江西省信丰中学2020届高三数学上学期第五次周考理A层13班2（含解析） 试卷
展开江西省信丰中学2020届高三数学上学期第五次周考（理A层）（13班）
一选择题（50分）
单调增区间为（ ）
A.B.
C. D.
2已知函数的图像经过点和，当时，方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C.D.
3．已知，，若成立，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数，若有8个不相等的实数根，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
5已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
6如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图像大致为( )
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝( )
A. B.
C. D．1
9已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
10．如图，,是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则(e为椭圆的离心率)，的最小值为
A． B． C． D．
二填空题（20分）
11.设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
12.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则______
13在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
14设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且．若△ABC的面积S=10，则△ABC的周长为 ．
三。解答题（36分）
15平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应的参数与曲线交于点.
（1）求曲线,的普通方程；
（2）是曲线上的两点, 求的值.
16．(12分) 如图在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．
（1）证明：b+c=2a；
（2）若点O是△ABC外一点，设∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，当b=c时，求平面四边形OACB面积的最大值．
17已知函数f(x)＝ex＋m－x3，g(x)＝ln(x＋1)＋2．
(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为1，求实数m的值；
(2)当m≥1时，证明：f(x)＞g(x)－x3．
2019年高三（13）班第五次数学周考卷参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | B | D | B | A | B | B | B | C | B | A |
10．A【解析】连接，，因为点为线段的中点，所以，
由椭圆的定义得，由，得，
解得，，所以
（当且仅当时等号成立），故选A．
11.2
12
13
14.10
15（1）将及时对应的参数,, 代入得,
所以的方程为,设圆的半径,则圆的方程为(或),将点代入得: 圆的方程为:( 或).
16（1）证明：∵，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a；
（2）解：∵b+c=2a，b=c，
∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形，
∴S△OACB=S△OAB+S△OBC==sinθ+
==．
∵0＜θ＜π，
∴，
当且仅当，即时取最大值，最大值为．
17[解] (1)因为f(x)＝ex＋m－x3，
所以f′(x)＝ex＋m－3x2．
因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为1，
所以f′(0)＝em＝1，解得m＝0．
(2)证明：因为f(x)＝ex＋m－x3，g(x)＝ln(x＋1)＋2，
所以f(x)＞g(x)－x3等价于ex＋m－ln(x＋1)－2＞0．
当m≥1时，ex＋m－ln(x＋1)－2≥ex＋1－ln(x＋1)－2．
要证ex＋m－ln(x＋1)－2＞0，
只需证明ex＋1－ln(x＋1)－2＞0．
设h(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－2，则h′(x)＝ex＋1－．
设p(x)＝ex＋1－，则p′(x)＝ex＋1＋＞0，
所以函数p(x)＝h′(x)＝ex＋1－在(－1，＋∞)上单调递增．
因为h′＝e－2＜0，h′(0)＝e－1＞0，
所以函数h′(x)＝ex＋1－在(－1，＋∞)上有唯一零点x0，且x0∈．
因为h′(x0)＝0，所以ex0＋1＝，
即ln(x0＋1)＝－(x0＋1)．
当x∈(－1，x0)时，h′(x)＜0，
当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＞0，
所以当x＝x0时，h(x)取得最小值h(x0)，
所以h(x)≥h(x0)＝ex0＋1－ln(x0＋1)－2
＝＋(x0＋1)－2＞0．
综上可知，当m≥1时，f(x)＞g(x)－x3．
