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线

B．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

C．双曲线与椭圆有相同的焦点

D．已知抛物线，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切

答案： BD

解析：

对A，根据双曲线的定义可知错误；对B，求出方程的两根，即可判断；对C，利用的关系判断；对D，利用抛物线的焦半径求解.

详解：，

对A，当且，点的轨迹是双曲线，故A错误；

对B，方程分别为和，故两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故B正确；

对C，双曲线中，椭圆中，所以焦点坐标不一样，故C错误；

对D，设弦AB的中点为，过分别作抛物线准线的垂线，垂足为，则，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切，故D正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查双曲线的定义、离心率、焦点坐标等概念，考查对概念的理解与应用.

11、已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

答案： D

解析：

由点在双曲线上可得，设、，的中点为，的方程为，结合题意可得的坐标，再由、在双曲线上，利用“点差法”求得直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.

详解：∵点是右焦点为的双曲线上一点，

∴，得，

即双曲线方程为，右焦点，

设、，的中点为，的方程为，

而，又的重心恰好落在椭圆的右焦点上，

由重心坐标公式可得，，

故，，则的中点为，

又、在双曲线上，，

两式相减可得，

可得，

又由直线过点 ，

则直线的方程是，整理得：，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了直线与双曲线相交的位置关系、三角形的重心坐标公式，利用“点差法”求出直线的斜率是解题的关键，属于中档题.

12、已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，若，则内切圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

答案： A

解析：

在中，设，，内切圆半径为，由余弦定理，得，即，结合已知，即可求得答案.

详解：在中，设，，内切圆半径为，

由余弦定理，得，

即，

又①

，

则，

得②

由①②可得：

又，

解得.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆内三角形的内切圆的半径，解题关键是掌握求椭圆内三角形求法和余弦定理，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

13、已知是双曲线右支上的一点，分别是圆和上的点，则的最大值是___________.

答案： .

解析： 根据双曲线方程可知,双曲线的两个焦点刚好是两个圆的圆心. 若取最大值,则只需即可.由双曲线定义及点与圆的位置关系即可求解.

【详解】

双曲线,是双曲线右支上的一点所以

双曲线的两个焦点分别为,,则这两点刚好是两圆和的圆心,

则两个圆的半径分别为

所以由几何性质可知

同理

所以的最大值即为

所以的最大值为.

故答案为:

【点睛】

本题考查了双曲线的标准方程及定义的应用,圆的标准方程及点与圆距离的最值问题,属于中档题.

14、过双曲线的右顶点，作的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点，点，若四边形的面积为5，则的焦距的最小值是（        ）

A． B． C． D．

答案： A

解析：

由题意可知为等腰三角形，利用渐近线斜率可求出高，表示出四边形面积，利用重要不等式求最值即可.

【详解】

如图：

在中，由双曲线渐近线可知,

作,则是中点，

，

，

四边形面积，

即，

又，当且仅当时，等号成立，

，

，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，不等式求最值，属于中档题.

15、已知双曲线C：的左右焦点分别是，，点P是C的右支上的一点（异于顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则（    ）

A．随P点变化而变化 B．5

C．4 D．2

答案： B

解析：

由题设条件结合等腰三角形的性质可得，由双曲线的定义推出，由中位线定理可得，由双曲线的方程可得所求值．

详解：双曲线的左右焦点分别是，，延长交于，

是的角平分线，，

在双曲线上，，

，

是的中点，是的中点，

是△的中位线，，

即，

双曲线中，则．

故选：B．

【点睛】

本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用等腰三角形的性质和中位线定理，考查推理能力．

16、（多选）双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为(    )

A．4 B． C．2 D．

答案： ABD

解析： 由渐近线上的点的坐标可求得渐近线方程；利用对称关系可知，由此求得；当三点共线且在双曲线右支上时，可知取得最小值，无最大值，由此可判断各个选项能否取得.

