江西省信丰中学2020届高三数学上学期第一次周考理A层13班2（含解析） 试卷
展开江西省信丰中学2020届高三数学上学期第一次周考（理A层）（13班）
一．选择题（50分）
1．设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图像的对称轴方程是( )
A．x＝－1 B．x＝－
C．x＝ D．x＝1
3若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝( )
A．2 B．0
C．1 D．－1
4若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
5已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)<f(11)<f(80)
B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25)
D．f(－25)<f(80)<f(11)
6函数y＝的图像大致是( )
7已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1,2) D．(－2,1)
8．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
9已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
10已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
二．填空题
11设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．
12已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
13已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．
三．解答题
14在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
15在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
2019-2020年高三上学期高三（13）班第一次周考试卷（理A）
命题人：
二．选择题（50分）
1．设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的( A )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图像的对称轴方程是( c )
A．x＝－1 B．x＝－
C．x＝ D．x＝1
3若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝( A )
A．2 B．0
C．1 D．－1
4若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
5已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( D )
A．f(－25)<f(11)<f(80)
B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25)
D．f(－25)<f(80)<f(11)
6函数y＝的图像大致是( c )
7已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( D )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1,2) D．(－2,1)
8．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B 因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；
因y＝lg x
y＝lg(x＋1)
y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图
象可知函数存在最小值为0.
所以①②正确．
9已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m的值为( D )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
10已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
解析：选A 当0<x<1时，f(x)＝－a＝－a；
1≤x<2时，f(x)＝－a＝－a；
2≤x<3时，f(x)＝－a＝－a；….
f(x)＝－a的图像是把y＝的图像进行纵向平移而得到的，画出y＝的图像，如图所示，通过数形结合可知a∈∪.
二．填空题
11设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．
－3或
12已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．答案：5
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图像，由图像知零点的个数为5.
13已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．
解析：设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减．∵f(x2)<＋，∴f(x2)－<f(1)－，∴F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，∴x2>1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
三．解答题
14在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为.
15在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
