高三数学 函数专题复习 八 函数的周期和对称

专题八  周期性

模块一、思维导图

(1)周期函数

对于＝函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

注1：函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

注2：函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x，

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

模块二、考法梳理

考点一：利用周期求值

1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，

f(x)＝6－x，则f(919)＝________.

【解析】∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，

∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.

2.已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为     。

【解析】由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，∴f(x)是以5为周期的周期函数，

∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．

∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，

∴f(－1)＝2－1－1＝－，∴f(1)＝，∴f(16)＝.

3.f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝        。

【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．

由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.

又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.

又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，

f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.

4.已知函数f（x），则f（2019）＝       。

【解析】，当时，，

则.

5.已知函数满足，，，则    。

【解析】取，代入，

得，解得，

则当，时， ，解得；

当，时， ，解得；

当，时， ，解得；

当，时， ，解得；

当，时， ，解得；

当，时， ，解得；

是周期为的周期函数，余．

6．已知函数满足，，则等于    。

【答案】3

【解析】

则是以8为周期的周期函数.

所以．

7．函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则       。

【答案】1

【解析】将用替换，用替换，

由对任意实数，都有，

可得，由，

所以，即，

所以，所以函数的周期，

令，则，因为，

所以， 所以，

考点二：利用周期求解析式

1．设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为______________

【答案】

【解析】∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）＝x，

∴x∈[﹣2，﹣1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，

此时f（x）＝f（4+x）＝4+x，x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，2﹣x∈[2，3]，

此时f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，

综上可得：x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|故答案为：

2．已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为________.

【答案】

【解析】 即可改写为:

设 得:  

可得: 则函数的周期,即可改写为:

设得:由于时，，

任取则，所以.

任取，则，

而        (可将中变为即可得到此式)

所以函数解析式为.故答案为:.

考点三：利用周期比大小

1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)

A．0<f(1)<f(3)         B．f(3)<0<f(1)        C．f(1)<0<f(3)           D．f(3)<f(1)<0

【解析】由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.

由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．

又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．选C

2．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1<x2时，都有>0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(17)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A．a<b<c       B．b<a<c      C．a<c<b        D．c<b<a

【解析】由①知函数f(x)在区间[4,8]上单调递增．由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，所以b＝f(11)＝f(3)，c＝f(17)＝f(2×8＋1)＝f(1)．由③可知f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数f(x)在区间[4,8]上单调递增，所以f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c.选B

3.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列不等式正确的是(    )

A． B．

C． D．

【解析】由，得，所以，的周期.又，且有，所以，.又，所以，即，因为时，，

所以

又，所以，所以，

所以.故选：C.

考点四：函数的奇偶性与周期性的综合应用

【例1】定义在R上奇函数f(x)最小正周期4，x∈(0，2)时，f(x)＝．求f(x)在[－2，2]上解析式

【解析】当－2＜x＜0时，0＜－x＜2，f(－x)＝＝，

又f(x)为奇函数，∴ f(x)＝－f(－x)＝－．

当x＝0时，由f(－0)＝－f(0)f(0)＝0，

∵ f(x)有最小正周期4，∴ f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)f(－2)＝f(2)＝0．

综上，f(x)＝

【例2】（2019·江苏卷）设，是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数当时，，其中若在区间上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是______．

【解析】作出函数与的图象如图，

由图可知，函数与仅有2个实数根；
要使关于x的方程有8个不同的实数根，

则，与，的图象有2个不同交点，
由到直线的距离为1，得，解得，
两点，连线的斜率，．

巩固1.若是周期为2的奇函数,当时,,则______．

【解析】是周期为2的奇函数,
可得,,
则,
由当时,,
可得,
则

巩固2.奇函数周期为4,且,,则的值为______．

【解析】函数是奇函数,则,
由,知,,
又的周期为4,
所以．
 

巩固3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．

【解析】∵f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．

∵f(x)在[0，2]上是增函数，∴f(x)在[－2，2]上是增函数，

在[2，6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象，

其图象也关于x＝－6对称，

∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8．

巩固4.（拔高题）设函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足：

① f(x1-x2)= (x1≠x2)；② 存在正常数a，使得f(a)=1．

求证：（1） f（x）是奇函数；

（2） f（x）是周期为4a的周期函数．

【解析】（1）令x=x1－x2，则

f（－x）=f（x2－x1）==－f（x1－x2）=－f（x），

∴f（x）为奇函数．

（2） ∵f（x+a）=f［x－（－a）］=，

∴f（x+2a）=1－1－1－=－，

∴f（x+4a）=－．

∴f（x）是周期为4a的周期函数．

考点7：对称轴

模块一、思维导图

模块二、考法梳理

考点一：对称轴

1．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则    。

【解析】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以，

所以

所以，所以函数的周期是8,

所以.

2．定义在R上的奇函数，满足，在区间上递增，则的大小关系          。

【解析】因为，所以的图象关于直线 对称，

由可知，

又函数是R上的奇函数，所以 ，

所以 ，即函数的周期 ，所以

因为奇函数在区间上递增，所以在上递增，

因为的图象关于直线 对称，所以在上递减，

所以.

3．已知f（x）在（0，2）上是增函数，f（x+2）是偶函数， 的大小关系 。

【解析】因为f（x+2）是偶函数，所以函数关于直线对称，即．

所以，，而f（x）在（0，2）上是增函数，且 ，故．

4．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则    。

【解析】设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得。

5．已知函数y=f(x)的图象与函数y的图象关于原点对称,则f(x)=         .

【解析】设是函数图象上的任意一点，它关于原点的对称点为，

由题意在函数图象上，∴，即．．

考点二：对称中心

1．已知偶函数的图象关于对称，且当时，，则时，＝    .

【解析】偶函数的图象关于对称则

得到，，故周期为4

设，则

2．已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则    .

【解析】函数对任意，都有,

,因此函数的周期，把的图象向左平移1个单位的的图象关于对称，因此函数为奇函数，.

3．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则      .

【解析】因为，故函数的周期为4，则；

而，由可得；

而,解得．

4．已知函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么的对称中心为      .

【解析】函数是定义在R上的奇函数，则其图象关于原点对称

由于函数的图象向左平移一个单位得到函数的图象

则函数的图象关于对称

又因为函数的图象与函数的图象关于直线对称

所以函数的图象关于对称

考点三：综合运用

1．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，都有恒成立；②；③是偶函数．若，，，则，，的大小关系正确的是       .

【答案】

【解析】因为对任意的，都有恒成立，所以函数在上是增函数，由可得，即周期，

因为是偶函数，所以，即函数对称轴为

所以，，，

根据函数在上是增函数可知.

2．已知函数，则   

A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减

C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称

【解析】，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．

3．已知函数，若，则    .

【解析】函数，可得.

从而有：.

所以由，可得.

4．已知函数是定义在R上的偶函数，对任意都有，当，且时，，给出如下命题：

①；      ②直线是函数的图象的一条对称轴；

③函数在上为增函数；    ④函数在上有四个零点.

其中所有正确命题的序号为        .

【解析】①令，则由，函数是定义在上的偶函数，

可得：，故，故①正确

②由可得：，故函数是周期等于6的周期函数

是偶函数，轴是对称轴，故直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确

③当，且时，，故在上为增函数

是偶函数，故在上为减函数，函数是周期等于6的周期函数

故在上为减函数，故③错误

④函数是周期等于6的周期函数

故函数在上有四个零点，故④正确

综上所述，则正确命题的序号为①②④