专题01:2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈集合解析版
展开集合
一、集合的概念
1、下列各项中,能组成集合的是( )
A.高一(3)班的好学生 B.嘉兴市所有的老人
C.不等于0的实数 D.我国著名的数学家
答案: C
解析: ∵对于A、B、D选项中“高一(3)班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确,即元素不确定.
∴A、B、D选项不能构成集合.
故选:C.
2、下列集合表示同一集合的是( )
A. B.
C.,D.,
答案: B
解析: A.元素表示不同的点,所以是不同的集合;
B.集合中元素的顺序不同,但是元素相同,所以是同一的集合;
C.集合中的元素是点,集合中的元素是数,所以是不同的集合;
D.集合中的元素范围是,集合中的元素范围是,范围不同,所以是不同的集合;
故选:B.
3、有下列四个命题:
①是空集;
②若,则;
③集合有两个元素;
④集合 是有限集.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案: B
解析: ①不是空集,故①不正确;
②若,当时,,故②不正确;
③集合,只有1个元素,故③不正确;
④集合,是有限集,故④正确.
故选:B.
4、已知集合,且,则实数的值为 ( )
A.3 B.2 C.0或3 D.0或2或3
答案: A
解析: 根据元素与集合的关系,分类讨论,并验证集合元素的互异性,即可求解.
详解:由题意,知,可得
(1)当时,,不满足集合元素的互异性,舍去;
(2)当,解得或,
①当是不满足元素的互异性,舍去,
②当时,此时集合,符合题意.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了元素与集合的关系的应用,以及集合中元素的性质的应用,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于基础题.
5、已知集合,且,则( )
A.-1 B.-3或-1 C.3 D.-3
答案: D
解析: 因为,故:
令,
解得或;
当时,不满足集合的互异性,故舍去;
当时,集合,满足集合互异性,故;
令,解得,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去;
综上所述:,
故选:D.
6、已知,,若集合,则的值为( )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
答案: A
解析: 由题意,集合,可得,即,
所以,可得,解得,
所以,
即的值.
故选:A.
7、设关于的不等式:解集为,若,,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案: C
解析: 因为关于的不等式:解集为,若,,
所以,解得.
故选:C
8、已知,,且,则( )
A.或 B.
C.或或 D.
答案: D
解析: 当时,集合,都出现两个1,
出现了互异性的错误,排除ABC,
当时,,,,
故选:D.
9、如果集合中只有一个元素,则a的值是( )
A.0 B. C.0或1 D.0或
答案: D
解析: 时,,满足题意,
时,,,此时,
综上或,
故选:D.
二、集合间的关系
1、若集合有且仅有1个真子集,则实数的值是( ).
A. B.或2 C.或 D.或
答案: C
解析: 集合有且仅有1个真子集,
集合只有一个元素.
若,即时,方程等价为,解得,满足条件.
若,即时,则方程满足△,即,
,解得或.
综上:或或.
故选:C
2、已知集合,则________.
答案: 或或
解析: ∵,
∴,
又集合,
∴或或.
当时,或;
当时,.
当时,,
若,则不符合集合中元素的互异性.
∴或或.
故答案为:或或
3、若集合,,,则的取值范围是_______.
答案:
解析: 先求出集合A,B,由此能求出a的取值范围.
详解:根据题意,可以求得,,因为,所以,结合数轴可以求得,所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法,考查交集、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
4、设集合,.
(1)当时,求A的非空真子集的个数;
(2)若,求m的取值范围;
(3)若,求m的取值范围.
答案: (1)254个;(2);(3)或
试题分析:(1)利用指数函数的性质化简集合,再利用子集个数公式求解即可;
(2)由由,无解,则其对应的方程的
(3)讨论三种情况,分别化简集合,利用包含关系列不等式求出的范围,综合三种情况可得结果.
详解:解:化简集合,集合.
(1),即A中含有8个元素,
故A的非空真子集数为个.
(2)由,则,得,
得.
(3)①时,;
②当时,,所以,因此,要,则只要,所以的值不存在;
③当时,,因此,要,则只要.
综上所述,知的取值范围是或.
【点睛】
本题考查集合的真子集个数的求数,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题.
5、已知集合,函数的定义域为.
(1)当时,求、;
(2)若,求实数的取值范围.
答案:
(1),;(2).
试题分析:(1)根据题意,由可得,由并集定义可得的值,由补集定义可得或,进而由交集的定义计算可得,即可得答案;
(2)根据题意,分析可得,进而分2种情况讨论:①、当时,有,②当时,有,分别求出的取值范围,进而对其求并集可得答案.
详解:根据题意,当时,,
有意义,则,得,
则,
又或,则;
(2)根据题意,若,则,
分2种情况讨论:
①当时,有,解可得,
②当时,
若有,必有,解可得,
综上可得:的取值范围是:.
【点睛】
本题考查集合间关系的判定,涉及集合间的混合运算,考查了学生的计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力.
6、已知全集,集合,.
(1)求;
(2)若,求实数的取值范围.
