高三数学 集合专题复习 二 四种命题和充要条件级逻辑语言

专题二 四种命题和充要条件
1．命题及其真假

能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题的真假关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．
(2)①如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分必要条件；简称为p是q的充要条件．
②如果p⇒q，但q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件；
③如果p⇒/ q，但q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；
④如果既有p⇒/ q，又有q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

必考点1 四种命题间的关系的判定
【例】 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解析】 (1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，如果a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题，证明如下：
∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a．又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，如果f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0．是真命题，可证明原命题为真来证明它．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
巩固1.下列命题中为真命题的序号是________．
①若x≠0，则x+1x≥2；
②命题：若x2=1，则x=1或x=-1的逆否命题为：若x≠1且x≠-1，则x2≠1；
③“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<-1，则x2-2x-3>0”的否命题为“若x≥-1，则x2-2x-3≤0”．
【解析】当x<0时，x+1x≤-2，故①错误；
根据逆否命题的定义可知，故②正确；
“a=±1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件，故③错误；
根据否命题的定义知④正确．
故答案为②④．

巩固2.（选修2-1 P21复习题第4题改编）命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是___________．
【解析】根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

巩固3.给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实数根”的逆否命题；
④若a＋b是偶数，则整数a，b都是偶数．
其中真命题是 ．(填序号)
【解析】①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a＋b是偶数，则整数a，b都是偶数或都是奇数，故④不正确．真命题是①③．
巩固4.有三个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
其中真命题的序号为____________．
【解析】命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；
因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；
命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．
综上知只有命题①是真命题．

必考点2 充要条件、必要条件的判定
【例】给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos α ③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为________．
【解析】因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；
由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α 当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③真，∴正确命题的序号是③．

巩固1.“α≠2π3”是“sinα≠32”的___________条件．
【解析】α≠2π3时，若α=π3，sinα=32，则“α≠2π3“不能得到“sinα≠32”；
sinα≠32时，α≠π3+2kπ且α≠2π3+2kπ，k∈Z，则“sinα≠32”能得到“α≠2π3”，
则“α≠2π3”是“sinα≠32”的必要不充分条件．故答案为必要不充分．
巩固2.“x＞1”是“(x＋2)＜0”的____________条件．
【解析】一方面，由x＞1⇒x＋2＞3⇒(x＋2)＜0，另一方面，由
(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”的充分不必要条件．

巩固3.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件．
【解析】若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
反过来，若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交．
故应填充分不必要．

必考点3 充分必要条件的应用
【例】已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5 (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5 【解析】(1)由M∩P＝{x|5 (2)即在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5 反之，M∩P＝{x|5 (3)即求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一个真子集．如果{a|a≤5}，那么未必有M∩P＝{x|5 故a≤5是所求的一个必要不充分条件．

巩固1.已知p：<1，q：x2＋(a－1)x－a>0，如果p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【解析】不等式<1等价于－1<0，即>0，解得x>2或x<1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2 巩固2.已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1 【解析】A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴，并且，∴m＋1>3，即m>2．
巩固3.（拔高题）若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2．

巩固4.已知命题p：“方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根”，命题p是真命题。
(1)求实数m的取值集合M；
(2)设不等式x-ax-a-2<0的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围．
【解析】(1)命题p ：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，
∴Δ=m2-4>0，解得m>2或m<-2，
∴M={m|m>2或m<-2}．
(2)∵x∈N是x∈M的充分条件，∴N⊆M，
∵N={x|a 综上，a⩽-4或a⩾2，
∴a的取值范围为(-∞,-4]∪[2,+∞)．
巩固5.已知集合M={x|log2(2x-2)<1}，N={x|x2+(3-a)x-2a(3+a)<0,a<-1}；设p：x∈M，q：x∈N，若P是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】因为log2(2x-2)<1，所以0<2x-2<2，所以1 所以M={x|1 因为x2+(3-a)x-2a(3+a)<0，
所以(x+a+3)(x-2a)<0，
又因为a<-1，所以2a<-3-a．
所以N={x|2a 因为p是q的充分不必要条件．
所以2a≤1,①-3-a≥2,②a<-1,③，①②中等号不同时成立，可得：a≤-5．

巩固6.（拔高题）已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
【解析】 ∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
∴，解得m∈．
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴∴m为4的约数．又∵m∈，∴m＝－1或1．
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1．

常用逻辑用语
1．简单的逻辑联结词
(1)“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词．
(2)“p或q”可记作“p∨q”、“p且q”可记作“p∧q”、“非p”可记作“”．
(3)复合命题“p且q”、“p或q”、“非p”的真假判断：
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
含有全称量词的命题，称为全称命题．如“对任意实数x∈M，都有p(x)成立”简记成“∀x∈p(x)”．
(2)存在量词：对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
含有存在性量词的命题称为存在性命题．如“存在实数x∈M，使p(x)成立”简记成“∃x∈M，p(x)”．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)

∃x∈M，p(x)


必考点4 复合命题及其真假的判断
【例】已知命题p：∃x∈R，使sinx=52；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1>0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∧q”是假命题．
其中正确的是______．
【解析】命题p：∵sinx∈[-1,1]，因此不存在x∈R，使sin x=52，故是假命题；
命题q：△=1-4<0，因此∀x∈R，都有x2+x+1>0，是真命题．
给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题，不正确；
②命题“p∨q”是假命题，不正确；
③命题“p∨q”是真命题，正确；
④命题“p∧q”是假命题，正确．
故答案为③④．

