专题07 曲线与方程（课时训练）原卷版-高二上（新教材人教A版）

专题07 曲线与方程课时训练

【基础巩固】

1．（湖南省邵阳一中2019届期中）已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0  B．2x－y－5＝0

C．2x－y－1＝0  D．2x－y＋5＝0

2. （黑龙江省绥化一中2019届模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A­B­C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　　)

3．（浙江省嘉兴一中2019届模拟）设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)

A．y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4

C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2

4．（湖北省鄂州一中2019届模拟）设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)

A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)

B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)

C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)

D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)

5.（江苏启东中学2019届模拟）已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__________．

6．（江苏省常州一中2019届期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．

【能力提升】

7.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。

(1)    求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

8.已知椭圆：，为椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线、，其中、为切点．

（1）当点为定点时，求直线的方程；

（2）若、相互垂直，求点的轨迹方程．

【高考真题】

9.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。给出下列三个结论：

① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过;

③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

（A）①   （B）②   （C）①②  （D）①②③

10．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，

长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，

．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不

动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的

平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

11．（2009广东）已知曲线与直线交于两点和，

且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）

为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；

（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．