【详解】

由双曲线方程得渐近线方程为：

在渐近线上    渐近线方程为

设坐标原点为，则   

当三点共线且在双曲线右支上时，最小

又为双曲线上的动点    无最大值

选项中的值均大于，选项中的值小于

选项中的值均有可能取得

故选：

【点睛】

本题考查双曲线中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够确定最小值取得的位置，进而确定最小值.

17、已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

答案： D

解析： 利用平面几何和内心的性质，可知的横坐标都是，得到轴，设直线的倾斜角为，和分别表示和，根据，将表示为的三角函数求最值.

【详解】

内切圆与各边相切于点，

有的横坐标相等，，，

，

在双曲线上，即是双曲线的顶点，

与双曲线相切于顶点（如图）

的横坐标都是，

设直线的倾斜角为 ，那么 ,

中，

双曲线 ， ，

可得 ，

，

的范围是

故选D.

【点睛】

本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键1.根据几何性质确定的横坐标都是，2.设倾斜角为，将表示为的三角函数.

18、已知点在双曲线上，点满足（），且，，则的最大值为________

答案： 8

解析： 由，得到，则，设，，可得，将点代入双曲线中得，结合，可得，从而得到．

【详解】

，，

则，，

设，，…，

，

则，即，将点代入双曲线中得：

，①，

，

②，

由①②得，

，

．

则的最大值为8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积、模的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为点的纵坐标绝对值的最值.

19、已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

答案： C

解析： 根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.

【详解】

由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，

必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：

当为钝角时，在中，设，

有，，

即，，

所以

；

当时，所在直线方程，所以，，

，根据图象可得要使，点向右上方移动，

此时，

综上所述：的取值范围是.

故选：C

【点睛】

此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.

二、抛物线的方程

1、抛物线上的两点A、B到焦点F的距离之和为5，则线段AB的中点的横坐标是____.

答案： .

解析： 根据焦半径公式，将两点A、B到焦点F的距离之和，转化为横坐标关系，即可求解.

【详解】

抛物线焦点坐标，准线方程为，

设，

，线段AB的中点的横坐标是.

故答案为:.

【点睛】

本题考查抛物线焦半径长公式，注意定义在解题中的应用，属于基础题.

2、在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（    ）

A． B．1 C． D．2

答案： B

解析： 本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.

详解：解：设，，则线段AB的中点到y轴的距离为：，

根据抛物线的定义：，

整理得：，

故线段AB的中点到y轴的距离为：，

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义，是基础题.

3、已知圆：和抛物线：，过的圆心作直线，与曲线，交于点，，，（如图所示），则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．的最小值为1 D．的最大值为4

答案： A

解析： 设，,直线：，代入抛物线方程，得,根据抛物线的定义结合圆可得，，由韦达定理可得答案.

详解：设，直线：，代入抛物线方程，得．

所以，易知圆的圆心即为抛物线焦点．

根据抛物线的定义知，，，故，，

所以．

因为，所以．

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的定义，考查方程联立韦达定理的应用，属于中档题.

4、已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．3

答案： A

解析： 作图，根据抛物线上一点到焦点的距离等于这一点到准线的距离，得到，再利用，得到，代入，求解即可.

【详解】

根据题意，如图，的焦点，准线：，

过点作准线的垂线，并交准线于点，

，

由相似，，因为，所以，

又，所以.

故选：A

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义，一般和抛物线相关的题，一定考虑抛物线上的点到到焦点的距离等于这一点到准线距离的转化，还考查数形结合和转化的思想，属于基础题.

5、设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为（     ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： 设点，则因为，所以由可得，再由抛物线的定义可得：，即，所以，，所以的面积为，所以的面积为，所以，即，故应选.

考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质.

6、已知动圆M过点且与直线相切.则动圆圆心M的轨迹C的方程_____________

答案：

详解：（1）由已知可得，点M到点的距离等于点M到直线的距离，所以点M的轨迹是抛物线.

