高三数学 函数专题复习 十三 零点定理

专题十三 零点定理
模块一、思维导图






模块二、考法梳理
考点一：求零点
1．若幂函数的图象过点，则函数的零点是 。
【解析】∵幂函数的图象过点，∴，解得，
∴∴由，得．

2．函数的零点是____________.
【答案】
【解析】令f（x）=0，即x2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1.

3．若函数，则函数的零点是___________.
【解析】要求函数的零点,则令,即,
又因为：,①当时,,,解得.
②当时,,,解得（负值舍去）,所以.
综上所以,函数的零点是0或.故答案为：0或

4．函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .
【解析】

函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，
由图象可知,两个函数在[-2,4上共有8个交点,两两关于点(1,0)对称
设对称的两个点的横坐标分别为m、n则m+n=2×1=2，故所求的横坐标之和为8，故答案为8.
考点二：零点区间
1．函数的零点所在区间是( )
A． B． C． D．
【解析】易知函数为减函数，又，，根据零点存在性原理，可知函数的零点所在的区间是,故选D.

2．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵函数单调递增，∴f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，故选B．

3．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数
f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0
∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3）故选：C．

4．已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，即，，因为是定义在上的单调函数，所以由解析式可知，在上单调递增．
而，，故，即．
因为，，
由于，即有，所以．
故，即的零点所在区间为．故选：C．
考点三：零点个数
1．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为 。
【解析】画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.

2．方程的解的个数是 。
【解析】作出和的函数图象,如图所示:

由图象可知两函数图象有2个交点，故方程的解的个数也为2个.

3．方程在区间上的解的个数为 。
【解析】由得，，分别画出和在的图像，如图：

两函数图像有8个交点，故方程在区间上的解的个数为8个
4．若函数是定义在上的偶函数,,且,则函数的零点个数为___________.
【解析】因为,即是周期为4的周期函数
为偶函数,且,画出函数图像如下图所示:

令可得.画出的图像如上图所示:
由图像可知,与图像共有6个交点，所以共有6个零点故答案为:

5．已知函数，则方程的不相等的实根个数为______.
【解析】方程可解出或
方程的不相等的实根个数即两个函数或的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数，的图象与函数的图象的交点个数相同，

如图：的图象与函数的图象的交点个数有四个
的图象与函数的图象的交点个数有三个， 故方程有7个解，故答案为7
6．已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为 。
【解析】当时，则，此时有，
∵，∴，∴函数是周期为2函数．
令，则，
由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点个数．
在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），

结合图象可得两函数的图象有三个交点，∴函数的零点个数为3．

7．已知函数 ，则的零点个数为 。
【解析】由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，
设，则，作出的图象，
如图所示，结合图象可知，方程有三个实根，，，
则 有一个解，有一个解，有三个解，
故方程有5个解.

8．已知函数，则方程实根的个数为 。
【解析】当时，，，
∴有一实根；当时，，，
∴，∴或|，
分别画出函数以及，的图象如图，

由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个．

9．已知函数，则函数的零点个数为 。
【解析】令,则,
令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函数的图象,如下图,时,;时,;时,.结合图象,若,有3个解;若,无解;若,有1个解.
所以函数的零点个数为4个.

考点四：根据零点求参数
1．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数f(x)=x2+x+a的图象的对称轴方程为,故函数在区间(0,1)上单调递增，
再根据函数f(x)在(0,1)上有零点,可得，解得−2
2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】由条件可知，即a(a－3)<0，解得0 3．若函数的零点所在的区间为,则k= 。
【解析】∵且单调递增,∴的零点所在的区间为（2,3）,∴.
4．已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 。
【解析】由得，作函数的图象及直线，它们有三个交点，则，∴．

5．函数有四个零点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题即有四个根,画出的图像有

当时,故a的取值范围是 故答案为

6．若函数，方程有两解，则实数m的取值范围为______ ．
【答案】
【解析】

二次函数的最高点为，有图可知与函数有两个交点，则取值范围为
7．偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】由，可知函数图像关于对称，又因为为偶函数，所以函数图像关于轴对称.所以函数的周期为2，要使函数有且仅有三个零点，即函数和函数图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，.

8．已知，若存在三个不同实数，，使得，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，故.


