高三数学 函数专题复习 十一 对数函数

这是一份高三数学 函数专题复习 十一 对数函数，共46页。试卷主要包含了思维导图，考法梳理等内容，欢迎下载使用。

专题十一 对数函数
模块一、思维导图


模块二、考法梳理
考法一：定义辨析
1．下列函数表达式中，对数函数的个数有 。
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.

2．若函数是对数函数，_________.
【解析】由对数函数的定义可知，，解得．

考法二：定义域
1．函数的定义域是 。
【答案】
【解析】由题意可知：.

2．函数的定义域是 。
【解析】由题意可得：且，解得且x≤0 ，所以定义域为 (-1,0 ]．
3．已知函数，则函数的定义域为 。
【答案】
【解析】对于函数，，即，解得.对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.

4．函数f(x)=lg(1+2cosx)的定义域为 。
【答案】
【解析】由题意得，所以，即得

5．函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】∵的定义域为，∴恒成立，
即判别式，得，即实数的取值范围是

6．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 。
【答案】
【解析】试题分析：函数的定义域是R，则有恒成立.设，当时， 恒成立；当时，要使得恒成立，则有，解得.所以实数的取值范围是.
考法三：单调性
1．函数的单调递减区间为 。
【解析】由得，或，则函数的定义域为，
又函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数的单调递减区间为

2．函数的单调递增区间为 。
【答案】
【解析】函数所以定义域为,解得或
由复合函数“同增异减”的性质,可知函数的单调递增区间为
即为函数的单调递增区间

3．已知函数(其中，)在区间上单调递减，则实数的取值范围是 。
【解析】函数y＝loga（8﹣ax）（其中a＞0，a≠1）在区间[1，4]上单调递减，
当a＞1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减且t＞0，故8﹣4a＞0，求得1＜a＜2．当0＜a＜1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减，
可得函数y＝loga（8﹣ax）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件．综上，实数a的取值范围为（1，2）。

4．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】令，其对称轴方程为，外函数对数函数是增函数，
要使函数在上递减，则，即：．实数的取值范围是．
5．已知函数在上单调,则的取值范围为 。
【答案】
【解析】
又 当时,是单调递减函数
在上是单调递减函数
根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,也要保证在分界点上单调递减可得: 解得:.

6．当时，，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】当时， ， ，不成立，
当时，当时，，解得：，
如图，若时，时，.

7．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若（且），则a的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】因为已知是定义在R上的偶函数，所以由，又因为 上单调递减，所以有.
当时，；
当时，.
故答案为：

8．设，则a、b、c的大小关系 。
【答案】
【解析】由题意，，，显然，因此有．

9．若，，，则的大小关系 。
【答案】
【解析】，，，且，则


考法四：值域
1．已知函数，，则的值域是_________．
【解析】因为,所以,则得,所以,即函数的值域为.故答案为:.

2．函数的值域是__．
【解析】设函数，则函数，，∵，在上单调递增，∴当时，最小值为，故答案为：.

3．函数的值域为__________.
【解析】由于函数，故当时，．
当时，．综上可得，，故函数的值域为，故答案为：．

4．函数的最小值为_______．
【答案】0
【解析】由题得，
，
，
，
令,则，
因为二次函数的对称轴为，所以当时，.故答案为0
5．已知函数的值域为R，则实数的范围是_________
【答案】
【解析】当时，，因此当时，的取值范围应包含，∴，解得．故答案为：．

6．已知的值域为，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】因为的值域为，
所以函数可以取到任意的正实数，
若，该式为，符合题意若，则，解得，
所以实数a的取值范围是，

7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
【解析】，
当时，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数值域包含，
，解得，
综上实数的取值范围是.
8．函数，若的值域为，则的值为______.
【解析】因为的值域为，所以，
函数的最小值为，即，解得，故答案为：

9．若在上恒正，则实数的取值范围是 。
【解析】因为函数,且，在上恒正,令，所以当时，，知，即.当时，，满足
或或
解不等式得：，所以实数的取值范围是.

10．若函数有最小值，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】由题意得，令，当时，为单调递增函数，所以要使得有最小值，必须，所以，解得，所以；
当时，没有最大值，从而不能使得函数有最小值。

考法五：定点
1．函数f(x)=loga(x+2)+1（a>0且a≠1）的图象经过的定点是 。
【解析】当x=-1时，函数值恒为1，故定点为(-1,1).

