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第01讲 集合的概念与运算-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
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第 1 讲：集合的概念与运算
一、 课程标准
1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．
3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
二、 基础知识回顾
1、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。
2、集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、集合的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
4、集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。
（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。
5、相关结论：
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。
(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.
三、 自主热身、归纳总结
1、已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3，4,5}，则A∩B＝( )
A．{3} B．{5}
C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
【答案】C
【解析】 因为A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}，故选C.
2、已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0
【解析】 ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.
∴∁U(A∪B)＝{x|0
C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]
【答案】A
【解析】 A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．
4、已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.
【答案】 {1，3}
【解析】 由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.
5、已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.
【答案】(－∞，1]
【解析】∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，
∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
6、（多选题）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有
A． B． C． D．
【答案】B、D
【解析】，，，，，
7、（多选题）已知集合，，．若，则实数的值可能是
A． B．1 C．2 D．5
【答案】、A、B
【解答】解：，
，
四、 例题选讲、变式突破
考点一 集合的基本概念
例1、已知集合A＝，则集合A的子集的个数为( )
A． 7 B． 8 C． 15 D．16
【答案】B
【解析】由≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x<2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A＝{－1,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8.
【变式1】若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A. B. C.0 D.0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的取值为0或.
【变式2】设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】选C
【解析】因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.
【变式3】已知P＝{x|2
【解析】因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性
考点2、集合间的基本关系
例2、已知集合M＝，集合N＝，则( )
A．M∩N＝∅ B．M⊆N
C．N⊆M D．M∪N＝M
【答案】B
【解析】由题意可知，M＝
＝，
N＝，
所以M⊆N，故选B。
例3、已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1
【解析】当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图.
则
解得2
【变式】已知集合A＝{x|－1
【解析】当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，因为A＝{x|－1
所以所以0
方法总结(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考点三：集合的运算
例4、若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(∁RA)∪B＝________.
【答案】 [0，＋∞)
【解析】(2)因为A＝{x|2x2－9x＞0}＝，所以∁RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以A∩B＝，(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．
【变式1】设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________.
【答案】1
【解析】由≤2x≤16，x∈N，
∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.
又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，
∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.
【变式2】已知集合M＝{x|－4
【解析】方法一：因为N＝{x|－2
【变式3】已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A．{x|－1
【答案】B
【解析】方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B。
方法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。
【规律方法】集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
例5、设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－1]∪{1}
【解析】因为A＝{0，－4}，A∩B＝B，所以B⊆A，分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得解得a＝1；
②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1。
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}。
【变式】已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【答案】[－2,2)
【解析】：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
方法总结：利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
考点五：集合的新定义问题
例6、.若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1 B.3
C.7 D.31
【答案】B
【解析】：具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
【变式】．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
【答案】②
【解析】：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．
方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。
五、优化提升与真题演练
1、设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知A＝(1，3)，B＝，所以A∩B＝.
2、设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)等于( )
A.{1，4} B.{1，5}
C.{2，5} D.{2，4}
【答案】D
【解析】 由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，4}.
3、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，故选B。
4、若全集0，1，，，则
A． B． C． D．1，
【答案】B
【解析】全集0，1，，
，
则。
5、已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵∴，∴，
又，∴，故选A。
6、设集合，则(A∩C)∪B＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}，故选D。
7、已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2}
【答案】C
【解析】由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}.
8、已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M＝；
②M＝{(x，y)|y＝log2x}；
③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；
④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A．①④ B．②③
C．③④ D．②④
【答案】C
【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M满足题意．对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sinx＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C。
9、（多选题）已知第一象限角，锐角，小于的角，那么、、关系是
A． B． C． D．
【答案】B、C．
【解析】 “小于的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，
，
，；
“小于的角“里边有”第一象限角”，从而．
10、已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.
【答案】2
【解析】集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.
11、.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.
【答案】[－1，0)
【解析】由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，
∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
∴A－B＝[－1，0).
12、已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.
【答案】0
【解析】A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5
则B＝{x|m
所以m＋n＝0.
13（2019年江苏高考）、已知集合，，则_____.
【答案】.
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题知，.本题主要考查交集的运算，属于基础题.
14（2018年江苏高考）、.已知集合，，那么________．
【答案】{1，8}.
