高三数学 函数专题复习 十 指数函数

专题十 指数函数
模块一、思维导图


模块二、考法梳理
考法一：定义辨析
1．下列函数：①；②；③；④（且）.其中，指数函数的个数是 。
【解析】①函数是二次函数；②函数底数小于，故不是指数函数；③函数为，故不是指数函数；④且，可得出且，则是指数函数。指数函数个数为1.

2．若函数是自变量）是指数函数，则a的取值范围是 。
【解析】函数是自变量）是指数函数解得：且
3．若函数是指数函数，则实数的值为_________．
【解析】因为函数是指数函数,所以且,解得.故答案为:2

考法二：定义域
1．函数f(x)=的定义域为 。
【解析】要使函数式有意义，需，则函数的定义域为(−3,0]．
2．函数的定义域为______________．
【解析】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.

3．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为 。
【解析】因为，所以，因为，
所以的定义域为．
4. 函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为 。
【解析】要使函数且有意义,则 ,即 ,
当时，；当时，，
因为的定义域为所以可得符合题意，的取值范围为.
5．已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
【解析】∵f（x）的定义域为R，∴0对任意x∈R恒成立，
即恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0

考法三：单调性
1．函数的单调递增区间为 。
【答案】
【解析】因为函数的单调递减区间为,所以原函数的单调递增区间为.
2．函数的单调减区间为 。
【解析】设，则由.得到，即函数的定义域.又.所以在上单调递减。
3．已知函数，则不等式的解集为 。
【解析】可知函数为减函数，由，可得，
整理得，解得，所以不等式的解集为．

4． 若函数单调递增,则实数a的取值范围是 。
【解析】函数单调递增，解得
所以实数的取值范围是．

5．a=212，b=313，c=515则a，b，c的大小关系为 。
【解析】很明显a>0,b>0,c>0，且：a6=23-8,b6=32=9,∴b>a；a10=25=32, c10=52=25,∴a>c，综上可得：c
6．已知，，，则 的大小关系 。
【解析】因为在上递减，且，则，所以.
又因为在上递增，且，所以，即.因此，.

7．则的大小关系是 。
【答案】
【解析】，，，∴，
考法四：值域
1．设函数,则它的值域为 。
【答案】(0,1)
【解析】由题：，，，所以的值域为.

2．函数的值域是 。
【答案】
【解析】令，则，而，所以.
3．函数在上值域为 。
【解析】，
令,因为则，所以，
而的对称轴，在上单调递增，
所以当时，有最小值；当时，有最大值；所以的值域为，
4．已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是 。
【答案】
【解析】实数且,若函数的值域为,
当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立
当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得（舍去）综上可知的取值范围为
5．已知函数,若的值域为，则实数a的取值范围是________.
【解析】0不在的值域中，，又数形结合可知，
当，当时，
，的值域为，需满足，
当时，与的图象恰有两个交点和，
且当或时，图象位于的图象上方，
当时，图象位于的图象下方，
所以有或.



6．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【解析】设，若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，，
设，则，则，
，当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，即，则，
即实数的取值范围是，.故答案为：，
考法五：定点
1．函数且的图象必经过定点 。
【解析】当时，无论a取何值，
函数且的图象必经过定点

2．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 。
【解析】定点为,，
当且仅当时等号成立，即时取得最小值.
3．已知函数（且）的图象恒过定点，则________.
【解析】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.答案为：

考法六：图像
1．若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 。
【解析】指数函数过点,则函数过点,若图像不经过第二象限,则,即,

2．若函数（且）的图象不经过第一象限，则有 。
A．且 B．且
C．且 D．且
【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数单调递减，即，且当时，，求解不等式可得：，综上可得：且.本题选择C选项.
3．函数f（x）=ax–b的图象如图所示，其中a，b为常数，则loga（1–b）的取值 。

A．恒等于0 B．恒小于0
C．恒大于0 D．无法判断
【解析】由图象为减函数可知，0 显然a–b<1，即a–b0，1–b>1．∴loga（1–b）<0．故选B．

4．已知函数（其中的图象如图所示，则函数的图象是 。

A． B．
C． D．
【解析】由函数的图象可知，，，则为增函数，，过定点，故选：．

考点9 指数函数
【题组一 定义辨析 】
1.下列函数中指数函数的个数是 。
①y=2x；②y=x2；③y=2x+1；④y=xx；⑤y=（6a–3）x．
【答案】2
【解析】只有①⑤是指数函数；②底数不是常数，故不是指数函数；③是 与指数的乘积；④中底数不是常数，不符合指数函数的定义，所以指数函数的个数是．

2．下列函数中，指数函数的个数为 。
① ②y＝ax ；③y＝1x；④
【答案】1
【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．

3．函数是指数函数，则a的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数是指数函数，且，，由解得或，，

4．已知函数为指数函数，则 .
【答案】1
【解析】函数为指数函数，解得

【题组二 定义域】
1．函数的定义域为__________.
【解析】函数的自变量满足：，
解得即 .故答案为：

2．函数的定义域为 。
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，解得0＜x<1，

3．设函数 ，则函数 的定义域为 。
【解析】∵函数，即，解得，∴y＝f（x）的定义域为，
∴函数，满足log2x≤1，解得，∴y＝f（log2x）的定义域是.

