江西省信丰中学2020届高三数学上学期周考11理A层13班2（含解析） 试卷

江西省信丰中学2020届高三数学上学期周考11（理A层）（13班）

一、单选题（50分）

1．若且，则下列不等式成立的是（   ）

A． B． C． D．

2．已知等比数列的前n项和为，且，，则=（  ）.

A．90 B．125 C．155 D．180

3直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　)

A．   B．

C．∪   D．∪

4．已知等比数列{an}的前n项和，则实数t的值为（）

A．4 B．5 C． D．0

5已知P(x0，y0)是直线L：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　)

A．过点P且与L垂直的直线 

B．过点P且与L平行的直线

C．不过点P且与L垂直的直线

D．不过点P且与L平行的直线

6．已知数列的通项公式，设其前项和为，

则使成立的自然数有（）

A．最大值15       B．最小值15      C．最大值16     D．最小值16

7．不等式的解集为，则（    ）

A． B．           C． D．

8．已知变量，满足约束条件，则的最小值为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

9．数列中，是方程的两根，

则数列的前项和（）

A．          B．           C．          D．

10．设是函数的导数， 是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，

且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，

则（   ）

A．5    B．6    C．7    D．8

二、填空题（20分）

11．若不等式解集为，则m的取值范围是         ．

12．已知点是不等式组，所表示的平面区域内的一个动点，点，为坐标原点，则的最大值是        .

13．已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为____       ．

 14如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；

④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.

三、解答题(36分)

15.(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.

 (1)求证：EF⊥平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

16．（本小题满分12分）

过点的直线与抛物线C：交于A、B两点，以A、B两点为切点分别作抛物线C的切线、，且与相交于点．

（1）求的值； 

（2）设过点、的直线交抛物线C于、两点，求四边形AMBN面积的最小值．

17．(本小题满分12分)设函数．

(1)若是函数的一个极值点，试求的单调区间；

(2)若，是否存在实数a，使得在区间上的最大值为4?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年高三（13）班数学周考11（理）参考答案

1．D.2．C3．B4．B5．D6．D7．B8．C 9D 10 D

  11．   12．    13．

14解析：由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，

所以四边形ABED为平行四边形，

所以BE＝AD，折叠后如图所示．

①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.

因为M，N分别是AD，BE的中点，

所以点P为AE的中点，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，

所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，

所以AE⊥MP，AE⊥NP，

又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，

又MN⊂平面MNP，

所以MN⊥AE，②正确；

③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，

从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；

④当EC⊥ED时，EC⊥AD.

因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，

所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，

所以EC⊥AD，④正确．

答案：①②④

15.[解]　(1)证明：在梯形ABCD中，设AD＝CD＝BC＝1，

∵AB∥CD，∠BCD＝，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－

2AB·BC·cos＝3.

∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC.

∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，

∴AC⊥平面BCF.

∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.

(2)由(1)，以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ(0≤λ≤)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，

∴＝(－，1,0)，＝(λ，－1,1)，

设平面MAB的法向量为n1＝(x，y，z)，

则即

令x＝1，则n1＝(1，，－λ)，为平面MAB的一个法向量．

易知n2＝(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，

设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，

则cosθ＝＝

＝.

∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，

∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.

16．解析：本题考察阿基米德三角形，极点与极线的性质．

（1），，．                                     （4分）

（2），．               （8分）

设AB与MN的夹角为，，，

故，当且仅当时取“=”

17．解：（1）函数的定义域为（0,+∞）

=

∵x=1是函数的一个极值点，∴=0，即b=a+1………．2分

=

①当时，令>0得0<x<1,令<0得x>1，

故f(x)的增区间为(0,1),减区间为（1,+∞）；……………………．3分

②当时，令>0得0<x<1或x>,令<0得1<x<。

故的增区间为（0,1），减区间……………………．．4分

③当时，不符合题意；……………………．．5分

④当时，令>0得0<x<或x>1，令<0得

故的增区间为减区间……………………．．6分

（2）当时，=

∵,∴当，故为减函数 

∴当，最大值为,()中的较大者………………8分

设，

<0，∴=1->0

即在区间上为增函数，∴即>()

∴,

故存在实数,使得在区间上的最大值为4．…………………12分