【解析】根据交集定义求结果.由题设和交集的定义可知：.
一、 课程标准
1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．
3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
二、 基础知识回顾
1、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。
2、集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、集合的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
4、集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。
（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。
5、相关结论：
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。
(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.
三、 自主热身、归纳总结
1、已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3，4,5}，则A∩B＝( )
A．{3} B．{5}
C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
【答案】C
【解析】 因为A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}，故选C.
2、已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0
【解析】 ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.
∴∁U(A∪B)＝{x|0
C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]
【答案】A
【解析】 A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．
4、已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.
【答案】 {1，3}
【解析】 由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.
5、已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.
【答案】(－∞，1]
【解析】∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，
∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
6、（多选题）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有
A． B． C． D．
【答案】B、D
【解析】，，，，，
7、（多选题）已知集合，，．若，则实数的值可能是
A． B．1 C．2 D．5
【答案】、A、B
【解答】解：，
，
四、 例题选讲、变式突破
考点一 集合的基本概念
例1、已知集合A＝，则集合A的子集的个数为( )
A． 7 B． 8 C． 15 D．16
【答案】B
【解析】由≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x<2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A＝{－1,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8.
【变式1】若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A. B. C.0 D.0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的取值为0或.
【变式2】设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】选C
【解析】因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.
【变式3】已知P＝{x|2
【解析】因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性
考点2、集合间的基本关系
例2、已知集合M＝，集合N＝，则( )
A．M∩N＝∅ B．M⊆N
C．N⊆M D．M∪N＝M
【答案】B
【解析】由题意可知，M＝
＝，
N＝，
所以M⊆N，故选B。
例3、已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1
【解析】当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图.
则
解得2
【变式】已知集合A＝{x|－1
【解析】当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，因为A＝{x|－1
所以所以0
方法总结(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考点三：集合的运算
例4、若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(∁RA)∪B＝________.
【答案】 [0，＋∞)
【解析】(2)因为A＝{x|2x2－9x＞0}＝，所以∁RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以A∩B＝，(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．
【变式1】设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________.
【答案】1
【解析】由≤2x≤16，x∈N，
∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.
又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，
∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.
【变式2】已知集合M＝{x|－4
【解析】方法一：因为N＝{x|－2
【变式3】已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A．{x|－1
【答案】B
【解析】方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B。
方法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。
【规律方法】集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
例5、设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－1]∪{1}
【解析】因为A＝{0，－4}，A∩B＝B，所以B⊆A，分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得解得a＝1；
②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1。
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}。
【变式】已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【答案】[－2,2)
【解析】：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
方法总结：利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
考点五：集合的新定义问题
例6、.若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1 B.3
C.7 D.31
【答案】B
【解析】：具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
【变式】．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
【答案】②
【解析】：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．
方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。
五、优化提升与真题演练
1、设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知A＝(1，3)，B＝，所以A∩B＝.
2、设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)等于( )
A.{1，4} B.{1，5}
C.{2，5} D.{2，4}
【答案】D
【解析】 由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，4}.
3、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，故选B。
4、若全集0，1，，，则
A． B． C． D．1，
【答案】B
【解析】全集0，1，，
，
则。
5、已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵∴，∴，
又，∴，故选A。
6、设集合，则(A∩C)∪B＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}，故选D。
7、已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2}
【答案】C
【解析】由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}.
8、已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M＝；
②M＝{(x，y)|y＝log2x}；
③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；
④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A．①④ B．②③
C．③④ D．②④
【答案】C
【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M满足题意．对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sinx＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C。
9、（多选题）已知第一象限角，锐角，小于的角，那么、、关系是
A． B． C． D．
【答案】B、C．
【解析】 “小于的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，
，
，；
“小于的角“里边有”第一象限角”，从而．
10、已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.
【答案】2
【解析】集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.
11、.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.
【答案】[－1，0)
【解析】由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，
∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
∴A－B＝[－1，0).
12、已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.
【答案】0
【解析】A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5
则B＝{x|m
所以m＋n＝0.
13（2019年江苏高考）、已知集合，，则_____.
【答案】.
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题知，.本题主要考查交集的运算，属于基础题.
14（2018年江苏高考）、.已知集合，，那么________．
【答案】{1，8}.
【解析】根据交集定义求结果.由题设和交集的定义可知：.
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