2．函数的图象过定点 。
【解析】令有.代入得.
故函数的图象过定点.

3．已知函数(且)的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为 。
【解析】依题意，故，由诱导公式和三角函数的定义得.

4．已知函数（，且）的图象恒过点，且点在直线上，那么的最大值
【解析】当，即时，，
函数的图象恒过定点；
又点在直线上，
，
，
当且仅当时，“=”成立.所以ab的最大值为.


考法六：图像
1．图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是 。．

A． B．
C． D．
【解析】如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向轴靠近，
所以．故选．

2．在同一直角坐标系中，函数，的图像可能是 。
A． B．
C． D．
【解析】当时,对数函数单调递增,且幂函数往下凸,无满足选项.当时, 对数函数单调递减, 且幂函数往上凸.易得D满足条件.选：D
3．对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是 。
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，若0 又由函数y=(a-1)x2-x开口向下，其图象的对称轴x=12(a-1)在y轴左侧，排除C，D.
若a>1，则y=logax在(0,+∞)上是增函数，
函数y=(a-1)x2-x图象开口向上，且对称轴x=12(a-1)在y轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.

4．已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由于函数的图像不经过第四象限，所以，即，所以.故填：.

考法七：反函数
1．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝logax，若f（x）的反函数图象经过点（1，2），则a＝_____.
【解析】常数且，函数，的反函数的图象经过点，
函数的图象经过点，，解得．故答案为：2．

2．函数与互为反函数，且过点，则 。
【解析】由题意可得，又过点，则在上，
即，解得，所以，
所以，
3．函数的反函数的解析表达式为 。
【解析】，又
所以函数的反函数为

4．若函数的反函数为,则不等式的解集为______.
【解析】∵,∴有,则,必有,
∴,解得.故答案为：


考点10：对数函数
【题组一 定义辨析】
1．下列函数是对数函数的个数 。
① ② ③ ④
【答案】1
【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有④符合.

2．已知对数函数，则______。
【解析】由对数函数的定义，可得，解得。故答案为：．

3．若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为______．
【解析】由对数函数的定义结合题意可知：，据此可得：.
4．函数 为对数函数，则等于 。
【解析】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以，，所以．

5．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为 。
【答案】（3，4）∪（4，+∞）
【解析】由函数的解析式可得，解得34．．

【题组二 定义域】
1．函数的定义域是 。
【解析】由，得，即，所以.

2．函数的定义域为 。
【解析】由题意得．

3．函数的定义域为 。
【答案】
【解析】要使函数有意义，只需，，由函数在是减函数，所以，得.
4．函数的定义域是 。
【答案】
【解析】函数，令，解得且；所以的定义域是．

5．已知函数 ，则它的定义域是______.
【解析】函数 的定义域满足： 解得

6．使有意义的的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意得：，解得：且，故填：．

7．函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
【答案】
【解析】∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈ (k∈Z)
8．设函数f(x)=ln，则函数g(x)= f()+ f()的定义域_____________.
【解析】要使函数有意义，则需，
则所求定义域为：

9．如果函数是奇函数，则的定义域是_____________.
【答案】
【解析】函数是奇函数，，
，，令，解得，
∴的定义域是．故答案为：．

10．函数的定义域为________.
【答案】
【解析】要使原式有意义，则，解得x∈．故答案为：．

11．设函数，则函数的定义域是________
【答案】
【解析】由1﹣x2＞0，可得﹣1＜x＜1．∴f（x）的定义域为（﹣1，1），
由﹣11，得﹣1＜x＜3．∴函数的定义域是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．
12．函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】由题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，当k＝0时，1＞0恒成立，
当k≠0时，，解可得，0＜k＜4，综上可得，k的范围[0，4）．

13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【解析】由题意，函数的定义域为，
即在上恒成立，
由，解得，
当时，不等式可化为在恒成立；
当时，不等式可化为，解得，不符合题意，舍去；
当时，即时，则满足，
即，解得或，
综上可得，实数的取值范围是．

【题组三 单调性】
1．函数的单调递增区间为 。
【解析】由可得或，∴函数的定义域为．
设，则在上单调递减，又函数为减函数，
∴函数在上单调递增，∴函数的单调递增区间为．

2．函数的单调递减区间是 。
【解析】由题意，令，得或，即函数的定义域为.
设，可得函数在递减，在递增，
又由在上递减，根据复合函数的单调性，可得在递减..

