专题12：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈离心率专题解析版
展开一、椭圆的离心率
1、设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
答案： A
解析： 设点，则，中点为，根据三点共线得到，得到答案.
详解：设点，则，，，则中点为，
三点共线，故，化简得到，故.
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，根据三点共线得到是解题的关键.
2、已知，分别为椭圆：（）的左右焦点，若椭圆上存在四个不同的点，满足的面积为，则椭圆的离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 根据焦点三角形面积的最大值为，得到的范围，再构造函数求函数的值域即可.
【详解】
因为焦点三角形面积的最大值为，
故只需，即即可满足题意.
又
易知，又
综上则
故选：B.
【点睛】
本题考查离心率取值范围的求解，其重点在于寻找到的范围.
3、已知椭圆的左、右焦点分别为，是短轴的一个端点若为钝角，则椭圆离心率的取值范围是___________.
答案：
解析： 由椭圆性质得，再结合余弦定理即可得，利用和椭圆性质即可得解.
详解：设椭圆的焦距为，
、、分别为椭圆的左、右焦点和短轴的端点，
，
为钝角，
即，
，由椭圆性质可得，
故椭圆离心率的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了椭圆的性质和余弦定理的综合应用，解题关键是把条件转化为与的关系，属于中档题.
4、如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是__________．
答案：
解析：
先设出两点的坐标分别为，由此可得，而则得，再由，和B，M，Q三点共线可得，而两点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程中，两方程作差得，由此可得，从而可求出离心率.
详解：设），
则，
由，则，
再由B，M，Q三点共线，则，
故，故即
，
又因为，，
即，
所以，故椭圆C的离心率是．
故答案为：
【点睛】
此题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的离心率，考查运算能力，利用了数形结合的思想，属于中档题.
5、已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 由向量加法的平行四边形法则及可证得，从而在中易得到的关系．得离心率．
详解：如图，取中点，连接，则，
∴，
∵，∴，∴，
∵，不妨设，则，
∴，，
又，
∴，
∴，∴．
故选：A.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率，解题关键是由得出，从而可快速得到的关系．
6、已知椭圆的右焦点和坐标原点是某正方形的两个顶点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆上，则椭圆的离心率不可能为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 依题意，如图所示，椭圆有，，三种情况，不妨设，再分别计算可得.
【详解】
解：如图所示，椭圆有，，三种情况，不妨设，则，
①对于，点在椭圆上，则，解得，由题知，所以，则，所以，故成立；
②对于，点在椭圆上，，，所以，故成立；
③对于，点在椭圆上，，解得又，所以，，故成立；
故选：
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，考查分类讨论思想，属于中档题.
7、设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 【详解】
记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.
【方法点晴】
本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于的不等式，最后解出的范围
8、椭圆中心为原点，且焦点在轴上，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案： B
解析： 设出椭圆的方程和点，根据以及点在椭圆上可解出点的横坐标，再根据椭圆的几何性质可知，，即可求出该椭圆离心率的取值范围．
【详解】
设椭圆的方程为，点，即有．
因为，所以即，又点在椭圆上，
有，联立解得，而，∴即．
故，又，∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于基础题．
9、设是椭圆的左焦点,焦距为,为椭圆上任一点,已知点,的最大值为,则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
答案： C
解析： 因为,由,可知为椭圆外一点,设右焦点为,,结合已知,即可求得答案.
【详解】
,
又
为椭圆外一点
设右焦点为,
为椭圆上任一点,
根据椭圆定义可得:
,
即
根据两点间距离公式可得:
,
解得:,
.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的离心率,解题关键是掌握椭圆的定义和椭圆离心率的的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
10、设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析：
利用点在椭圆的内部，以及列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围.
详解：因为点在椭圆的内部，所以①，而②，…，由①②得，即.所以.
因为，而，所以，即，由三角形的性质可得，因为是椭圆上的动点，且恒成立，所以，所以，即，所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
11、椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
答案： C
解析： 由题意，椭圆上存在点，使得，而，故根据，可转化为含的不等式 即可求解.
详解：由题意，椭圆上存在点，使得，
而，，
显然，所以即可，
得，解得.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率，属于难题.
二、双曲线的离心率
1、已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
答案： A
解析： 写出一条渐近线的方程，一个虚轴端点坐标，由点到直线距离公式得的关系，然后再得，得离心率．
详解：双曲线虚轴一个端点为，一条渐近线方程为，即，
∴，，又，
∴，离心率为．
故选：A．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出，
2、已知点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足，则此双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 因为点是以为左右焦点的双曲线左支上一点，所以．因为，所以．在中，，所以有．因为，所以，即，所以，故选D
3、椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解.