巩固1.已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；命题q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列判断中正确的是________.(填序号)
①“p∨q”为真命题，“p∧q为真命题，“¬p”为假命题；
②“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“¬p”为真命题；
③“p∨q”为假命题，“p∧q”为假命题，“¬p”为假命题；
④“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“¬p”为假命题．
【解析】因为∀x∈R，2x>0，所以命题p为真命题；
因为x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题，
所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，¬p为假命题．
故答案为④．
巩固2.已知命题p：∀x∈(0,+∞)，4x>3x，q：∃θ∈R，cosθ-sinθ=3，则在命题①“p∨q”；②“p∧q”；③(-p)∨q；④p∧(-q)中，真命题的个数为       ．
【解析】由指数函数知，命题p:∀x∈(0,+∞),4x>3x，是真命题 ,
因为cos⁡θ-sin⁡θ=2sin(π4-θ)≤2，所以q：∃θ∈R，cosθ-sinθ=3是假命题，
则① p∨q为真命题；② p∧q 为假命题；③ (-p)∨q是假命题；④ p∧(-q)是真命题．
故答案为2．

巩固3.已知命题p：存在x∈R，使tanx＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1 ①p∧q ②p∧(q) ③(p)∨q ④(p)∨(q)
其中真命题是____(填序号)．
【解析】命题p：存在x∈R，使tanx＝1是真命题，
命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1 由此可得：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(q)”是假命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“(p)∨(q)”是假命题．
故答案为①③．

巩固4.（选修2－1 P11习题1．2 第3题改编）设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是____________．
①p为真 ②非q为假 ③p∧q为假 ④p∨q为真
【解析】函数y＝sin2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；
x＝不是y＝cosx的对称轴，命题q为假命题．
故p∧q为假．③正确．

必考点5 含一个量词的命题的否定及其真假判断
【例】（选修2－1 P21复习题第5题改编）命题“∃x>－1，x2＋x－2 019>0”的否定是__________________________．
【解析】含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，
故得命题“∃x>－1，x2＋x－2 019>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2 019≤0”．

巩固1.命题：“∃x∈R，x2-ax+1<0”的否定为______．
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题：“∃x∈R，x2-ax+1<0”的否定是：∀x∈R，x2-ax+1≥0；

巩固2.（易错题）已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是_____________．
①∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 ②∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
③∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 ④∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
【解析】题目中命题的意思是“对任意的x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x1，x2，使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0即可，故命题“∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．故选③

巩固3.命题“∃x>0，x≤x-1”的否定为______．
【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
即∀x>0，x>x-1．
故答案为∀x>0，x>x-1．
必考点6 求含参数的复合命题中参数的取值范围
【例】（1）已知命题p：∀x∈，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值的集合是_ ．
（2）已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2，3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．
【解析】（1）由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若命题p为真命题，则a≤x2恒成立，因为x∈，所以a≤1．
若命题q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实数根，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2．
综上，实数a的取值的集合是{a|a≤－2或a＝1}．
(2)∵x∈[，3]，∴f(x)≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈[2，3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a，依题意f(x)min≥g(x)min，∴a≤0．，即实数a的取值范围是．
巩固1.若命题“∃t∈R，t2-2t-a<0”是假命题，则实数a的取值范围是______．
【解析】命题“∃t∈R，t2-2t-a<0”是假命题，
则∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题，
∴△=4+4a≤0，解得a≤-1，
∴实数a的取值范围是(-∞,-1]，

巩固2.已知命题p：关于x的方程x2-ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是______ ．
【解析】命题p：关于x的方程x2-ax+4=0有实根，则∆=a2-16≥0，解得a≥4，或a≤-4．
命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数，∴-a4≤3，解得a≥-12．
若p∧q是真命题，则p，q同时为真命题，
则a≥4或a≤-4a≥-12，即-12≤a≤-4或a≥4
巩固3.已知命题p：方程x2-mx+1=0有实数解，命题q：x2-2x+m>0对任意x∈R恒成立.若命题“p∨q”为真，“¬p”为真，则实数m的取值范围是________．
【解析】对于命题p：方程x2-mx+1=0有实数解，则△=m2-4≥0，解得m≥2或m≤-2，
命题q：x2-2x+m>0对任意x∈R恒成立，则△=4-4m<0，解得m>1，
若命题p∨q为真，￢p为真，则p假q真，则实数m的取值范围是1 故答案为(1,2)．

巩固4.（易错题）已知命题P：，命题Q：，若是的必要而不充分的条件，试求实数的取值范围．
【解析】由命题P：，命题Q：，得：
：，：．
记使命题成立的的集合为使命题成立的的集合为．
∵是的必要而不充分的条件，∴是的真子集
于是，或
∴实数的取值范围是．
巩固5.（拔高题）设p：方程表示双曲线；q：函数在R上有极大值点和极小值点各一个，若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围．
【解析】∵方程表示双曲线，∴，即
或．
∵函数在R上有极大值点和极小值点各一个，
∴有两个不同的解，即△＞0，由△＞0，
得m＜－1或m＞4．
又当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，∴分别是函数的极大值点和极小值点．
要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，
∴ ．
∴实数的取值范围是