专题09：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈直线与圆中的最值问题解析版

直线与圆中的最值问题

一、与直线有关的最值

1、为已知实数， 直线的方程为，直线的方程为．

（1）讨论直线与的位置关系；

（2）当直线与平行时，求这两条平行线的距离的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）3．

【解析】（1）由题意，列方程组，

因为，

①当即时，相交；

②当即时，，

当时，重合；时，；

（2）当时，，此时恒过点，

恒过点，

所以当与线段垂直时，这两条平行线的距离最大，最大值为．

2、已知a，b为正数，且直线x﹣（2b﹣3）y+6＝0与直线2bx+ay﹣5＝0互相垂直，则2a+3b的最小值为___________．

【答案】

【分析】首先由直线与直线2bx+ay﹣5＝0互相垂直，可得3a+2b＝2ab，两边同除以ab可得，再利用基本不等式即可得解．

【解析】因为直线与直线2bx+ay﹣5＝0互相垂直，

所以，所以3a+2b＝2ab，两边同除以ab可得，

因为a，b都是正实数，

所以2a+3b＝（2a+3b）＝，

当且仅当即时，上式取到最小值，故答案为．

3、点到直线距离的最大值是

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【分析】由点到直线距离公式求得距离，然后由函数的知识得最大值．

【解析】由题意所求点到直线距离为，，

当且仅当时等号成立，所以．的最大值为2．故选D．

二、与圆有关的最值问题

1、已知圆的方程是，记过点的最长弦和最短弦分别为、，则直线、的斜率之和等于

A．  B．1

C．  D．

【答案】C

【分析】先利用圆的性质判定过圆内定点的直径是最长弦且垂直该直径的弦是最短弦，再求斜率，计算即得结果．

【解析】依题意，易见连接圆心与点的直线得到最长弦，，过点垂直直径的弦是最短弦，由得，，故．故选C．

2．圆上的点到直线的距离的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】，圆心，半径，

圆心到直线的距离，

所以圆上的点到直线的距离的最小值为，

最大值为，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为．故选A.

2、已知圆C：x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】因为圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，

所以整理得（x﹣4）2+y2=1，可得圆心为C（4，0），半径r=1．

因为直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，

所以点C到直线y=kx﹣2的距离小于或等于2，可得，

化简得3k2﹣4k≤0，解之得0≤k≤，可得k的最大值是．故选B．

3、已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】由于与中，，，

所以与全等，所以有，则在线段的垂直平分线上，根据、，中点为，，因此垂直平分线方程为，即，因为表示、两点间的距离，所以最小值就是到直线的距离，

由点到直线的距离公式得最小值为＝，故选B．

【名师点睛】本题考查求最小值问题，解题是几何意义进行转化，解题关键是由已知条件及圆的切线的性质求得点的轨迹，轨迹方程，然后由几何意义转化为求点到直线的距离即可得．

4、若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】将方程转化为半圆与直线有两个不同交点．当直线与半圆相切时，有，，

半圆与直线有两个不同交点时．

直线一定过，

由图象知直线过时直线的斜率k取最大值为1，．故选C．

5、若，满足，则的最小值是

A．5  B．

C．10  D．

【答案】A

【解析】由得表示以为圆心，以为半径的圆，表示圆上的点到原点距离的平方，因为当最小时，取最小值．而，则点在圆内，根据圆的性质，，则的最小值为．

故选A．

【名师点睛】求解与圆有关的最值问题时，一般结合圆的性质求解，形如的最值问题，可转化为圆上的动点到定点距离的平方的最值问题，先求圆心到定点的距离，判定定点与圆的位置关系，再结合圆的性质，即可求出结果．

三、最值综合问题

1．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

直线分别与轴，轴交于，两点

,则

点P在圆上

圆心为（2，0），则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故答案选A.

2、平面上的两个向量和，，，，若向量，且，则的最大值为

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】因为，所以，因为，，，

所以，取的中点D，且，如图所示：

则，所以，所以

，

因为，所以，所以C在以D为圆心，为半径的圆上，所以的最大值为．故选B．

3、已知圆：，为坐标原点，点，若圆上存在点使得，则的取值范围为

A．  B． 

C．  D．

【答案】A

【解析】由圆：，得圆心，设，，

，得，化简得，

为以为圆心，以2为半径的圆上，则圆与圆有公共点，满足：，

即，解得，或，故选A．

【名师点睛】解题关键在于求出为以为圆心，以2为半径的圆上，进而求出的范围，难点在于计算，难度属于中档题．

4、已知且，若向量满足，则当向量、的夹角取最小值时，

A．  B．8

C．  D．

【答案】C

【解析】在平面直角坐标系中，设，，．因为．所以，显然点在以为圆心，半径为2的圆上．

由图可知．当与圆相切时，、夹角取最小值．

此时．故选C．

5、已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【分析】利用切线长公式得，娵在的垂直平分线上，求出直线方程，利用几何意义，求出点到此直线的距离即为所求最小值．

