高三数学 函数专题复习 六 函数的单调性

专题六 函数的单调性
模块一、思维导图



1． 函数单调性的定义
（1） 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当时，都有（或都有，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）．
（2） 如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说f（x）在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做f（x）的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．
2． 函数单调性的图象特征
对于给定区间上的函数f（x），若函数图象从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图象从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3． 复合函数的单调性
对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈（a，b）时，u∈（m，n），且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
4．函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数；<0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为和．
(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．







模块二、考法梳理 函数单调性的判断与证明
考法一：单调性的判断
【例】判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．
【解析】函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上是单调减函数，证明如下：
设x1、x2∈[1，＋∞)，且x1 又(1＋x)(1＋x)>0，∴ f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．　∴ f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数．
巩固1.下列函数中：
①f(x)＝ ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1)
满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的函数的序号是____________．
【解析】　满足当x1f(x2)说明函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，①的减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；②的减区间是(－∞，1]；③，④在定义域上都是增函数．故填①．

巩固2.试讨论函数f(x)＝ (a＞0)在上的单调性，并证明你的结论．
【解析】设且x1＜x2，则
．
∵x1＜x2，，又，．
∴当时，，从而，即，
此时f(x)＝ (a＞0)单调递增；
当时，，从而，即，
此时f(x)＝ (a＞0)单调递减．
∴函数f(x)在上为增函数，在上为减函数．

1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)
A．f(x)＝2x　　　　　　 　B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
【解析】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，f(x)在(0，＋∞)上减函数，A、D选项中，f(x)增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上递减，f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

2.下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由一次函数的性质可知，在区间上单调递增；
由二次函数的性质可知，在区间上单调递增；
由幂函数的性质可知，在区间上单调递增；
结合一次函数的性质可知，在上单调递减，在 上单调递增． 故选：
D．



考法二：求单调区间
1．函数的递减区间是__________.
【解析】意可知，解得，所以的定义域是，
令,对称轴是，
在上是增函数，在是减函数，
又在定义域上是增函数，
是和的复合函数，
的单调递减区间是
2 函数f(x)=x2-2x-3的单调增区间为________．
【解析】∵t=x2-2x-3≥0,∴x≤-1或x≥3．
当x∈(-∞,-1]时,t递减,f(x)递减；当x∈[3,+∞)时,t递增,f(x)递增．
∵y=t为单调增函数,
∴当x∈(-∞,-1]时,f(x)是减函数；当x∈[3,+∞)时,f(x)是增函数．
故答案为[3,+∞)．


3求的函数y＝|－x2＋2x＋1|的增区间 ，减区间 。
【解析】函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)．


4.求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的增区间 ，减区间 。
【解析】易知f(x)＝＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．


5 函数的单调递减区间是 。
【解析】由题意，可得，
令，即，解得，即函数的递减区间为
6（.易错题） 求函数的单调递增区间．
【解析】由，得，定义域为．
令，则．
∵，在上单调递增，在上单调递减，又是单调递增函数，
∴根据复合函数的单调性，得所求的单调递增区间为．


考法三：比大小
1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0　 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
【解析】∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
2．函数是上的减函数，若，，，则( )
A． B．
C． D．
【解析】，，，，，，是上的减函数，.故选：A.

考法四：解不等式
1．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【解析】由已知可得解得－33.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．

2.设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是 。
[解析]　易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．

考法五：求参数
1．函数在上是减函数．则 。
【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，

2函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。
【解析】函数的对称轴方程为，
函数在区间上是增函数，所以，解得.
3．函数在上是增函数，则a的取值范围是 。
【解析】当时，，满足题意.
当时，在上是增函数，满足，解得：.
当时，在上是增函数，满足，解得：.综上所述：.

4．若函数在区间上单调减函数则的取值范围为_________
【解析】由对勾函数的性质可知：
函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在区间上单调减函数，所以，
解得，故答案为：

5．若函数，且在上单调递增，则实数m的最小值等于______.
【解析】由题知：，所以函数在为增函数，
又因为在上单调递增，所以，m的最小值为.故答案为：

6．已知函数在区间（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是 。
【解析】∵函数在区间上是增函数，
∴函数在上为减函数，其对称轴为，∴可得，解得.


7．已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________
【解析】由于对任意的，时，都有，所以函数在上为增函数，所以，解得.故答案为：.


考法六： 单调的应用

函数单调性的应用
【例】已知f(x)=(2-a)x+1,x<1,ax,x≥1满足对任意x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,那么a的取值范围是________．
【解析】∵对任意x1≠x2,都有fx1-fx2x1-x2>0成立,
∴函数在R上单调递增,∴2-a>0a>1a≥3-a∴32≤x<2 

巩固1.已知函数f(x)＝，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是________________．
【解析】∵f(x)＝，
当x＞1时，函数f(x)＝3x＋a为增函数，∴a∈R．
当x≤1时，函数f(x)＝x＋a2为增函数，∴a∈R．
为使f(x)在R上为增函数，必须且只须3＋a≥1＋a2，解得－1≤a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是－1≤a≤2．

