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    3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域)
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    3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域)

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    备课资料

    一、备用例题

    【例1 设实数xy满足不等式组求点(x,y)所在的平面区域.

    分析:必须使学生明确,求点(x,y)所在的平面区域,关键是确定区域的边界线.可以从去掉绝对值符号入手.

    解:已知的不等式组等价于.

    解得点(x,y)所在平面区域为下图所示的阴影部分(含边界).其中ABy=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.

    【例2 某工厂要安排一种产品生产,该产品有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号,生产这种产品需要两种主要资源:原材料和劳动力,每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示:

                  型号

    货源

    原材料(千克/)

    劳动力(小时/)

    4

    3

    6

    2

    4

    5

    每天可利用的原材料为120千克,劳动力为100小时,假定该产品只要生产出来即可销售出去,试确定三种型号产品的日产量,使总产值最大.

    分析:建立数学模型:

    (1)x 1x 2x 3分别表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的日产量.

    (2)明确约束条件:

    这样,这个资源利用问题的数学模型为满足约束条件的可行域.

    【例3 某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级,各级车工每人每天加工能力,成品合格率如下表所示:

    级别

    加工能力(/人天)

    成品合格率(%)

    240

    97

    160

    95.5

    工厂要求每天至少加工配件2 400个,车工每出一个废品,工厂要损失2元,现有Ⅰ级车工8人,Ⅱ级车工12人,且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工,问如何安排工作?

    解:首先据题意列出线性约束条件和目标函数.设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x,y.

    线性约束条件:

    画出线性约束条件的平面区域如图中阴影部分所示.

    据图知点A(66.3)应为既满足题意,又使目标函数最小.然而A点非整数点.故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点,且与原点最近距离,可知(67)为满足题意的整数解.

    二、阅读材料

    二元一次方程组的图象解法

    看一个二元一次方程y2x3.我们可以列表把这个方程的解表示出来:

    x

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    y

    -3

    -1

    1

    3

    5

    1

    由表中给出的有序实数对(3,-3)(2,-1)(11)(03)(15),就可以在坐标平面内描点、画图〔如图(1)〕.这样得出来的图形就是二元一次方程y2x3的图象.图象上每一个点的坐标,如(3,-3),就表示方程y=2x+3的一个解.

    对比一次函数的图象,不难知道,二元一次方程y2x3的图象就是一次函数y2x3的图象,它是一条直线.引申:

    怎样利用图象解二元一次方程组呢?看下面的例子:

    2

    先在同一直角坐标系内分别画出这两个二元一次方程的图象〔如图(2)〕.

    由方程①,有

    过点(03)(30)画出直线xy3.

    由方程②,有

    过点(0,-5)(0)画出直线3xy5.

    两条直线有一个交点,交点的坐标就表示两个方程的公共解,交点坐标是(21),所以原方程组的解是

    这与用代入法或加减法解得的结果相同.提问

    在解二元一次方程组时,会遇到其中一个方程是x3y2这种形式.

    x3y2的图象是怎样的呢?

    方程x3可以看成x0·y3,

    它的解列出表来是

    x

    3

    3

    3

    3

    y

    -1

    0

    1

    2

    可以看到,无论y取什么数值,x的值都是3,所有表示方程x3的解的点组成一条直线,这条直线过点(30),且平行于y.这条直线就是方程x3的图象,我们把它叫做直线x3〔如图(3).

    同样,方程y2的图象是过点(02),且平行于x轴的一条直线,叫做直线y2〔如图(3).

    (3)

     

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