9．已知，若关于的方程有四个实根，则这四个根之积的取值范围________.
【解析】
与两图象交点问题，当，则
，其中，
，.填写:

考法五：二分法
1．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表：

1.00
1.25
1.375
1.50

1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为( )
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
【解析】根据二分法的思想,因为,故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,因而取区间的中点,
由表格知,故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,因而取区间的中点,
可知区间和中必有一个存在的零点,而区间长度为,
因此是一个近似解,故选:B.
2．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，
则第二次所取的区间是或，
第三次所取的区间是或或或，故选：B.

3．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．
4．已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099

由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【解析】在上单调递增.设近似值为，
由表格有，所以故选：C


考点12：零点定理
【题组一 求零点】
1．函数f（x）的零点为_____.
【答案】﹣3
【解析】当时，；
当时，，不满足，排除；故函数零点为 故答案为：

2．若函数的零点为，则________.
【解析】根据题意，若函数f（x）＝log2（x+a）的零点为﹣2，
则f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，即a﹣2＝1，解可得a＝3，故答案为3

3．设函数，则函数的零点是________________.
【解析】等价于或，解得或，
所以，函数的零点是0或1．故答案为：0或1．

【题组二 零点区间】
1．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，所以，
根据零点存在性定理，函数的零点所在的一个区间是，故选：A.

2．已知函数.在下列区间中,包含零点的区间是( )
A． B． C． D．
【解析】函数，在其定义域上连续，又，，故函数的零点在区间上.故选：D.

3．函数在下列哪个区间必有零点（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵，，，
∴，∴在区间内必有零点.故选：B.

【题组三 零点个数】
1．函数的零点个数为 .
【解析】函数的零点，即方程的解，即，转化为函数与的交点，在同一平面直角坐标系上作出函数与的图象，如下所示：从函数图象可知，与有两个交点，

即方程有两个实数根，即函数有两个零点.
2．函数在区间内零点的个数为 .
【答案】2
【解析】令,画出的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有个零点.


3．函数f（x）＝cosπx﹣（）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 .
【答案】3
【解析】根据题意可知，函数在区间上的零点的个数，
即为函数的图象与函数的图象在区间上的交点的个数，
在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：

可以发现有三个公共点，所以函数在区间上有三个零点，
4．函数的零点个数是 .
【解析】因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点
又，，，即函数在上有一个零点.

5．函数,则的零点个数为________.
【解析】函数定义域为
令，则的零点的个数就是函数，的交点个数

如上图所示，则的零点个数为.故答案为：

6．定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.
【解析】由于定义在R上偶函数满足,所以图象关于直线对称,
画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,
由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,
所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.

7．函数的零点个数为_______________.
【解析】函数的零点，即方程的解，令，
也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.

8．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为 .
【解析】∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2．由题意可得，
在同一坐标系内画出函数和的图象，如下图，

由图象得，两函数图象有5个交点，所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点．

9．若偶函数的图像关于对称,当时,,则函数在上的零点个数是 .
【答案】26
【解析】令，定义域为非零的实数集，，所以该函数为偶函数，又是偶函数是偶函数，且，
由得
当时有
偶函数的图象关于对称，
且，
，
是的周期函数，
,为的对称轴
当时,

当,,在同一坐标系中的图象如下

可知与在上有13个交点即在上有13个零点
是偶函数在上共有26个零点．
10．定义在上的奇函数满足,且在区间上,,则函数的零点的个数为______.
【解析】由题,因为满足,所以关于中心对称,
又因为是奇函数,所以,
所以,即的周期为4,画出与的图像,如图所示,

则交点有5个,故函数的零点有5个,故答案为:5

11．函数对于任意实数，都与成立，并且当时，.则方程的根的个数是 .
【解析】对任意实数x都有
f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），
由于f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x）
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为．
方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，
当时，，当时，函数图象与直线无交点，

由图像可得二者的交点个数为2020个
12．已知定义在R上,且最小正周期为4的函数,满足,则在区间内函数的零点个数的最小值是______
【解析】函数是奇函数，则，又周期为4，则，又，所以，所以．在上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．故答案为：9.
【题组四 根据零点求参数】
1．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是 .
【解析】∵方程的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内，
∴函数的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，
则，解得，
∴m的取值范围是.
2．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意，函数是定义域上的单调递增函数，
又由函数在区间上存在零点，
则满足，即，解得，
即实数的取值范围为。
3．若函数在（﹣∞，0）上有零点，则实数a的取值范围为 .
【解析】∵在（−∞，0）上有零点，∴在（−∞，0）上有零点，
由于函数在（−∞，0）上单调递增，，

4．若函数在区间(2,3)上有零点，则= ．
【解析】试题分析：显然是单调递增函数，又它在区间(2,3)上有零点，所以且，
即且，得，而，又，所以.