巩固2.（易错题）若函数的单调递减区间是，则实数的取值集合是___________．
【解析】函数的图象的对称轴是．
∵函数的单调递减区间是，
∴由图象可得：，解得．
∴实数的取值集合是．
巩固3.已知函数f(x)＝(a∈R)在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a<0，且ex＋≥0时，必须且只需满足e0＋≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f(x)＝|ex|＝ex符合题意；当a>0时，f(x)＝ex＋，则必须且只需满足f′(x)＝ex－≥0在x∈[0，1]上恒成立，只需满足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1．
综上，－1≤a≤1．

巩固巩固4.函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________．
【解析】易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴即
∴∴a＋b＝6．

巩固5.（拔高题）使函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，实数k的取值范围是________．
【解析】由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数．
故若使函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4．
∴实数k的取值范围是(－∞，－4)．

巩固6.（拔高题）函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f(x)＝＝＝＋a．
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝．
∵函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴f(x1)－f(x2)＜0．
∵x2－x1＞0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，∴1－2a＜0，a＞，
即实数a的取值范围是．
抽象函数的单调性及其应用
【例】函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1．
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2．
【解析】　(1)证明：设x1，x2∈R且x10，
∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1．f(x2)＝＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1) ∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，
∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3 故不等式f(a2＋a－5)<2的解集为(－3，2)．

巩固1.已知f(x)为R上增函数,且对任意x∈R,都有f[f(x)-3x]=4,则f(2)=______．
【解析】根据题意得,f(x)-3x为常数,设f(x)-3x=m,则f(m)=4,f(x)=3x+m；
∴3m+m=4,易知该方程有唯一解,m=1；
∴f(x)=3x+1；
∴f(2)=10；

巩固2.已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m、n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)＞f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是_____________．
①m－n＜0 ②m－n＞0 ③m＋n＜0 ④m＋n＞0
【解析】设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，
∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)为R上的减函数，
∴当m＜n时，有F(m)＞F(n)，即f(m)－f(－m)＞f(n)－f(－n)成立，
因此当f(m)－f(n)＞f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n＜0一定成立，故选①．

巩固3.设f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， f(2)＝1，且 f(xy)＝f(x)＋f(y)，求满足不等式 f(x)＋f(x－3)≤2的x的取值范围．
【解析】由题意可知f(x)＋f(x－3)＝f(x2－3x)，又 2＝2f(2)＝f(2)＋f(2)＝f(4)，
于是不等式 f(x)＋f(x－3)≤2可化为 f(x2－3x)≤f(4)，
因为函数在(0，＋∞)上为增函数，所以不等式可转化为解得3 所以x的取值范围是 (3，4]．

模块三、巩固提升
【题组一 单调性判断 】
1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　　 　B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
【答案】C
【解析】当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．

2.给定函数：①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　 )
A．①②　　B．②③　　　C．③④　　　D．①④
【答案】B
【解析】[①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜＜1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.]

【题组二 求单调区间】
1．函数的单调递增区间是 。
【答案】
【解析】令，则.∵在上是增函数，
∴的单调递增区间即的单调递增区间
即的单调递减区间，为.

2．函数的单调增区间为_________.
【解析】因为，所以或，即函数定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.

3．函数的单调增区间是__________
【解析】，，
，解得，
函数对称轴是：，
当，函数单调递增，
当，函数单调递减，
函数的单调增区间是.

4．函数的单调增区间为 。
【答案】
【解析】函数的定义域为令，解得

5． 函数的单调增区间为___________.
【答案】，
【解析】函数,
所以在和上单调递减，在和上单调递增.故答案为：，

【题组三 解不等式】
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.

2.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R 。
【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)
【解析】由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．



3．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．
【解析】因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，所以解得－33.又a>0，所以a>3.

4.设函数f(x)＝则满足f(x＋1) 【解析】法一：分类讨论法
①当即x≤－1时，f(x＋1) ②当时，不等式组无解．
③当即－1 ④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1) 法二：数形结合法
∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)
∴x<0，
5．若偶函数在，上为增函数，则不等式的解集__________.
【解析】偶函数在上为增函数，在上为减函数，
则不等式等价为，即，
平方得，解得，故答案为：

【题组五 求参数】
1．已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．
【解析】因为为上的增函数，故，所以，填．

2．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是________．
【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
由于二次函数在区间上是单调减函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是.

3．若函数f(x)＝|x－2|(x－4)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是____．
【解析】将函数化成分段函数的形式，不难得到它的减区间为（2，3）．结合题意得：（5a，4a+1）⊆（2，3），由此建立不等关系，解之即可得到实数a的取值范围．解：函数f（x）=|x-2|（x-4）
="(x-2)(x-4)" (x≥2)
(2-x)(x-4) (x＜2)

∴函数的增区间为（-∞，2）和（3，+∞），减区间是（2，3）．∵在区间（5a，4a+1）上单调递减，∴（5a，4a+1）⊆（2，3），得2≤5a, 4a+1≤3，解之得≤a≤故答案为
4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围__________.
【解析】在上单调递增，
由反比例函数的性质，知.故答案为：

5．已知满足对任意成立，那么的取值范围是_______
【解析】由对任意成立可知，函数在定义域上为增函数，
所以：，解得答案为：.

6．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是 。
【解析】若f(x)是R上的增函数，则应满足解得－3≤a≤－2.