【解析】由于与中，，，

所以与全等，所以有，则在线段的垂直平分线上，根据、，中点为，，因此垂直平分线方程为，即，因为表示、两点间的距离，所以最小值就是到直线的距离，

由点到直线的距离公式得最小值为＝，故选B．

【名师点睛】本题考查求最小值问题，解题是几何意义进行转化，解题关键是由已知条件及圆的切线的性质求得点的轨迹，轨迹方程，然后由几何意义转化为求点到直线的距离即可得．

6、若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是．

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】由圆，可得圆心坐标，半径为，

因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应不大于等于，可得，整理得，解得，

设直线的倾斜角为，即，

又由，

，即，

所以直线l的倾斜角的取值范围是．故选B．

【名师点睛】对于直线的倾斜角范围的求解问题

（1）求出斜率的取值范围；

（2）利用正切函数的单调性，结合正切函数的图象，确定倾斜角的取值范围；

（3）求解直线的倾斜角时要注意斜率是否存在．

7、已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】设的中点为，由，可得，则，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数的取值范围．

【解析】设的中点为，因为，所以，

因为，所以，所以或，

因为直线与圆相交，所以，所以，

因为，所以实数的取值范围是，，故选．

【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

8、已知圆上有三个不同的点，其中，若存在实数满足，则直线与圆的位置关系为．

A．相切  B．相离

C．相交  D．不能确定

【答案】A

【分析】将，移项平方化简，可得，利用圆心到直线的距离与半径的关系可得答案．

【解析】由得，，

，因为，，

所以，所以圆心到直线的距离，故相切，故选A．

【名师点睛】解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用根与系数关系以及判别式来解答．

9、若直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是___________．

【答案】

【分析】由曲线方程可得半圆图形，利用数形结合，不难得解．

【解析】由，得，，

如图所示，符合题意得直线夹在，之间，显然，的斜率为，

由，，

结合二倍角正切公式可得，答案：．

10、已知直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是___________．

【答案】[－1，0)∪(0，1]

【解析】令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－2b，

因为△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，所以△AOB的面积S＝|b|×|－2b|＝|b|2≤1，

因为b＝0时，A、O、B三点重合，构不成三角形，所以b≠0，

所以－1≤b＜0或0＜b≤1．故答案为[－1，0)∪(0，1]．

11、变量满足，则的最小值为___________．

【答案】4

【分析】利用的几何意义求解，它表示点到直线的距离，由此可得最小值．

【解析】表示直线上的点到定点的距离，最小值为．故答案为4．

【名师点睛】二元函数的最值问题中，与平方和有关的最值常常利用其几何意义求解，表示点动点与定点的距离，根据已知条件，动点可能是直线上的点（已知是二元一次方程），或圆上的点（二元二次方程），由点到直线的距离或点到圆心的距离可得最值．

12、过点且斜率为的直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【分析】将曲线化为，设点，当直线在直线和之间运动时，直线与曲线有公共点，其中点为，点为直线与曲线的切点，再由直线与圆相切的条件以及斜率公式即可得解．

【解析】曲线可化为，

设点，如图所示，当直线在直线和之间运动时，直线与曲线有公共点，

其中点为，点为直线与曲线的切点，即直线与圆心为，半径为1的半圆相切．直线的方程为，

在点处有，，解得或（舍，

而直线的斜率为，． 故答案为

【名师点睛】本题考查直线与圆的综合问题，熟练掌握圆的标准方程、直线与圆相切的条件是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

12、已知动点满足，为坐标原点，则的最大值为___________．

【答案】．

【分析】由曲线的方程可得曲线关于轴、轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，数形结合求得的最大值．

【解析】由曲线的方程，可得曲线关于轴、轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：

在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为，

转化为，满足方程，

表示以为圆心，半径为的圆的一部分．

所以的最大值为圆的直径．故答案为．

13、已知圆的方程为，直线：与圆交于，两点，则当面积最大时，直线的斜率=___________．

【答案】1或

【分析】由三角形面积公式求得面积最大时，，这样可求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式求得斜率．

【解析】圆的标准方程为，

直线可变形为，则圆心为，半径为2，直线过定点，

由面积公式可得，

所以当，即圆心到直线的距离为时，的面积取得最大值，

所以，解得或．故答案为1或．

【名师点睛】直线与圆相交于，圆心为，面积为，当的最大值不小于时，时，取得最大值，当的最大值时，取得最大值．不是任何时候最大值都是．

14、已知中，D是边上一点，，且，则的最大值是___________．

【答案】

【分析】固定边，则点在圆上运动，不妨设，则，求出，当是圆切线时，最大，即最大．求出切线的方程，得，从而得最大正弦值．

【解析】假设，则，因为，所以点在圆上运动（直线上方），不妨设，则，圆半径为，易得，显然当是圆切线时，最大，即最大，

设方程为，即，由，解得（舍去），即方程是，此时，即．

故答案为．

【名师点睛】本题考查三角形的应用，解题关键是在三角形中固定一边，得出点在圆上运动，从而由几何图形得出取最大值时，是圆的切线．

15、已知点，，动点，分别在直线和上，且与两直线垂直，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】设，求出点坐标，计算，再用几何意义求出的最小值即得．

