数学九年级上册第二十四章 圆综合与测试精品综合训练题

这是一份数学九年级上册第二十四章 圆综合与测试精品综合训练题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高分拔尖提优单元密卷


一、选择题


1.（2020•安徽9/23）已知点，，在⊙O上，则下列命题为真命题的是（ ）


A．若半径平分弦，则四边形是平行四边形


B．若四边形是平行四边形，则


C．若，则弦平分半径


D．若弦平分半径，则半径平分弦


【答案】B．


【解析】解：A、如图，





若半径平分弦，则四边形不一定是平行四边形；原命题是假命题；


B、若四边形是平行四边形，


则，，


，


，


，


，是真命题；


C、如图，





若，则弦不平分半径，原命题是假命题；


D、如图，





若弦平分半径，则半径不一定平分弦，原命题是假命题；


故选：B．


2.（2020•福建9/25）如图，四边形内接于⊙O，，为中点，，则等于





A．B．C．D．


【答案】A．


【解析】解：如下图，连接、、，，





，


，


，


，


为的中点，


=，


，


，


，


故选：A．


3.（2020•吉林6/26）如图，四边形内接于⊙O，若，则的大小为





A．B．C．D．


【答案】C．


【解析】解：四边形内接于⊙O，，


，


故选：C．


4.（2020•海南10/22）如图，已知是⊙O的直径，是弦，若，则等于





A．B．C．D．


【答案】A．


【解析】解：是⊙O的直径，


，


，


．


故选：A．


5.（2020•赤峰10/26）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）





A．3πB．4πC．6πD．9π


【答案】D．


【解析】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，


∴BD＝CD，AD⊥BC，


∵EF是AC的垂直平分线，


∴点O是△ABC外接圆的圆心，


∵OA＝3，


∴△ABC外接圆的面积为9π．


故选：D．


6.（2020•陕西9/25）如图，△ABC内接于⊙O，．是边的中点，连接并延长，交于点，连接，则的大小为





A．B．C．D．


【答案】B．


【解析】解：连接，


，


，


是边的中点，


，


，


，


故选：B．





7.（2020•河北14/26）有一题目：“已知：点为△ABC的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆，连接，．如图，由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是





A．淇淇说的对，且的另一个值是


B．淇淇说的不对，就得


C．嘉嘉求的结果不对，应得


D．两人都不对，应有3个不同值


【答案】A．


【解析】解：如图所示：





还应有另一个不同的值与互补．


故．


故选：A．


8.（2020•通辽7/26）如图，，分别与⊙O相切于，两点，，则





A．B．C．D．


【答案】C．


【解析】解：连接、，


，分别为⊙O的切线，


，，


，，


，


由圆周角定理得，，


故选：C．





9.（2020•通辽6/26）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）


A． B．


C． D．


【答案】B．


【解析】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．


故选：B．


10.（2020•包头9/26）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（ ）





A．2πB．4πC．D．π


【答案】D．


【解析】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，


∠AOD+∠DOB＝180°，


∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，


∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，


∵OD＝OC，CD＝4，


∴2OD2＝42，


∴OD＝2，


∴的长是＝π，


故选：D．


二、填空题


11.（2020•青海9/28）已知⊙O的直径为，，是⊙O的两条弦，AB∥CD，，，则与之间的距离为 ．


【答案】1或7．


【解析】解：作于，延长交于，连接、，如图，





∵AB∥CD，，


，


，，


在Rt△OAE中，，


在Rt△OCF中，，


当点在与之间时，如图1，；


当点不在与之间时，如图2，；


综上所述，与之间的距离为或．


故答案为1或7．


12.（2020•宁夏12/26）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．





【答案】26．


【解析】解：由题意可知，


为⊙O半径，


尺寸，


设半径，


，


，


则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：，


解得：，


木材直径为26寸；


故答案为：26．


13.（2020•鄂尔多斯15/24）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是 ．





【答案】2．


【解析】解：如图，





∵△ABC是等边三角形，


∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，


∵BD＝CE，


∴△ABD≌△BCE（SAS）


∴∠BAD＝∠CBE，


又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，


∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，


∴∠AFE＝60°，


∴∠AFB＝120°，


∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），


连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．


故答案为2．


14.（2020•广东17/25）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为 ．





【答案】．


【解析】解：如图，连接，．





由题意，


，，，


，


点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的弧，


当点落在线段上时，的值最小，


的最小值为．（也可以用，即确定最小值）


故答案为．


15.（2020•呼和浩特16/24）已知为⊙的直径且长为，为⊙O上异于，的点，若与过点的⊙O的切线互相垂直，垂足为．①若等腰三角形的顶角为120度，则，②若△AOC为正三角形，则，③若等腰三角形的对称轴经过点，则，④无论点在何处，将△沿折叠，点一定落在直径上，其中正确结论的序号为 ．


