高三数学 函数专题复习 三 函数解析式

专题三 解析式
模块一、思维导图
函数的概念
设A、B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2．函数的定义域与值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域；与x的值对应的输出值y叫做函数值；
函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做函数的值域．
3．函数的三要素
函数的构成要素为定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域、值域和对应法则完全一致，我们称这两个函数是同一个函数．
4．函数的表示
表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．
5．分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

必考点1 函数的概念
【例】(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；
(2)下列各组函数中，表示同一函数的是________．
①y＝与y＝； ②y＝与y＝x－1；③y＝lnex与y＝elnx； ④y＝x0与y＝．
【解析】（1）(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5．∴a＝2，k＝5．
（2）①由y＝与y＝化简为y＝x与y＝，两个函数的对应法则不相同，∴不表示同一函数．
②y＝的定义域为{x|x≠－1}，y＝x－1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，∴不表示同一函数．
③y＝lnex的定义域为R，y＝elnx的定义域为，两个函数的定义域不相同，∴不表示同一函数．
④y＝x0与y＝的定义域、对应法则完全相同，∴表示同一函数．故应填④．
巩固1．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，有以下4个对应法则：
①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝x＋4；④f：x→y＝4－x2，
其中不能构成从A到B的函数的是____________．(填序号)
【解析】　按函数的定义判断， ①②中的对应能构成从A到B的函数；而③中若x＝2，则y＝6∉B，④中若x＝2，则y＝0∉B，即③④中的对应不能构成从A到B的函数．故应填③④

巩固2．下列各组的两个函数中表示同一函数的是__________．
①y＝2log2x与y＝log2x2；②y＝x－2与y＝；
③y＝logaax(a>0，a≠1)与y＝；④y＝与y＝．
【解析】　①与④中的两个函数，其定义域不同，②中的两个函数，其值域不同，它们都要不是同一函数；而③中的两个函数，定义域和值均为R，其函数都可以等价转化为，它们是同一函数，故填③．

巩固3.（易错题）下列所给图形中是函数图象的个数为________．

【解析】①中的图形，直线与其有两个交点，不符合函数的定义，从而不是函数的图象，②中的图形，当时，对应的值有两个， 不符合函数的定义，也不是函数的图象， ③④中的图形都是函数的图象，故是函数图象的个数为2．
例题1 直线x=1和函数y=f(x)图象的交点个数为　　　　.
【答案】0或1
【解析】若1是函数定义域中的元素，则根据函数的定义可知交点个数为1，若1不是函数定义域中的元素，则交点个数为0.
【小结】一定要考虑x=1在不在定义域内。

例题2 下列各组函数中，表示同一个函数的是________.
①和；
②和；
③和；
④和；
【答案】④
【解析】①定义域不一样，定义域是R，定义域是；
②定义域不一样的定义域是，的定义域是R；
③和的运算法则不一样；
④三者都一样。
【小结】相同函数
函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则.
当函数的定义域及对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.


必考点2 函数的解析式
【例】根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3；
(2)已知f(＋1)＝x＋2；
(3)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
(4)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【解析】(1)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3
∴解得或．故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1．
(2)解法1(换元法)：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1．∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法2(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1．
(4)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1．

巩固1.已知f(x)=3x-2，则f(x)= ______ ．
【解析】令t=x(t≥0)，则x=t2，
所以f(t)=3t2-2(t≥0)，
所以f(x)=3x2-2，(x≥0)，

巩固2.函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=2x，则f(x)=________．
【解析】由题意知2f(x)+f(-x)=2x,2f(-x)+f(x)=-2x, 解得f(x)=2x．

巩固3.（易错题）已知函数满足=x3++1，求f（x）．
【解析】令，则当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以，
又，
∴，即．
∴，．
必考点3 分段函数
【例】(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______________；
(2)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是____________；
(3) 已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是______________．
【解析】(1)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合题意．
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合．
∴a的值为－．
(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1．
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1；
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1．
综上，a的取值范围是a≥．
(3)当x<－1时，有1>1，∴无解．
当－1≤x<0时，有(1－x2)2＋1>1，∴x≠±1，∴－1 当0≤x≤1时，有(1－x2)2＋1>(2x)2＋1，∴0≤x<－1．
当x>1时，有1>(2x)2＋1，∴无解．
综上：x的取值范围是－1
巩固1.函数f(x)=1x,x>0x2,x≤0，则f(f(-3))=______．
【解析】函数f(x)=1x,x>0x2,x≤0，则f(f(-3))=f(9)=19=13．巩固2.已知函数f(x)=2x+3,x>0x2-2,x≤0，若f(m)=2，则实数m的值等于______．
【解析】∵函数f(x)=2x+3,x>0x2-2,x≤0，f(m)=2，
∴当m>0时，f(m)=2m+3=2，解得m=-12，不成立；
当m≤0时，f(m)=m2-2=2，解得m=-2或m=2(舍)．
综上，实数m的值为-2．

巩固3.已知函数f(x)=log2(2-x),x<12x,x≥1，则f(-2)+f(log23)的值是______．
【解析】∵函数f(x)=log2(2-x),x<12x,x≥1，
∴f(-2)=log24=2，
f(log23)=2log23=3，
∴f(-2)+f(log23)=2+3=5．