5．函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为____________.
【解析】因为函数在区间上有零点，
所以有：

6．已知函数的零点位于区间内，则实数的取值范围是________.
【解析】由题意,令,得,因为,所以,故

7．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】函数 在区间内是减函数，
函数在区间内有零点，，即，
，即故答案为：

8．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是________.
【解析】因为函数在区间上有零点,则=,解得.即实数的取值范围是.故答案为.
9．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】由对数函数和二次函数知：在上有一个根.
解得：，即：.因为，所以.
在有两个不相等的根.即：，解得：.
综上：故答案为：

10．已知函数，若存在，使得在上恰有两个零点，则实数的最小值是______.
【答案】
【解析】因为函数,在上恰有两个零点
则必在与时恰好取到零点的边界
若时,的零点满足
解方程求得或
当时, ,满足在上恰有两个零点
则,且
解方程可得(舍)或(舍)
当时, ,满足在上恰有两个零点
则,且
解方程可得(舍)或
综上可知,当时满足在上恰有两个零点故答案为:
11．函数f (x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝ ．
【解析】令函数f（x）=|x2-4x|-a=0，可得|x2-4x|=a．由于函数f（x）=|x2-4x|-a的零点个数为3，故函数y=|x2-4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，如图所示：故a=4．故答案为 4．


12．设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是 .
【解析】当时，所以有，因此有，所以函数的解析式为：，由题意可知：有四个不同的实数解，因此有：，设函数，因此由可知：函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，函数的图象如下图所示：
要想函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，必须有，此时有，再由，结合图象可知：函数是关于直线对称，因此有
，所以，令，令，显然函数在上单调递减，
在上单调递增，
故，.

13．已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是 .
【解析】做出函数如下图所示：
当，直线与函数只有一个公共点，不合题意；
当时，，直线与函数部分只有一个公共点，
要使直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，
直线与函数有两个公共点，
即方程在有两个不同的解，故有，解得.

14．已知，函数，，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的图象如图所示，

令，与的图象最多有3个零点，
当有3个零点，则，从左到右交点的横坐标依次，
由于函数有6个零点，，
则每一个的值对应2个的值，则的值不能取最小值，
函数对称轴，则的最小值为，
由图可知，，则，
由于是交点横坐标中最小的，满足①，
又②，联立①②得．实数的取值范围是．

15．已知定义在R上的偶函数，且时，，方程恰好有4个实数根，则实数m的取值范围是 .
【解析】在上单调递增，在上单调递减，在时取得最大值2.
又当时，，再结合对称性可以画出函数与的图象,如图所示:

由图可知，当时，函数与恰好有4个公共点.
【题组四 二分法】
1．已知函数f(x)=x3+2x-8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：

则方程x3+2x-8=0的近似解可取为（精确度0.1） .
【解析】由表知函数零点在区间(1.625,1.6875) ,所以近似解可取为1.66.
2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( )
A． B．
C． D．
【解析】对于A选项，，且，A选项中的函数能用二分法求零点；
对于B选项，，当时，，B选项中的函数不能用二分法求零点；
对于C选项，，且，C选项中的函数能用二分法求零点；
对于D选项，，且，D选项中的函数能用二分法求零点.
3．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：

1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125

-6
3
-2.625
-1.459
-0.14
1.3418
0.5793
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为
【解析】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为

4．用二分法研究函数的零点时，若零点所在的初始区间为，则下一个有解区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数，满足
取中点，有：，.所以零点在区间故选C.

5．若函数的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:






那么方程的一个近似根(精确度为)为 .
【答案】1.415
【解析】由二分法，表格中数据说明零点在上，只有C符合。

6．已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 .

A．4，4 B．3，4 C．5，4 D．4，3
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，
所以用二分法求解的个数为3。故选D．

7．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

2
3
2.5
2.75
2.625
2.5625


1.0986

0.512
0.215
0.066
则方程的近似解（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75
【解析】由表格的数据得：，
因为函数在单调递增，
所以在存在唯一的零点，且，
所以方程的近似解可取区间内任意数，故可取.故选A.

8．用“二分法”求的零点时，初始区间可取 （ ）
A． B． C． D．
【解析】,
所以,故零点在区间内.故选：C