高三数学 函数专题复习 九 函数指数和对数的运算

专题九 指数、对数的运算

模块一、思维导图

1．指数中的相关概念

(1) n次方根

正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．

(2) 方根的性质

① 当n为奇数时，=a；② 当n为偶数时，==．

(3) 分数指数幂的意义

① =（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）；

② ==（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）．

2． 有理数指数幂的运算性质

设s，t∈Q，a>0，b>0，则：

 (1) asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt．

3． 对数的相关概念

（1） 对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底数N的对数，记作logaN=b．

（2） 常用对数和自然对数

① 常用对数：以10为底N的对数，简记为：lgN ；

② 自然对数：以e为底N的对数，简记为：lnN．

（3） 指数式与对数式的相互转化

ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）．

4．对数的基本性质

设N＞0，a＞0，a≠1，则：

（1）logaa=1；(2)loga1=0；（3）logaaN=N； （4）alogaN=N．

5． 对数运算的法则

设M＞0，N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则：

（1）loga（MN）= logaM+logaN；（2）loga= logaM－logaN；（3） logaMn= nlogaM．

6． 对数的换底公式

设N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则logbN=

模块二、考法梳理

考法一：指数运算

1．化简=            。

【解析】依题意，原式.

2．计算：（（

【解析】原式＝（）6+1＝22×33+2﹣1＝108+2﹣1＝109．

3．计算：=          。

【解析】

4．已知＝3，求的值为          ．

【解析】解法一　∵＝3，∴两边平方，得()2＝9，即x＋x－1＝7.

两边再平方得x2＋x－2＝47，将等式＝3两边立方，得＝27，

即＝18.∴原式＝.

解法二　设＝t，则，

∴原式＝＝.

6.已知，，求的值为             。．

【解析】原式.

7．程的解为______.

【解析】设,即转化为求方程的正实数根由得或(舍)所以，则故答案为：

考法二：对数的运算

1.计算=              。

【解析】由对数的运算性质,化简可得

2．计算= ______________

【解析】

3.计算           。

【解析】由对数的运算及换底公式,展开化简可得

.

4.计算2（lg）2+lg•lg5=        。

【解析】2（lg）2+lg•lg52（lg）2+lg•lg5+1﹣lg

＝2lg（lglg）+1﹣lg＝lg1﹣lg＝1．

5．______.

【解析】原式

.故答案为：

6．已知，那么等于______.

【解析】因为，所以，所以，所以.

故答案为：

7．已知，，试用、表示________．

【答案】

【解析】，，

即，解得，．

故答案为：.

8．方程的解为______.

【解析】由，得，

即，化为，解得：或，

或.故答案为：或.

考法三：指数、对数的综合运算

1．计算：______．

【解析】原式。

故答案为：0

2．计算：__________．

【答案】

【解析】原式=,故填.

3．_____．

【答案】15

【解析】故答案为：15

4．化简计算__________．

【答案】

【解析】

故答案为：

5计算=         。

【答案】18

【解析】原式

6.若，则     。

【答案】1

【解析】，，，.

.

7．已知 ，且 ，则的值是       。

【答案】

【解析】由题意可得：log2A=x,log49A=y，∴=logA2+logA49=logA98=2，∴A2=98，

解得A=(舍去负值).

8．已知，且，，则________；=_________.

【答案】2       

【解析】(1)由指对数的互化,

(2)

故答案为(1)2;   (2)

必法4 指数式对数式的互化

【例】(1)已知a，b，c均为正数，且3a=4b=6c，求证： ；

(2)若60a＝3，60b＝5，求的值．

【解析】(1)设3a=4b=6c=k，则k>1．

由对数定义得a=log3k，b=log4k，c=log6k，则

+==2 logk3+logk4=logk9+logk4=logk36．

又==2logk6=logk36，∴+=．

(2) 由a=log603，b＝log605，得1－b＝1－log605＝log6012，

于是1－a－b＝1－log603－log605＝log604，则有＝log124，

所以＝＝＝2．

巩固1.（拔高题）已知正实数均不为1，满足，且，则的值为________．

【解析】令，∵为正实数，且均不为1，∴且，

∴．

∵，∴，即，∴．

巩固2.设,且,______．

【解析】,,,由换底公式得
,,,
 

巩固3.设，那么3a=_______．

【解析】∵a==log32+log35=log310，∴

考法5指数式与对数式的综合问题

【例】已知不等式2(x)2+9(x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时，函数的最大值和最小值．

【解析】∵2（x）2+9（x）+9≤0，∴（2x+3）（x+3）≤0．

∴－3≤x≤，即≤x≤．

∴≤x≤，∴≤x≤8． ∴ M={x|≤x≤8}．

f（x）=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1，

∵≤x≤8，∴≤log2x≤3．

∴当log2x=2，即x=4时，f(x)min=－1；当log2x=3m，即x=8时，f(x)max=0．

巩固1.设x＞1，y＞1，且2logxy－2logyx+3=0，求T=x2－4y2的最小值．

【解析】令t=logxy，∵ x＞1，y＞1，∴ t＞0．由2logxy－2logyx+3=0，得2t－+3=0，

∴ 2t2+3t－2=0，即(2t－1)(t+2)=0，

∵ t＞0，∴ t=，即 logxy=，∴ y=，

∴ T=x2－4y2=x2－4x=(x－2)2－4，∵ x＞1，∴当x=2时，Tmin=－4．

巩固2.若，求log2(xy)的值．

【解析】由，去分母可得

(lg x+lg y)2+［lg(x－y)］2=0，

∴ ∴ log2(xy)=0．

巩固3.已知，求的值．

【解析】由已知得 ，∴，

即 ，∴，∴=．

但 及x、y＞0，∴x＞y＞0，即＞1，从而=，=．

巩固4.（拔高题）已知，且．

(1)求证：；   (2)试比较的大小．

【解析】(1)设，由，得．

于是，．

则．

(2)∵，∴，

于是，即．

同理，即．

综上，．