3．函数在定义域上单调递增，则a的取值范围是______
【解析】由题意，函数在上是单调递增的，
故当时，恒成立，所以，解得：，
且内外函数的单调性一致，结合对数函数的底数且
可得函数一定为增函数，故外函数也应为增函数，即，
综合可得，即实数a的取值范围是．故答案为：．

4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 。
【解析】令t＝x2﹣ax﹣3a3a，则由题意可得函数f（x）＝log2t，
函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．∴，求得﹣4≤a＜4，

5．不等式的解是________.
【解析】由，得，即，即，
由于函数是上的增函数，所以，解得.
因此，不等式的解是.故答案为：.
6．关于的不等式的解集为______.
【解析】由，得，解得.
∴不等式的解集为.

7．若，则的取值范围是 。
【解析】当a＞1时，，所以，所以a＞1；
当0＜a＜1时，，所以，所以.综合得

8.已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为 。
[解析]∵c＝log＝log23>log2e＝a，所以c＞a.因为b＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，∴a＞b.∴c＞a＞b.

9.若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则a，b，c的大小关系为 。
【解析】依题意，得a>1,01，得c<0，故a>b>c.

10．设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_______.
【解析】因为，
所以为奇函数，且定义域为R.又因为函数在上为增函数
所以在上为减函数，
从而在R上为减函数.于是等价于
，所以，即.
因为，所以，所以，解得.故答案为:.
【题组四 值域】
1． 函数的值域为 。
【解析】∵3x+1＞1∴log2（3x+1）＞0∴f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+∞）

2．函数的值域为R，则实数的取值范围是________
【解析】函数的值域为R，，解得或
故答案为:

3．函数的值域是______.
【解析】，因为，是减函数，所以，所以函数的值域是.故答案为：

4．函数的值域为________．
【答案】
【解析】由可得,所以函数的定义域为,
令,因为,所以,
所以,所以函数的值域为:.故答案为:.

5．函数的值域为_________.
【答案】
【解析】当时，；当时，，故函数的值域为.

6．已知且，若函数的值域为，则的取值范围是____
【答案】
【解析】且，若函数的值域为，
当时，，所以，可得，故答案为．

7．已知函数的定义域、值域都是，则__________．
【答案】或.
【解析】当时，易知函数为减函数，
由题意有，解得：，符合题意，此时；
当时，易知函数为增函数，
由题意有，解得，符合题意，此时.
综上可得：的值为或.故答案为：或.

8．若函数的值域为，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】因为函数的值域为，所以是值域的子集，
当时，，显然不符合，
当时，则需满足，所以.
综上可知：的取值范围是.故答案为：.

9．函数在上恒为正，则实数的取值范围是 ．
【解析】函数在恒为正,
所以，当时，可得即在恒成立，应满足或解得当时，,恒成立，此时显然无解
综上，实数的取值范围是

10．已知函数在区间上恒有，则实数a的取值范围是______．
【解析】函数在区间上恒有，
，且 ；或，且．解得a无解或，故答案为．

11．若函数且的值域为，则实数的取值范围是_____.
【解析】当时，，当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时等号成立，即，即的值域为.
因为函数且的值域为，所以，解得.
故答案为：.
12．已知函数在时恒取负值，求实数a的取值范围 .
【解析】要使函数在x∈[1，2]上恒为负值，只需在x∈[1，2]上恒成立即可．①若在x∈[1，2]上恒成立，
∵函数f（x）在[1，2]递减，∴只需f（2）＝1﹣2+a＞0，可得a＞1；
②若1在x∈[1，2]上恒成立，
∵函数f（x）在[1，2]递减，∴只需f（1）1，可得a
综上，实数a的取值范围为（1，）．

【题组五 定点】
1．函数的图象恒过定点M,则M的坐标为 。
【解析】令,则,故M的坐标为（0,3）.

2．函数的图象恒过定点 。
【解析】令2x-3=1得x=2, ,故过点．

3．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 。
【解析】令，则可得：，据此可得：
点在直线上，故：，则：
.
当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值为.
4．函数（且）的图象经过的定点坐标为__________.
【解析】，取时，，即过定点故答案为：

【题组六 图像】
1．且）是增函数，那么函数的图象大致是 。
A．B．C． D．
【解析】∵可变形为，若它是增函数，则，
，∴为过点（1，0）的减函数，∴为过点（1，0）的增函数，
∵图象为图象向左平移1个单位长度，
∴图象为过（0，0）点的增函数，故选D．

2．已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是 。
A． B．
C． D．
【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，
f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3）•g（3）＜0可排除A.故选：C．
3．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意， ，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.