点P为抛物线的焦点，直线即为抛物线的准线.

设抛物线C的方程为，所以，所以，

故动圆圆心M的轨迹C的方程为.

7、已知抛物线和圆，直线l经过定点，依次交于A，B，C，D四点，则的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

答案： B

解析： 根据题意，作出图象，利用抛物线的定义，将问题转化为焦点弦两端点的纵坐标之间的关系.

【详解】

根据题意，抛物线的焦点，圆的圆心，以及直线过的点是同一个点，作图如下：

故：

.

则当直线AD垂直与轴时，

故此时.

当直线AD不垂直与轴时，设直线方程为

联立抛物线方程，整理得：

故可得：.

故此时.

综上所述：.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义的应用，问题的关键是将线段进行转换，本题中是解题的关键步骤.

8、为抛物线的焦点，点在抛物线上，是圆上的点，则最小值是__________．

答案： 2

解析： 设 到抛物线准线的距离为 ，根据抛物线的定义知 ，由圆的几何性质及平面几何体知识可得， 的最小值是圆心到准线的距离与半径的差，即 ，故答案为 .

9、设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是    .

答案：

解析： 详解：因为在抛物线的内部，

且抛物线的准线为，

设点到准线的距离为，

则取得最小值，

取不到最大值，

所以,

的取值范围是,

故答案为.

考点：抛物线的性质．

10、已知点,动点的轨迹为,动点满足,则的最小值为_____.

答案：

解析： 根据题意画出图象, 动点满足,设,可得的轨迹为圆,设,且,可得,结合已知,即可求得答案.

详解：根据题意画出图象:

动点满足

设,

可得的轨迹为圆,

设,且,

可得,

化简可得,

的方程又为

可得,即,

可得的最小值为的最小值,

当三点共线,且为抛物线的法线时,取得最小值.

设,

由的导数为

可得,

解得:,

即,即有

【点睛】

本题主要考查了抛物线上动点最值问题,解题关键是掌握抛物线最值的求法和根据导数求最值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题

11、如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围（    ）

A． B． C． D．

答案： C

解析： 根据抛物线定义，将周长转化为同一条直线上线段的长度，进而求解范围.

【详解】

容易知，的周长为

作出抛物线准线，过A作AH垂直于，垂足为H；如图所示

由抛物线定义知：

由圆方程可知：，，故

综上所述，的周长

容易知，由图可知

故，即周长范围为.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义，求解周长范围问题，属抛物线定义基础题.

12、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则的最大值为________.

答案：

解析： 设,设到准线的距离等于,由抛物线的定义得,化简为，令,利用方程有解即可解得的最大值.

详解：因为焦点,设,则,设到准线的距离等于,

则由抛物线的定义得 ,令,则,

当时,;

当时, 有解的充要条件为:,

即,

 ,此时.

故答案为: .

【点睛】

本题考查抛物线的定义及性质,考查学生的转化与划归的能力,难度较难.

13、过抛物线的焦点作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点，，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.

答案：

解析： 过点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，根据均值不等式得到，得到答案.

【详解】

过点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，

则，可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了抛物线中的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

14、过抛物线的焦点的直线与相交于两点，且两点在准线上的射影分别为，，则_____________.

答案： 4

解析： 设,，，可得，，

，可得的值.

详解：解：如图：

设,，，

由抛物线定义可得：,,,

在中，由余弦定理可得：，

同理：，

故，，

，

故，

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题，注意余弦定理的灵活运用.

15、若抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，弦的中点在准线上的射影为，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

答案： B

解析： 根据抛物线的定义以及正弦定理化简，结合三角函数最值的求法，求得的最大值.

详解：根据抛物线的定义，

由正弦定理得①，

设，则①化为

所以当时，有最大值为，即的最大值为.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查正弦定理，考查三角函数最值的求法，属于中档题.