【答案】②③④．


【解析】解：①，


，


和⊙O相切，，


，，


，，


，过点作，垂足为，


则，


而，，，


，故①错误；





②若△AOC为正三角形，


，，


，


，，


过点作，垂足为，


四边形为矩形，


，故②正确；





③若等腰三角形的对称轴经过点，如图，


，而，


，又，





，


四边形为矩形，


，故③正确；





④过点作，垂足为，


，，


，


，


，


，


，


，


在△ADC和△AEC中，


，，，


∴△ADC≌△AEC（HL），


，


垂直平分，则点和点关于对称，


即点一定落在直径上，故④正确．





故正确的序号为：②③④，


故答案为：②③④．


16.（2020•青海10/28）如图，在△ABC中，，，，则△ABC的内切圆半径 ．





【答案】1．


【解析】解：在△ABC中，，，，


根据勾股定理，得，


如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为、、，





连接、、，


，，，


，


四边形是矩形，


根据切线长定理，得


，


矩形是正方形，


，


，


，


，


，


解得．


则△ABC的内切圆半径．


故答案为：1．


17.（2020•河北18/26）正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则 ．


【答案】12．


【解析】解：正六边形的一个内角为：，


正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，


正边形一个外角为：，


．


故答案为：12．


18.（2020•兴安盟•呼伦贝尔15/26）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是 度．


【答案】60．


【解析】解：扇形的面积，


解得：，


又，


．


故答案为：60．


19.（2020•呼和浩特11/24）如图，△中，为的中点，以为圆心，长为半径画一弧，交于点，若，，，则扇形的面积为 ．





【答案】．


【解析】解：，，，


又为的中点，


，，


，


，


，


扇形的面积，


故答案为：．


20.（2020•广东16/25）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ．





【答案】．


【解析】解：如图，连接，，，





，，，


∴△ABO≌△ACO（SSS），


，


，


∴△ABO是等边三角形，


，


由题意得，阴影扇形的半径为，圆心角的度数为，


则扇形的弧长为：，


而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：


，


解得，，


故答案为：．


三、解答题


21.（2020•河南22/23）小亮在学习中遇到这样一个问题：


如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当△DCF为等腰三角形时，求线段的长度．





小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：


（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．


操作中发现：


①“当点为的中点时，”．则上表中的值是 ；


②“线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．


（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；


（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．





【答案】见解析．


【解析】解：（1）点为的中点，


=，


，


故答案为：5；


（2）点是线段的中点，


，


，


，


又，


∴△BAD≌△CAF（AAS），


，


线段的长度无需测量即可得到；


（3）由题意可得：





（4）由题意画出函数的图象；





由图象可得：或或时，△DCF为等腰三角形．


22.（2020•天津18/25）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点，均落在格点上，点在网格线上，且．


（Ⅰ）线段的长等于 ．


（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点，若，分别为边，上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明） ．





【答案】见解析．


【解析】解：（Ⅰ）线段的长等于；





（Ⅱ）如图，点，是网格的格点，


取网格的格点，，，，连接，，


即将平移至和，


∴MN∥AC∥，


连接并延长，与相交于点，


连接，与半圆相交于点，连接，


与相交于点，连接并延长，与相交于点，


则点，即为所求．


是直径，


，


∵MN∥AC∥，


，，


，


点、点关于对称，


，


最短．


23.（2020•北京20/28）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．


求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．


作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；


②连接BP．


线段BP就是所求作的线段．


（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；


（2）完成下面的证明．


证明：∵CD∥AB，


∴∠ABP＝ ．


∵AB＝AC，


∴点B在⊙A上．


又∵点C，P都在⊙A上，


∴∠BPC＝∠BAC（ ）（填推理的依据）．


∴∠ABP＝∠BAC．





【答案】见解析．


【解析】解：（1）如图，即为补全的图形；





（2）证明：∵CD∥AB，


∴∠ABP＝∠BPC．


∵AB＝AC，


∴点B在⊙A上．


又∵点C，P都在⊙A上，


∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），


∴∠ABP＝∠BAC．


故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．


24.（2020•陕西25/25）问题提出


（1）如图1，在Rt△ABC中，，，的平分线交于点．过点分别作，．垂足分别为，，则图1中与线段相等的线段是 ．


问题探究


（2）如图2，是半圆的直径，．是上一点，且，连接，．的平分线交于点，过点分别作，，垂足分别为，，求线段的长．


问题解决


（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径，点在⊙O上，且．为上一点，连接并延长，交⊙O于点．连接，．过点分别作，，垂足分别为，．按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设的长为，阴影部分的面积为．


①求与之间的函数关系式；


②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时．室内活动区（四边形的面积．





【答案】见解析．


【解析】解：（1），，，


四边形是矩形，


平分，，，


，


四边形是正方形，


，


故答案为：、、；


（2）连接，如图2所示：


是半圆的直径，，


，，


，


同（1）得：四边形是正方形，


，


在Rt△APB中，，


在Rt△CFB中，，


，


，


即：，


解得：；


（3）①为⊙O的直径，


，


，


，


同（1）得：四边形是正方形，


，，，


将△APE绕点逆时针旋转，得到△，，如图3所示：


则、、三点共线，，


，即，


，


在Rt△ACB中，，


，


；


②当时，，，


在Rt△中，由勾股定理得：，


，


，


解得：，


，


当时．室内活动区（四边形的面积为．








25.（2020•青海23/28）如图，在Rt△ABC中，．


（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作的角平分线交⊙O于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹）


（2）若，，求的长．





【答案】见解析．


【解析】解：（1）如图，Rt△ABC的外接圆⊙O即为所求；





（2）连接，


．


是⊙O的直径，


，


平分，


，


，


，，


，


．


答：的长为．


26.（2020•山西18/23）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的⊙与相切于点，与相交于点，的延长线交⊙于点，连接交于点．求和的度数．





【答案】见解析．


【解析】解：连接，如图：





∵⊙O与相切于点，


，


四边形为平行四边形，


，，


，


，


，


∴△OCB为等腰直角三角形，


，


，


，


．


0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
3.9
2.4
0
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0