详解：不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,
在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即
椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
故选：B
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．
4、已知、是双曲线C：(，)的左、右焦点，点P为双曲线C的右顶点，如果，则双曲线C离心率是（ ）
A．2 B． C．3 D．
答案： A
解析： 利用已知条件求出，，利用利用已知条件推出，即可求出双曲线C的离心率.
详解：？是双曲线C：(，)的左？右焦点，点P为双曲线C的右顶点，
可得，，
因为，所以，，
即，所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线离心率的求法，构造出关于的齐次式是解题的关键，属于基础题.
5、已知直线:与双曲线:(,)交于,两点,点是弦的中点,则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
答案： D
解析：
根据点是弦的中点,两点横坐标之和等于,联立直线和双曲线的方程,求出的值,即可求得答案.
【详解】
设
点是弦的中点
根据中点坐标公式可得:
,两点在直线:
根据两点斜率公式可得:
两点在双曲线上
,即
解得:
故选:D.
【点睛】
此题考查根据直线与双曲线的交点坐标关系求解离心率,解题关键是掌握双曲线直线交点问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
6、已知双曲线：的左，右焦点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于点，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
答案： A
解析： 以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,可得,又有,则,则可得一条渐近线方程为,进而求解即可
【详解】
由题,以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,
因为,所以,,
设原点为,因为为的中点,所以在中,,所以,
所以一条渐近线方程为,即,
所以,
故选:A
【点睛】
本题考查双曲线的离心率,考查数形结合思想
7、设双曲线的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的点，直线交双曲线于点，若直线平分线段于，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
答案： D
解析： 中点为，连接，，则为的中位线，根据比例关系计算得到答案.
【详解】
由题知中点为，连接，，则为的中位线，于是，可得，∴.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8、设，分别是双曲线的左？右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为__________.
答案：
解析： 取的中点，由，可得，由是的中位线，得到，由双曲线的定义求出和的值，进而在中，由勾股定理可得结论.
详解：解：取的中点，则
∵，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，.
由双曲线的定义得，
∵，
∴，.
中，由勾股定理得，
∴，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断是直角三角形，是解题的关键.
9、，是双曲线的两个焦点，是上一点.若，且的最小内角为，则的离心率为______.
答案：
解析： 利用双曲线的定义求出、、，然后利用最小内角为结合余弦定理，即可求出双曲线的离心率.
详解：因为，是双曲线的两个焦点，是上一点，
不妨设是右支上一点，由双曲线的定义可知，
所以，，，
因为的最小内角为，
由余弦定理得：，
即，
所以 ，
解得： ，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，属于中档题.
10、已知椭圆与双曲线的右焦点均为.若与的离心率分别为和，点为的右支与的一个交点，且，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
答案： C
解析： 由条件可得出之间的关系，再用椭圆和双曲线的定义可以把表示出来.
因为椭圆与双曲线有公共的焦点
所以①
椭圆的离心率，可得：②
双曲线的离心率，可得：③
设，则由①、②、③可得，，
设左焦点为，
由椭圆的定义得：
由双曲线的定义得：
所以
所以
故选：C
【点睛】
本题考查的是椭圆和双曲线的定义及对它们标准方程的理解，在椭圆中是，在双曲线中是.
11、已知双曲线的右焦点为，直线分别交双曲线左、右两支于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
答案： B
解析： 先假设，，联立直线与双曲线方程，得到，并且使用，进行计算，可得结果.
【详解】
设，，
将直线代入双曲线方程并化简得
，，
故，
，
设焦点坐标为，
由于，故，
即.
即，
即，两边除以
得，
解得，
故
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，难点在于如何找到满足的式子，离心率问题属热点内容，属中档题.
12、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
答案： A
解析：
由为的中点，得到，进而得到，又由直角中，根据勾股定理，求得，得到，再由离心率的定义，即可求解.
详解：如图所示，记右焦点为，则为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
所以,
因为为切点，所以，所以，
因为点在双曲线上，所以，
所以，
在直角中，得，
即，因为，可得，
所以，所以离心率.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的几何性质，圆的方程等基础知识的综合应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，以及合理利用圆的性质，结合直角三角形的勾股定理，求得是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算求解能力，属于中档试题.
