高三数学 函数专题复习 七 函数的奇偶性

专题七  奇偶性

模块一、思维导图

1奇、偶函数的定义

对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．

2．奇、偶函数的性质

(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(函数为奇函数或偶函数必要条件是定义域关于原点对称)

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．

(4)若函数f(x)是偶函数，则有__f(|x|)＝f(x)__．

(5)奇函数在对称区间上的单调性__相同__，偶函数在对称区间上的单调性__相反__．

模块二、考法梳理

考法一：奇偶性的判断

1.下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（    ）

A．     B．  C．   D．

【解析】对A, 为偶函数.故A错误.

对B, 为非奇非偶函数函数,故B错误.

对C, 为奇函数且在上递增.故C正确.

对D, 为奇函数但在先减再增,故D错误.故选：C

2.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是（          ）

A．      B．  C．     D．

【解析】对于:,,所以不是偶函数;

对于:,,是偶函数,但是根据幂函数的性质可知,在上是减函数;对于:,是偶函数,当时在上是增函数,符合题意;对于:,所以不是偶函数,故选:C.

3【例】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；  (2)f(x)＝(x＋1)； (3)f(x)＝；

(4)f(x)＝；     (5)f(x)＝x2－|x－a|＋2．

【解析】　(1)由得x＝±3．所以f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0．即f(x)＝±f(－x)．所以f(x)既是奇函数，又是偶函数．

(2)由得－1<x≤1．因为f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．非奇非偶．

(3)由得－2≤x≤2且x≠0．所以f(x)的定义域为，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．

(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．

(5)函数f(x)的定义域为R．

当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数；

当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2．f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－)2＋≠0，∴f(x)是非奇非偶函数．

综上，当a＝0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．

巩固1.下列函数中为偶函数的是________．

①y＝           ②y＝lg|x|       ③y＝(x－1)2        ④y＝2x

【解析】　①中的函数是奇函数；②中，函数y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|，∴函数y＝lg|x|是偶函数； ③和④中的两个函数都是非奇非偶函数．故填写②．

巩固2.下面的定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是________．

【解析】根据奇函数和偶函数的定义，易得y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2．

巩固3.（易错题）试判断函数的奇偶性．

【解析】∵对一切实数恒成立，∴函数的定义域为 关于原点对称．

又，

∴，即是奇函数．

考点二：利用奇偶性求解析式

1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝　________　.

【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝－x2－4x(x<0)，∴f(x)＝

2.已知是偶函数,若当时,,则当时,       .

【答案】

【解析】当时,，是偶函数当时，则，

所以当时，

考点三：求参数

1．若函数为奇函数,则=        .

【解析】由函数f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=，

∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=

2．若函数是定义在上的偶函数,则的值域为      .

【答案】

【解析】依题意为偶函数，所以，解得，所以.另，即，，所以，根据二次函数的性质可知，当时，函数有最大值为，当时，函数有最小值为.所以函数的值域为.

3.若函数是奇函数，则     。

【解析】由得，

∴，∴.

4.已知函数为偶函数，则        。

【解析】由题意，函数为偶函数，又由函数为奇函数，

所以函数为奇函数，则，得，

所以，得，

所以。

考点四：奇偶性与单调性的综合

1．已知函数为偶函数，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，令，.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

因为，所以当时，，且单调递增.

又，所以，

在上单调递减，且

故.故选：

2．已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（    ）

A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a

【答案】C

【解析】依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，所以为偶函数．当时，有，

任取，则，由不等式的性质可得，

即，所以，函数在上递增，因此，，

故选：C．

3．已知函数且，则实数的取值范围是      .

【答案】

【解析】因为，所以,为偶函数，

因为当时，单调递增，所以等价于，即

，或，

4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若对于任意，恒成立，则的取值范围是     .

【答案】

【解析】因为是偶函数，所以不等式可化为，又在上单调递增，所以，而的最小值为1，所以，，解得．

5.是上奇函数，且在区间单调递增，若，则不等式的解集是__．

【解析】函数是上的奇函数，在区间单调递增

∴函数在上单调递增，且，

∵，即．∴当时，，

当时，，当时，，

当时，，那么：，即或，

∴得：或．故答案为：．

6．若函数，则       .

【解析】由题意得：

7．已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为         .

【解析】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6.

8．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么=  .

【解析】由题可知，

，

在为增函数，

【例1】（1）若函数为偶函数,则______．

（2）已知偶函数在单调递减,,若,则x的取值范围是______．

【解析】（1）为偶函数,,
,,
,,,．
（2）偶函数在单调递减,,

不等式等价为,
即, , 解得

【例2】(1) 设函数f(x)＝(x∈R)为奇函数，求实数的值；

(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．

【解析】(1) 要使f(x)为奇函数，

∵  x∈R，∴  需f(x)＋f(－x)＝0．

∵  f(x)＝a－，∴  f(－x)＝a－＝a－．

由＋＝0，得2a－＝0，∴ a＝1．　

(2) 由f(x)的定义域是，知解得<a<．

由f(a－2)－f(4－a2)<0，得f(a－2)<f(4－a2)．

∵ 函数f(x)是偶函数，∴ f(|a－2|)<f(|4－a2|)．

由于f(x)在(0，1)上是增函数，∴ |a－2|<|4－a2|，解得a<－3或a>－1且a≠2．

综上，实数a的取值范围是<a<且a≠2．

巩固1.设函数为偶函数,则 ______ ．

【解析】因为函数,
要函数为偶函数,有
所以对成立,
因此,解得．
 

巩固2.已知是奇函数,且,若,则______．

【解析】由题意,是奇函数,且,
所以解得
所以

巩固3.已知是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数a满足,则a的取值范围是______．

【解析】是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增,
在区间上单调递减,
则,等价为,即,
则,即,
 

巩固4.若函数为奇函数,则的值为______．

【解析】为奇函数,设,则,
时,,
,
,
,,
,

巩固5.设为奇函数,a为常数．

求a的值；

判断并证明函数在时的单调性；

若对于区间上的每一个x值,不等式恒成立,求实数m取值范围．

【解析】由条件得：,
,化简得,因此,,
当时,,不符合题意,因此
经检验,时,是奇函数．
判断函数在上为单调减函数；
证明如下：设,
,
,,,,
,
又,,
,,
又,,即,
函数在上为单调减函数；
不等式为恒成立,
在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
当时取得最小值为,．