4．如图，曲线，，，分别对应函数，，，的图象，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作直线，它与各曲线，，，的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：.故选：A

5．已知函数f（x）=loga（2x+b-1）的部分图像如图所示，则a,b所满足的关系为（ ）

A．0 C．0 【解析】因为是增函数，且函数f（x）=loga（2x+b-1）的图象呈上升趋势，所以又由图象知，所以，，故选B．

【题组七 反函数】
1．若函数，则的反函数的定义域是__________.
【解析】因为函数的值域为，所以的反函数的定义域是.

2．已知函数的图象经过点，则_______．
【解析】因为函数的图象经过点，所以，即，
，，即

3．设函数的反函数为,若,则实数________.
【答案】
【解析】 ,,,解得,故答案为：.

4．函数的反函数为，则______.
【解析】令，则，故，又，所以.故答案为：.

【题组八 对数的综合运用】
1．已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）求函数的最小值
【解析】（1）要使函数有意义：则有，解之得：，所以函数的定义域为：（-3，1）
（2）函数可化为
由，得， 即，
，的零点是
（3）函数可化为：
，，，即

2．已知函数．
求的定义域；
求在区间上的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）函数，
，即，可得，解得，故函数的定义域为．
（2），，令则，

的值域为.
3．已知，且
（1）当时，解不等式；
（2）在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，解不等式，得，
即， 故不等式的解集为.
（2）由在恒成立，得在恒成立，
①当时，有，得，
②当时，有，得，
故实数的取值范围.

4．已知函数.
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）函数的定义域为，
即在上恒成立。
当时，得或.
当时，显然在上不能恒成立，故舍去；
当时，恒成立；
当，即时，则.解得或.
综上可得，实数的取值范围为.
（2）设的值域为，
的函数值要取遍所有的正数，
即是值域的子集.
当时，得或.
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，函数为二次函数，
即函数的图象与轴有交点且开口向上，
则，解得.
综上可知，实数的取值范围为

5．已知函数
(1)讨论函数的定义域；
(2)当时，解关于x的不等式：
(3)当时，不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）0＜x＜1（3）m＜﹣log23
【解析】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．
当a＞1时，x＞0；
当0＜a＜1时，x＜0．
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．
（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则，所以11．
因为a＞1，所以loga（1）＜loga（1），即f（x1）＜f（x2）．
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）＜f（1）；
∴ax﹣1＜a﹣1，
∵a＞1，
∴x＜1，
又∵x＞0，
∴0＜x＜1；
（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是单调增函数，
∴g（x）min＝﹣log23，
∵m＜g（x），
∴m＜﹣log23．

6．已知函数，
（1）当时，求该函数的最值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值；最大值0； （2）
【解析】（1）：
令，则函数化为
因此当时，取得最小值
当时，取得最大值0
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0.
（2）恒成立，
即恒成立
令，则恒成立
令
则，即，
解得∴实数的取值范围.

7．已知函数，函数．
（1）求函数的最小值.
（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得
，取等号时，的最小值为．
（2）由不等式对任意实数恒成立得，
又
设则，
∴，
∴当时，．
∴，
即，
整理得，即，
解得，∴实数的取值范围为．
8．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并给出证明;
(2)判断函数在上的单调性;
(3)解不等式:.
【解析】(1)函数为奇函数.
证明如下:由,解得或,
所以函数的定义域为.
对任意的,有,
所以函数为奇函数.
(2)令,易知在区间单调递减,
由复合函数的单调性可得在区间单调递减;
(3)由;
所以,
等价于,，．
∴.

9．设函数.
（1）求出函数的定义域；
（2）若当时，在上恒正，求出的取值范围；
（3）若函数在上单调递增，求出的取值范围.
【解析】（1）由题知且.
当时，，所以不等式解集为.
当时，，所以不等式解集为.
综上所述，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
（2）当时，定义域为，令，
则在单调递减，所以.
又.
因为在上恒正，所以，即，解得.
（3）任取，满足.
二次函数的对称轴，
所以在上单调递增，即.
当时，，即，不满足题意舍去.
当，且时，，即，
所以当在上单调递增.