答案: (1);(2)的取值范围是
试题分析:(1)先求出或,再根据交集的定义直接求出即可;(2)先求得,在由,考虑后,根据子集的定义列不等式,即可求出的取值范围.
试题解析:(1)∵或,,
∴.
(2),
①当即时,;
②当即时,要使,有∴
又,∴,∴的取值范围是.
三、集合间的运算
1、已知集合,且,则的取值为______.
答案: 3
解析: 由,可知,所以或,即或.
当时,,不满足集合的互异性,所以不成立;
当时,,,满足,所以成立;
故答案为:3
2、已知集合,则=_____
答案: ;
解析: 由可得或,
所以.
故答案为:.
3、已知,,且,则中的元素是______.
答案: -4,,
解析: 因为,
所以,
即 ,
解得 ,
所以,,
故答案为:-4,,
4、已知集合,,那么集合____.
答案:
解析: 直线与的交点坐标为,
因为集合,,
所以,
故答案为:.
5、若全集,集合,,则M∩N= ________.
答案:
解析: 或,
,
所以M∩N=.
故答案为:
6、函数的定义域为,的定义域为,则__________
答案:
解析: 因为,所以,解得,则;
又,所以,解得,则,
因此.
故答案为:.
7、已知集合,集合,则( )
A. B.
C. D.
答案:A
解析: 首先解得集合,,再根据补集的定义求解即可.
详解:解:,,,故选A.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法,指数不等式的解法以及补集的运算,属于基础题.
8、集合或,,若,则实数的取值范围是_________.
答案:
解析: 集合或,
,,
,解得,
实数的取值范围是,.
故答案为:,.
9、已知,,若,则实数的取值范围为___________.
答案:
解析: 当时,,解得;
当时,即或时,
此时方程的两个根需满足小于等于,
则,,得,,
综上,.
故答案为:.
10、已知,若,则实数的取值集合是_______________.
答案:
解析: ,
∴方程没有正实数解,
故集合有两种情况:
①若,则,则;
②若,则方程有两个非正数解,且0不是其解,则有:,解得.
综上所述,,
所以实数的取值范围是.
11、已知集合,若,则实数m的取值范围是_______.
答案:
解析: 由题意,集合,
若时,则有或,解得或,
所以当时,实数m的取值范围为.
故答案为:.
12、已知集合,且,则实属的所有取值组成的集合为___________.
答案:
解析:由题意,∵,∴,
若,即,则满足题意,
若,则或,时,不合题意,时,满足题意,
若又由知无解,
综上的取值范围是.
故答案为:.
13、设集合 ,若 ,则实数 的取值围为_________.
答案:
解析: 因为,且,
所以 ,即
当时,恒成立,,所以.
故答案为:
14、已知,,若,则实数a的取值范围是______.
答案:
解析: ,,
且,,
,解得:.
故答案为:
15、设集合,或.
(1)若,求;
(2)若,求实数的取值范围.
答案: (1)或;(2).
试题分析:(1)先求出集合A,再求A∪B;(2)根据得到解不等式组即得解.
详解:(1)若,则,
故或.
(2)若,则解得.
实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查集合的补集运算和根据集合的关系求参数的范围,意在考查学生对这些知识的解掌握水平和分析推理能力.
16、已知集合,集合
(1)当时,求,;
(2)若,求的取值范围.
答案: (1),;(2)
试题分析:(1)可求出,时,可求出集合,然后进行并集、交集的运算即可;
(2)可先得出,根据可得出,从而可得出的取值范围.
详解:解:(1)由题意可得:,
当时,,
,,
(2)由(1)可得:,
得
即的取值范为:.
【点睛】
本题考查了对数函数的定义域和单调性,增函数的定义,指数函数的值域,交集、并集的运算,并集和子集的定义,考查了计算能力,属于基础题.
17、已知集合,或.
(1)当时,求;
(2)若,且“”是“”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
答案: (1);(2).
试题分析:(1)由,得到,再利用交集的运算求解.
(2)根据或,得到,然后根据“”是“”的充分不必要条件,由A是的真子集,且求解.
详解:(1)∵当时,,或,
∴;
(2)∵或,
∴,
因为“”是“”的充分不必要条件,
所以A是的真子集,且,
又,
∴,
∴.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及逻辑条件的应用,属于基础题.
18、已知全集,集合,
(1)求,;
(2)已知集合,若,求实数a的取值范围.
答案: (1),;
(2).
试题分析:(1)解指数不等式求得集合,求函数值域求得集合,从而可以求得,进而得到;
(2)分,两种情况,结合进行分类讨论,由此求得实数的取值范围.
详解:(1)因为,所以,
所以,解得,
所以,
因为,所以,所以,
所以,
所以,
,
;
(2)由得,
当时,,解得,
当时,若,则有或,
解得或,
所以满足时,的取值范围是.
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有集合交集、补集的概念和运算,考查根据集合的交集为空集求参数的取值范围,考查指数不等式和指数函数值域的求法,属于基础题目.