【解析】设，由于与两直线垂直且，则，

故．

此式可理解为点到及的距离之和，其最小值即为．

故所求最小值为．故答案为．

【名师点睛】本题考查距离之和的最值问题，解题方法是用坐标表示距离，化几何问题为代数问题，利用函数知识求解，对平方和（或二次根式下的平方和）形式，或一次分式形式的代数式又可利用几何意义：两点间的距离公式，点到直线的距离，直线的斜率，可代数问题转化为平面上的几何问题，利用图形易得结论．

16、已知圆与直线，上任意一点向圆引切线，切点为A，B，若线段AB长度的最小值为，则实数的值为___________．

【分析】先求出圆心和半径，设，则，由题意可得，从而可求得圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式可求出实数的值

【解析】圆C：，则圆心，，

设，则 ，

有最小值，

即圆心到直线的距离为，

即 (舍负)．故答案为.

17、在平面直角坐标系中，若圆：上存在两点、满足：，则实数的最大值是___________．

【答案】

【分析】根据题意，圆C的圆心为，在直线上，当圆心距离x轴的距离越远，越小，结合图象可知当时，圆心C在x轴上方，若、为圆的切线且，此时a取得最大值，可得，即，解可得a的值，即可得答案．

【解析】由题得，圆C的圆心为，在直线上，当圆心距离x轴的距离越远，越小，如图所示：当时，圆心C在x轴上方，若、为圆的切线且，此时a取得最大值，此时，有，即，解可得，故答案为．

【名师点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中分析角∠AOB的变化规律是解答的关键，考查学生的数形结合能力，以及推理与运算能力，属于中档题．

18、直线被圆截得的弦长的最大值是___________；若该圆上到此直线的距离等于1的点有且仅有4个，则的取值范围是___________．

【试题来源】浙江省丽水市五校共同体2020-2021学年高二上学期10月阶段性考试

【答案】       

【分析】确定圆的圆心和半径，由圆的性质可得直线过圆心时截得的弦长最大；转化条件为圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可得解．

【解析】因为圆的圆心为，半径为，

所以当直线过圆心时，截得的弦长最大，最大值为；

若要使该圆上到此直线的距离等于1的点有且仅有4个，

则圆心到直线的距离，所以．

故答案为；．

19、设，，点在轴上，使得取到最小值为___________，此时的点坐标为___________．

【答案】       

【分析】求得关于轴的对称点，可知当取最小值即为，为直线与轴交点；利用两点式求得直线方程，进而求得点坐标．

【解析】由题意得点关于轴的对称点，

（当且仅当三点共线时取等号），

又，则，直线的方程为，

即，当取最小值时，为直线与轴交点，

，故答案为；．

【名师点睛】本题考查定直线上的点到两点距离之和的最小值的相关问题的求解，关键是能够利用对称性确定最小值取得的情况，属于较易题．

20、已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，，切点分别为，，若切线，的斜率分别为，，，则为定值___________，的取值范围为___________．

【答案】4       

【分析】先根据题意得到直线，的方程，再根据直线与圆的位置关系得到，结合，即可求得圆心的轨迹方程，求出，再由圆的性质，可得的取值范围．

【解析】由题意可知，直线，，

因为直线，与圆相切，所以，，

两边同时平方整理可得，

，

所以，是方程的两个不相等的实数根，

所以．又，所以，即，

则；又，根据圆的性质可得，

所以，即．

故答案为4；．

【名师点睛】求解定点到圆上动点距离的最值问题时，一般需要先求圆心到定点的距离，判定定点与圆的位置关系，再结合圆的性质，即可求出结果；也可根据圆的参数方程，结合三角函数的性质求解．

，

21、已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为___________．

【答案】2

【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用三角形的面积公式即可求解．

【解析】⊙M：，则，

圆心为，半径，由：，

圆心到直线的距离，所以切线长，

所以四边形的面积的最小值为．

22、已知圆，过点任作圆的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，

（1）直线MN是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由；

（2）求四边形ACBD面积的最大值，并求出对应直线AB、CD的方程．

【答案】（1）过定点（0，-1），理由见解析；（2）14；AB、CD分别为或．

【解析】（1）当直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为

由得-点在圆内，故．

即 ，因为，所以直线：

同理可得，所以

所以直线的方程为

化简得，故直线MN恒过定点，

当直线的斜率不存在或为0时，显然直线MN恒过定点

综上，直线MN恒过定点．

（2）圆心到直线的距离，．

因为，以代换得，

，

当且仅当，即时，取等号，故四边形ACBD面积的最大值为14，

对应直线AB 、CD分别为或

【名师点睛】解决圆的弦长问题一般会用到以下方法：

（1）几何法：设直线被圆截得的弦为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则；（2）代数法：联立直线与圆的方程，利用弦长公式计算弦长．