巩固4.已知函数f(x)＝则________.
【解析】f(5)＝f(4)＝f(3)＝23＝8．
∴．

巩固5.（拔高题）已知实数m≠0，函数f(x)＝若f(2－m)＝f(2＋m)，则m的值为_____．
【解析】 当m>0时，2－m<2，2＋m>2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；
当m<0时，2－m>2，2＋m<2，所以3(2＋m)－m＝－(2－m)－2m，所以m＝－．
综上， m的值为或．

必考点4 函数及其表示方法的实际应用
【例】如图，有一块四边形绿化区域BCED，其中∠C =∠D =90°，BC =BD =，CE =DE =1．现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP =x，EQ =y．
（1） 求x，y之间的关系式；
（2） 求水管PQ的长的最小值．

【解析】（1） 延长BD、CE交于点A(如图所示)，

则AD =，AE=2． 又BC =BD =，则∠A=30°，∴S△ADE=S△BDE=S△BCE=．
∵PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，∴S△APQ=．
而S△APQ=AP·AQ·sinA=（x+）（y+2）sin30°=，
即(x+)(y+2)=，∴(x+)(y+2)=4．
（2）在中，由余弦定理，得 ：
PQ2=AP2+AQ2-2AP·AQcos30°=（x+）2+-2×4×≥2×4-12=8-12．
当且仅当(x+)2=，即x=2-时，PQ取得最小值．∴ PQmin==
巩固1.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上

部为半圆形的框架，若半圆半径为x．
（1）求此框架围成的面积y与x的函数式y＝f(x)，并写出它的定义域；
（2）为何值时，面积最大？最大值是多少？

【解析】（1）设AB＝2x，CD＝πx，于是AD＝，
则y＝2x·＋，即y＝－x2＋x.
由得0＜x＜，
∴ 函数的解析式为，定义域为.
（2）

，其中．
∵，
∴当时，面积最大，最大值是平方单位



模块二、考法梳理
考点一：待定系数法
1.已知是一次函数，且，求的解析式.
【解析】设，则，
得，解得或.因此，或.

2.已知二次函数满足 试求：求 的解析式；
【解析】设，则有
对任意实数恒成立，，解之得，.
考点二：换元法
1．已知，则的解析式为 。
【解析】令t=，得到x=，∵x≠1，∴t≠1且t≠0，∴且t≠0)
∴且x≠0)，

2.已知函数，则函数的解析式为 。
【解析】令则，且
，，

3.已知，则的解析式为 。
【解析】令，得，∴，∴．

4.已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)＝ .
【解析】根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x为定值．设f(x)－ln x＝t，t为常数，则f(x)＝ln x＋t且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋1。

5.设若，则f(x)= .
【解析】


考点三：配凑法
1．已知,则________．
【解析】，又∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴

2. 已知，则的解析式为 。
【解析】，，
，，因此，.

考点四：解方程组
1．已知函数满足，则 。
【解析】因为①，所以用替换，得 ②
由得

2．已知函数满足，则= 。
【解析】由,将换成有,
即,
故有 ,
两式相减化简得


考点五：利用解析式求值
1．已知函数满足，则 。
【解析】在中,分别令和得:
①, ②,
联立①②消去, 解得:.

2．设函数对的一切实数都有，则=___________
【解析】时，，当时，
即 ，解得

3．已知函数满足，则______．
【解析】由题意可得：
，解得：，
令可得：，则.

模块三、巩固提升
题组一 待定系数法
1.已知是一次函数，且满足求．
【解析】是一次函数,设,则
即不论为何值都成立所以解得，所以

2.已知是一次函数，且满足．求．
【解析】设，则，

，，；．

3.已知,求二次函数的解析式;
【解析】设,
则,,
所以：
所以,解得所以.

【题组二 换元法】
1.若函数,则的解析式为 。
【解析】令，则，所以，
所以，即.
2．已知，则=____________；
【解析】令，所以有，
因此有.故答案为：

3.已知，则 。
【解析】已知，设，则，所以，故．

4.设在定义域上是单调函数，当时都有，则的为 。
【解析】设,则,
∵在定义域上是单调函数∴方程只有一解,即为定值.
又∵

5．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，求的解析式
【解析】对任意，都有，且函数在上是单调函数，
故，即，，解得，故

6．设，函数单调递增，且对任意实数x，有 (其中e为自然对数的底数)，则（ ）
【解析】由,设,且.
又,令有,故,显然为其中一根.
又为增函数.故为唯一解.故.
【题组三 配凑法】
1.已知，求的解析式 ；
【解析】由于，所以，
由于时，；时，；
故的解析式是 （或).

2.已知，求= ；
【解析】，
当时，，当时，，
∴(或)．

3,如果，则当且时，则= ；
【解析】∵，∴．

【题组四 解方程组】
1．已知函数满足，则______．
【解析】因为，故，故可得即


2．已知，则的解析式是________．
【解析】将等式中的换为得到：
故有解得：故答案为：

3．设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
【解析】是定义在上的函数，且对任意，恒成立，
令，得 ，
即，，

4．对任意实数，，都有，求函数的解析式 ．
【解析】方法一：对任意实数,都成立,
令,得,再令,得,
方法二：在已知式子中,令,得,
,,令,得

5．若对于定义域内的任意实数都有，则 。
【解析】由题意可得：，解得：

【题组五 利用解析式求值】
1．若定义在上的函数满足，则____
【解析】，
：，①，：，②，
① ②，