4．若函数的定义域为R，则a的取值范围是 。
【解析】∵函数的定义域为R,
∴恒成立

5．已知函数定义域为，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，则恒成立，即恒成立， ，

【题组三 单调性】
1．函数 的单调递增区间是 。
【解析】，可知，单调递增区间为．

2．函数的单调递减区间为 。
【解析】是减函数，在是递减，在上递增，∴的减区间是．
3．函数的单调递减区间为 。
【答案】
【解析】由与复合，而为单调递增函数，所以函数的单调递减区间为单调递减区间,即单调递减区间为.

4．函数的单调增区间是______________．
【解析】解得或．定义域为．
外层函数单调递减，由复合函数“同增异减”知当内层函数单调递减时复合函数单调递增．即单增区间为.故答案为：
5．设0 【解析】为减函数，，，解得，故使条件成立的的集合为，故答案为.

6．若函数且在上单调递增，则实数m的最小值等于______．
【解析】函数，则函数的单调递增区间为，
若函数在上单调递增，则，即，
即实数m的最小值等于1，故答案为：1．

7．若函数是上的增函数，则实数的取值范围为__________．
【解析】函数是上的增函数，，
解得实数的取取值范围是，故答案为.

8．已知函数满足对于任意，都有成立，则的取值范围为________
【解析】因为对于任意，都有，故
对任意的，总有即，故为上的增函数，
所以，故.令，，它们的图象如图所示：

故的解为，故的解为.故答案为：.

9．设则的大小关系是 。
【答案】
【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，

10．设，则的大小关系为 。
【解析】因为指数函数是减函数，,所以<，即；
因为幂函数是增函数，,所以>,即，所以.

11．已知则a、b、c的大小关系 。
【解析】由题意得：，=，
在为单调递增函数，a＜c，同理可得：，=，
在R上为单调递增函数，c＜b，综上，
12．已知，，，则a、b、c的大小关系 。
【答案】
【解析】幂函数在区间上为减函数，，即；
指数函数在上为增函数，，即.因此，.

【题组四 值域】
1．函数的值域是_____．
【答案】（0，2]
【解析】由,得即函数的值域为.故答案为:.

2．函数的值域为
【答案】
【解析】因为

3．函数的值域为 。
【答案】[-3,1]
【解析】
令，则，∴，

4．函数在上的值域为_________.
【解析】，令，因为，所以，
原函数的值域等价于函数（）的值域，
所以在上单调递增，上单调递减，，
所以. 故答案为：

5．函数的值域是___________.
【解析】因为，设,,
在上单调递增,所以故答案为：.

6．若函数的值域为，则为__________.
【答案】
【解析】时，，，∴，
时，，，
综上函数的值域为，即。故答案为：。
7．已知函数f（x），若f（x）的最大值为3，则a＝_____.
【解析】由题意，f（t）是递减函数，那么t＝ax2﹣4x+1必有最小值使得f（t）的最大值为3；
即3，那么tmin＝﹣1，所以且,解得：a＝2.故答案为: 2

8．已知函数的定义域和值域都是，则 .
【解析】若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；
若，则在上为减函数,所以，解得，所以.

【题组五 定点】
1．函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点是（ ）
A．（1，﹣1） B．（0，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【解析】因为，所以当时有，，即当时，，
则当时，，所以当时，恒有函数值.
所以函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点.

2．若函数则该函数过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为指数函数的图像经过定点坐标是，
函数图像向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，函数的图像过的定点.
3．函数的图象恒过点的坐标为 。
【解析】的图象恒过定点，
把的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得函数的图象，
故函数的图象恒过点的坐标为.

4．若且，则函数的图像一定过定点 。
【答案】
【解析】由时,,则此时=0,所以函数的图像恒过点(2,0).

5．函数（且）的图象恒过定点 。
【答案】（-1，4）
【解析】由题,令,可得,则,所以定点为

6．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是 。
【答案】
【解析】当时，，即，故.

7．已知函数过定点，如果点是函数的顶点，那么的值分别为 。
【答案】-2,5
【解析】（且）恒过点，所以（且）恒过点，
又为的顶点，满足，解得

【题组六 图像】
1．若函数的图像经过第一､二､三象限,则的取值范围是________.
【解析】如图，函数的图象是把函数函数的图象向上或向下平移个单位得到的，
若函数的图象经过第一、二、三象限，
则需把函数的图象向下平移，但平移单位小于，．故答案为：．

2．若函数的图象经过第一、三、四象限，则有 。
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【解析】由题意,画出图象如图,由单调性可知,,当时,,选B.

3．若函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有 。
A．且 B．且 C．且 D．且
【解析】，经过二、三、四象限，则其图像应如图所示：

所以，，即，故选B.
4．若函数（ 且 ) 的图象经过第一、三、四象限，则一定有 。
A． B． C． D．
【解析】因为函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
则根据指数函数的图象可知，，即，又当时，，
即，解得．故选：A．

5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意得，的定义域为，排除C,D；
当时，，∵，∴ 在上单调递减，排除A，故选B.

