3-4-1基本不等式的证明）

备课资料

一、课外阅读

算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)

(1)设a1，a2，a3，…，a n为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即，即A≥G,当且仅当a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特别地当n＝2时，,当n＝3时，.

 (2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等.不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤a n，易证a 1＜A＜a n，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a 1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，…，a n－1，a1＋a n－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1＝=A,②两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝∵A(a1＋an－A)－a 1an＝(A－a1)(a n－A),由a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0,则A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa 2a 3…a n－1(a1＋a n－A)＞a1a 2…an－1＋a n.G1＞G.若第二组数全相等，则A1＝G 1，于是A＝A1＝G 1＞G证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn，分别用A1(即A)和b1＋bn－A代替，因为有b1＜A1＜b n且A1＝A.因而第二组数中的A不是最小数b1，也不是最大数bn，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A，经过n－2次替换，新数中至少出现n－2个A，最多经过n－1次替换，得到一个全部是A的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A，而几何平均值不断增大，即G＜G 1＜G2＜…＜G k，而Gk＝Ak＝A，因而G≤A成立.

二、课外拓展

平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，应用极其广泛，如能灵活运用，将产生意想不到的效果，这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料，阅读此四个不等式的证明过程.

平均值定理：设n个正数a1，a2，…，an，记

调和平均

几何平均，

算术平均，

平方平均.

这4个平均有如下关系：Hn≤Gn≤An≤Q n,等号成立的充要条件都是a1=a 2=…=a n.