10．已知函数.
(1)若函数的定义域为，求的取值范围；
(2)设函数.若对任意，总有，求的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为，即在上恒成立.
当时，恒成立，符合题意；当时，必有.
综上，的取值范围是.
(2)∵，
∴.对任意，总有，等价于
在上恒成立
在上恒成立.
设，则（当且仅当时取等号）.
，在上恒成立.
当时，显然成立.
当时，在上恒成立.
令，.只需.
∵在区间上单调递增，∴.
令 .只需.
而，且∴.故.
综上，的取值范围是.
对数函数的综合应用
【例】在函数f（x）= (x2－2ax+3)中．
(1) 若其在［－1，+∞)内有意义，求实数a的取值范围；
(2) 若其在(－∞，1］内为增函数，求实数a的取值范围．
【解析】（1）命题等价于“u=g（x）=x2-2ax+3>0对x∈［-1，+∞)恒成立”．
对函数g(x)的对称轴x0=a进行讨论有：
解得∴实数a的取值范围是(-2，)．
（2） 令g(x)=x2-2ax+3，原命题等价于
于是有解得实数

巩固1.已知函数f(x)=log12(x2-2ax+3)．
(1)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值；
(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为(-∞,-1],求实数a的值；
(3)若函数f(x)在(-∞,1]上为增函数,求实数a的取值范围．
【解析】(1)令u(x)=x2-2ax+3,由题意可得u(x)=x2-2ax+3>0的解集为(-∞,1)∪(3,+∞),
将1代入u(x)=x2-2ax+3,故可得1-2a+3=0,即a=2．
(2)由题意,对于函数u(x),△=(-2a)2-4×1×3<0,即-3 由函数f(x)的值域可得当x=-2a-2=a时,有f(a)=-1,解得a=1或-1．
(3)函数f(x)在(-∞,1]上为增函数,则u(x)在(-∞,1]上为减函数,
所以对于函数u(x),有对称轴x=a≥1,并且当x=1时,有u(x)min=u(1)=1-2a+3>0,即a<2,
所以a的取值范围是1≤a<2．

巩固2.设f(x)=log21-axx-1-x为奇函数,a为常数．
(1)求a的值；
(2)判断并证明函数f(x)在x∈(1,+∞)时的单调性；
(3)若对于区间[2,3]上的每一个x值,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m取值范围．
【解析】(1)由条件得：f(-x)+f(x)=0,∴log21+ax-x-1+log21-axx-1=0,
化简得(a2-1)x2=0,因此a2-1=0,a=±1,当a=1时,1-xx-1=-1<0,不符合题意,因此a=-1.  
经检验,a=-1时,f(x)是奇函数．
(2)判断函数f(x)在x∈(1,+∞)上为单调减函数；
证明如下：设1 f(x1)-f(x2)=log2x1+1x1-1-x1-log2x2+1x2-1+x2=log2x1+1x1-1⋅x2-1x2+1+(x2-x1),
∵10,x1±1>0,x2±1>0,
∵(x1+1)(x2-1)-(x1-1)(x2+1)=x1x2-x1+x2-1-x1x2-x1+x2+1=2(x2-x1)>0,
又∵(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,
∴x1+1x1-1⋅x2-1x2+1>1,log2x1+1x1-1⋅x2-1x2+1>0,
又x2-x1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在x∈(1,+∞)上为单调减函数；
(3)不等式为m ∵f(x)在x∈[2,3]上单调递减,2x在x∈[2,3]上单调递增,∴f(x)-2x在x∈[2,3]上单调递减,
当x=3时取得最小值为-10,∴m∈-∞,-10．

3.（拔高题）已知f（x）=．是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：①定义域为R的奇函数；②在[1，+∞）上是减函数；③最小值是－1．若存在，求出p、q、m；若不存在，说明理由．
【解析】假设存在，由f（x）是奇函数Þf（0）=0Þq=1．
又f(-x)= -f(x)得(x2+1)2-p2x2= (x2+1)2-m2x2Þp2=m2．
若p=m，则f（x）=0，不合题意．故p= -m≠0．∴f（x）= ．
由f（x）在[1，+∞）上是减函数，令g（x）== 1－ = 1－．
因在[1，+∞）上递增，在（－∞，－1]也递增，只有m＞0时，在[1，+∞）上g(x)递增，从而f(x)递减．于是，x= －1时，在（－∞，－1]上取得最大值－2，此时由f(x)的最小值为－1，得g（x）的最大值为3．
从而，1－=3Þm=1Þp= －1Þ p= －1，q=1，m=1．
所以存在实数p、q、m，其中p=－1，q=1，m=1．