6．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为　　

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】通过函数的图象可知：，当时，可得，即．函数是递增函数；排除C，D．当时，可得，，，．故选A．

7.已知，且的图象如图所示，则等于 。

【答案】
【解析】由题中图象知，函数过，，则，所以．又，所以（负值舍去），故，．

【题组七 指数综合运用】
1．求解下列问题
（1）已知函数，求函数的单调递增区间；
（2）已知函数，，求函数的值域.
【解析】(1)令则其减区间为, 由在定义域上为减函数,得的单调递增区间为:.
(2)令,由得, ∴,
∴函数在上为单调减函数,在上为单调增函数,
∴,, ∴,
∴当时,函数的值域为.

2．已知函数.
（1）若为奇函数，求的值；（2）在（1）的条件下，求函数的值域.
【解析】（1）的定义域为，因为为奇函数，所以恒成立，
所以，整理得到：，所以.
（2）令，则即，所以且，解得或，所以函数的值域为.
3．求函数的定义域、值域及单调区间．
【解析】解不等式，得或，所以，函数的定义域为.
，，则函数的值域为.
令，由二次函数的性质可知，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，
由复合函数同增异减法可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

4．已知函数
（1）若，求的单调区间；
（2）若的最大值为3，求实数的值；
（3）若的值域是，求实数的值
【解析】（1）当时，，令，
由于在上单调递减，在上单调递增，而在上为减函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即函数的单调递减区间是，单调递增区间是。
（2）令，则，为的最大值为3，所以的最小值为，
当时，，无最大值；当时，有，解得，
所以当的最大值为3时，实数的值为1。
（3）由指数函数的性质，知要使的值域为，
应使的值域为。
当时，，值域为，符合题意；
当时，为二次函数，其值域不为，不符合题意。
故当的值域是时，实数的值为0
【例】已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1） 求a，b的值；
（2） 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)+f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
【解析】（1） 因为f（x）是奇函数，所以f(0)=0，即=0b=1，所以f（x）=．
又由f（1）=－f（－1），得=．
（2）方法1 由（1）得f（x）=+，易知f（x）在（－∞，+∞）上为减函数．
因为f（x）是奇函数，从而不等式f(t2－2t)+f(2t2－k)<0f(t2－2t)<－f(2t2－k)=f(k－2t2)．
所以t2－2t>k－2t2，即对一切t有3t2－2t－k>0．所以Δ=4+12k<0k<－．
方法2 由（1）知f（x）=，所以+，
即(1－)+(+2)(1－)<0，即>1，故3t2－2t－k>0．
上式对一切t∈R均成立，从而Δ=4+12k<0k<－．
巩固1.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于______ ．
【解析】∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)关于x=1对称,
∵函数f(x)=2|x-a|(a∈R)
x=a为对称轴,∴a=1,
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,
∵f(x)在[m,+∞)上单调递增,
∴m的最小值为1．

巩固2.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bx-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围．
【解析】把A(1,6),B(3,24)代入fx=b·ax,得6=ab24=b·a3,结合a>0,且a≠1,解得a=2b=3,
所以fx=3·2x,
要使(12)x+(13)x≥m在x∈(-∞,1]上恒成立,
只需保证函数y=(12)x+(13)x在(-∞,1]上的最小值不小于m即可,
因为函数y=(12)x+(13)x在(-∞,1]上为减函数,
所以当x=1时,y=(12)x+13x有最小值56,
所以只需m≤56即可,
即m的取值范围为(-∞,56]．
巩固3.已知函数f（x）=2x．
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈(－∞，0］的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0］，使|af（x）－f(2x)|>1成立，试求a的取值范围；
（3）当a>0，且x∈［0，15］时，不等式f（x+1）≤f［（2x+a）2］恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1） F（x）=2x+a·22x，x∈(－∞，0］．
令2x=m，m∈（０，１］，则F（x）=m+a·m2，m∈(0，1］．
当a≥0时，F(x)max=1+a；
当a<0时，F（x）=．若>1，即a>时，F(x)max=F(1)=1+a，若≤1，即a≤时，F(x)max=
所以F（x）max=．
（2） 令2x=t，即存在t∈（0，1］，使得|t2－at|>1．
所以存在t∈（0，1］，使得t2－at>1或t2－at<－1，
即存在t∈（0，1］，使得
函数g(t)=t－在（0，1）内为增函数，所以g(t)max=g(1)=0，即a<0；
函数h(t)=t+在（0，1）内为减函数，所以h(t)max=h(1)=2 s，即a>2．
所以a<0或a>2．
（3） 由f（x+1）≤f［（2x+a）2］，得x+1≤（2x+a）2恒成立．
因为a>0，且x∈［0，15］，问题转化为恒成立．所以
设m(x)=－2x+ 令=t，则x=t2－1，t∈［1，4］．
所以m（t）=－2（t2－1）+t=所以，当t=1时，m(x)max=1．
所以a∈［1，+∞)．