江西省信丰中学2020届高三数学上学期第二次周考理A层13班2（含解析） 试卷

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第二次周考（理A层）（13班）

一选择题（50分）

1设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)

A.   B.

C．－   D．－

2要得到函数y＝sin 的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像(　　)

A．向左平移个单位   B．向右平移个单位

C．向左平移个单位   D．向右平移个单位

3若函数y＝cos(ω∈N*)图像的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)

A．1   B．2

C．4   D．8

4设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0,1)   B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)   D．(0,1)∪(1，＋∞)

5已知函数，若，且，则（    ）

A.     B.     C.     D. 随值变化

6若函数f(x)＝sin(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图像关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝(　　)

A.   B.

C.   D.

7．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝(　　)

A.   B.

C.   D．1

8函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

9已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)

A.    B.

C．π   D．2π

10已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)

A．f(2)＜f(－2)＜f(0)   B．f(0)＜f(2)＜f(－2)

C．f(－2)＜f(0)＜f(2)   D．f(2)＜f(0)＜f(－2)

二填空题（20分）

11．已知函数f(x)＝sin，其中x∈.当α＝时，f(x)的值域是______；若f(x)的值域是，则a的取值范围是______．

12已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．

13已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．

14已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为                 ．

三。解答题（46分）

15（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），

以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）若，求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.

16（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:，直线过点，且倾斜角为.

（Ⅰ）写出曲线的平面直角坐标方程和直线的参数方程； 

（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线,直线与曲线分别交于,若,,成等比数列，求的值．

17（13分）已知函数为常数），曲线在与轴的交点 处的切线斜率为.

（1）求的值及函数的单调区间；

（2）若，且，试证明： .

18（本小题满分13分）设函数，其中，是自然对数的底数.

（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）若，证明：.

2019高三（13）班第二次周考试卷参考答案

5．A【解析】不妨设 ，则令 ，则 或 ；故
故

故选A．

6解析：选A　由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，而x0∈，所以x0＝.

7解析：选C　由题意得函数f(x)的周期T＝2＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点代入上式得sin＝1，所以φ＝，所以f(x)＝sin，于是f＝sin＝cos＝.

8解析：选D　由图像知，周期T＝2＝2，

∴＝2，∴ω＝π.

由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，

不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.

由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，

得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，

∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D.

9解析：选C　由题意得函数f(x)＝2sin(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，由正弦函数的图像知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.

10解析：选A　由题意，得T＝＝π，∴ω＝2，

∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，

而当x＝时，2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，

∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，

又φ>0，∴可取f(x)＝Asin.

当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，

即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值．

下面只需判断2，－2,0与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小，

当k＝0时，x＝，≈0.52，≈1.48，

当k＝－1时，x＝－，≈0.6，

二。填空题

11解析：若－≤x≤，则－≤2x＋≤，

此时－≤sin≤1，

即f(x)的值域是.

若－≤x≤α，则－≤2x＋≤2α＋.

因为当2x＋＝－或2x＋＝时，

sin＝－，所以要使f(x)的值域是，

则≤2α＋≤，即≤2α≤π，

所以≤α≤，即α的取值范围是.

11答案：　

12答案：0   13答案：(2,3]  14

三解答题

15、解：（Ⅰ）当时，直线的参数方程为.

所以其普通方程为.  对于曲线，由，得，

所以其直角坐标方程为.

（Ⅱ）由题意得，直线过定点，为其倾斜角，曲线：，表示以为圆心，以1为半径的圆.    当时，直线为，此时直线与圆不相交.

当时，设表示直线的斜率，则：.

设圆心到直线的距离为.   当直线与圆相切时，令，解得或.

则当直线与圆有两个不同的交点时，.  因为，由，可得，   即的取值范围为.

16解：（Ⅰ）由得，        ……….. 1分

又∵，∴曲线的平面直角坐标方程为：………..  3分

直线的参数方程为：                    ………..  5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）曲线：，经过伸缩变换得到曲线的方程为：

  ………..  6分

设这个方程的两个实数根分别为，，则 ………..  8分

由,,成等比数列，得，

由参数的几何意义知，即

所以 ，

又因为，所以。                              ………..  10分

17.(1)由，得，

因为曲线在与轴的焦点A处的切线斜率为，

所以，所以，

所以，

由，得，由，得，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（5分）

所以在上单调递增，

又，所以当时， ，

即，所以，

又因为，所以，

由于，所以，

因为，由（1）知函数在区间上单调递增，

所以，即.   （13分）

18．解：（Ⅰ），．．．．．．．．．．．．1分

是上的增函数等价于恒成立. ．．．．．．．．．．．．2分

令，得，令（）.以下只需求的最大值.

求导得，．．．．．．．．．．．．3分

令，，是上的减函数，

又，故1是的唯一零点，

当，，，递增；

当，，，递减；

故当时，取得极大值且为最大值，

所以，即的取值范围是.．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）.

令（），以下证明当时，的最小值大于0.

求导得.

①当时，，；

②当时，，令，

则，又，

取且使，即，

则，

因为，故存在唯一零点，．．．．．．．．．．．．9分

即有唯一的极值点且为极小值点，又，

且，即，故，

因为，故是上的减函数.

所以，所以.

综上，当时，总有.．．．．．．．．．．．．13分