高三数学 集合专题复习 一 集合的概念与运算

专题一          集合的概念与运算

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)集合的分类:按元素个数分：有限集、无限集、空集；按元素特征分：数集、点集．

 (5)常见数集的记法

2．集合间的关系

3．集合的运算

说明:以下几个个结论，在解决集合的有关问题时，有较为广泛的应用，要邓以及足够的重视．

(1)若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1．

(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．

(3)A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A．

必考点1     集合的基本概念

【例】(1) 已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为________．

 (2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a＝__ __．

【解析】(1) ∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，

又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4．

(2)∵{1，a＋b，a}＝{0，，b}，a≠0，∴a＋b＝0，得＝－1，∴a＝－1，b＝1．

∴b－a＝2．

巩固1.已知集合，若，则实数m的值为________．

【解析】，或；
当时，，，根据集合中元素的互异性，不合题意；

当时，或，时，，符合题意．
综上．
 

巩固2.集合，则集合A中所有元素之和为______．

【解析】集合0，，
集合A中所有元素之和为，

 

巩固3.集合其中均为整数，则集合                ．

【解析】其中均为整数，则，，，
当，，可得， 当，，可得，
当，，可得，    当，，，可得，
可得1，3，．
 

巩固4.已知非空集合M满足：若，则则当时，集合M的所有元素之积为____．

【解析】若，则；
，则；
，则；
，则；
故集合M的所有元素之积为

巩固5.设集合2，，，，则M中元素的个数为_______．

【解析】集合2，，，， 
6，7，，则M中元素的个数为4个，

必考点2     集合与集合之间的关系

【例】(1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为____________．

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．

(3) 已知集合，

，求实数m的取值范围．

【解析】(1) 由题意知A＝{2，－3}．

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝，由B⊆A，可得＝－3或＝2，∴a＝－或a＝．

综上，a的值为－或或0．

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；

当B≠∅时，若B⊆A，如图，

则解得2<m≤4．

综上，m的取值范围为(－∞，4]．

　 (3) 集合Ｐ、Ｑ都表示点集，且分别对应着圆面，故可利用平面几何知识与数形结合思想求解．

点集P表示平面上以（-2，3）为圆心，2为半径的圆面，记为，点集Q表示以（1，m）为圆心，为半径的圆面（不含圆周），记为，

由得，此表明在的内部，故有，

即，得，

所以，所求实数m的范围是．

巩固1.已知集合3，，集合，若，则实数____________．

【解析】因为，所以，解得，

经检验，符合题意．

巩固2.已知集合，1，，且，则实数a的值是_______．

【解析】当不满足题意，
当符合题意，
不符合题意，
故答案为1．

巩固3.已知集合，，若，则实数a的值为            ．

【解析】集合，且
舍或，或
当时不满足集合中元素互异性舍
 

巩固4.已知集合1，2，3，，集合且，则集合B的子集的个数为_______．

【解析】根据题意，若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意； 若，则，满足题意；
若，则，满足题意；    若，则，满足题意．
综上，3，，
因为集合B中含有3个元素，所以集合B的子集的个数为．
巩固5.已知集合．

若，求集合A；

若集合，求实数a的取值范围．

【解析】由可知，解得，
所以．
若，当时，满足题意；
当时，，解得．
故当时，．
若集合A中仅有一个元素，则且，
解得，
此时集合，
不满足题意．
若集合A中有两个元素，则，无解．
综上可知，实数a的取值范围为．

必考点3     集合的基本运算

【例】(1)已知集合0，1，，，则______．

（2）已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝__________．

①{1，3}       ②{3，7，9}        ③{3，5，9}       ④{3，9}

(3)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝_______，n＝_______．

【解析】(1)0，1，，，
0，1，，，．
(2)方法1：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，

又因为(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故选④．

方法2：如图所示，得A＝{3，9}，故选④

（3）A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，

由A∩B＝(－1，n)可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，如右图所示，可得m＝－1，n＝1．

巩固1.若集合，，则集合______．

【解析】集合，

，
则集合．
巩固2.已知集合，则______．

【解析】集合，．
 

巩固3.设，集合，；若，____

【解析】，
，得或．
，集合B中只能有元素或，或2
 

巩固4.已知集合1，，全集，则______．

【解析】1，，全集，
全集0，1，，．

巩固5.集合，，若，求实数m的取值范围．

【解析】联立得：，
消去y得：，即，，
由题设知，必有零点，

分两种情况考虑：

若在只有一个零点，则，即，或，解得：；
若在有两个零点，则，解得：，
由知：

必考点4     以集合为载体的创新型问题

【例】设全集2，3，4，5，，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如； 表示的是笫2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．
若，则表示的6位字符串为______；
若，集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是______．

【解析】表示的6位字符串是：011001，
则表示的6位字符串为：100110；
若，集合表示的字符串为101001，
集合B可能是，，，3，，
故答案为：100110，4．
 

巩固1.给定集合A，若对于任意a，，有，且，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
集合0，2，为闭集合；
集合为闭集合；
若集合，为闭集合，则为闭集合；
其中正确结论的序号是_____．

【解析】对于：，故不是闭集合，故错；
对于：由于任意两个三的倍数的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，故正确；
对于：假设，，，，但是，，则不是闭集合，故错．
正确结论的序号是，

巩固2.已知集合，x，，，，x，，定义集合，，则中元素的个数为____．

【解析】如图，
 

集合A表示如图所示的所有圆点“”，

集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，

集合显然是集合，，x，中除去四个点，，，之外的所有整点即横坐标与纵坐标都为整数的点，

即集合表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个．

故A中元素的个数为45
 

巩固3.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若2，，2，，则中元素的个数是________．

【解析】，，

可以为0，2，5三个数，b可以为1，2，6三个数

，，可以为0，2，5三个数，b可以为1，2，6三个数

，，，，，，，，．

根据元素的互异性，共有7个不同．

巩固4.定义：满足任意元素，则的集合称为优集，若集合a，是优集，则实数a的值为_______．

【解析】依题意，当时，，
当时，，
所以符号条件．
故答案为3．

巩固5.若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．

【解析】若，则，
若，则无意义，

若，则，

若，则不存在，
则，为伙伴关系集合，
则由它们的元素构成的集合也为伙伴关系集合，
此时2，满足条件．
共有3个集合．