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高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 向心力学案设计
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 向心力学案设计，共15页。学案主要包含了学习素养·明目标等内容，欢迎下载使用。
【学习素养·明目标】 物理观念：1.了解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的.2.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.3.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果．
科学思维：1.会应用圆周运动的知识解决实际问题.2.理解匀速圆周运动和一般曲线运动的处理方法．
科学探究：会设计不同实验来探究向心力的大小，并体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用．
一、向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力．
2．公式：Fn＝eq \f(mv2,r)或者Fn＝mω2r.
3．方向
向心力的方向始终指向圆心，由于方向时刻改变，所以向心力是变力．
4．效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力．
二、变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：
(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上．
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向．
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力．(×)
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力．(×)
(3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力．(√)
(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力．(√)
(5)圆周运动中，合外力等于向心力．(×)
2．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力是物体所受的合外力
D．向心力的方向总是不变的
B [做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错误；向心力只改变线速度方向不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错误；向心力的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错误．]
3．如图所示，玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦)，这时球受到的力是( )
A．重力和向心力
B．重力和支持力
C．重力、支持力和向心力
D．重力
B [玻璃球沿碗内壁做匀速圆周运动的向心力由重力和支持力的合力提供，向心力不是物体受的力，故B正确．]
[观察探究]
如图所示，甲图中圆盘上物体随圆盘一起匀速转动；乙图中在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动；丙图中长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球，若给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆．
甲 乙 丙
(1)它们运动所需要的向心力分别由什么力提供？
(2)它们运动所需要的向心力与物体受到的合力有什么关系？
提示：(1)甲图中圆盘上物体所需要的向心力由圆盘对它的指向圆心的静摩擦力提供；乙图中光滑漏斗内的小球做圆周运动的向心力由它所受的弹力和重力的合力提供；丙图中小球做圆锥摆运动的向心力由细绳的拉力和重力的合力提供．
(2)它们运动所需要的向心力与物体受到的合力相等．
[探究归纳]
向心力的理解
(1)向心力：使物体做圆周运动的指向圆心的合力．
(2)向心力的方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小．
(4)向心力的来源
向心力是根据力的作用效果命名的．它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供．
【例1】 下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B．向心力和重力、弹力一样，是性质力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
C [向心力是一个效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力，或是某个力的分力，选项A、B错误；匀速圆周运动所受合外力指向圆心，完全提供向心力，非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力，选项C正确，D错误．]
向心力与合外力的关系
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
1．(多选)如图所示．用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量
D．向心力的大小等于Mgtan θ
BCD [对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A错误，B正确．再根据力的合成求出合力大小，故C、D正确．]
[要点归纳]
1．实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)
2．实验方法：控制变量法
3．实验过程
(1)保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系．
(2)保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系．
(3)保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力Fn与质量m的关系．
4．实验结论
精确的实验表明向心力的大小可以表示为
Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up20(2)r.
【例2】 用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．
(1)本实验采用的科学方法是 ．
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
(2)图示情景正在探究的是 ．
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结果是 ．
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比
[解析] (1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确．
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以选项D正确．
(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项C正确．
[答案] (1)A (2)D (3)C
2．某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素．实验时用手拨动旋臂产生圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力．
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为 ．
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知曲线①对应的砝码质量 (选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量．
甲
乙
[解析] (1)物体转动的线速度v＝eq \f(d,Δt)
由ω＝eq \f(v,r)
计算得出：ω＝eq \f(d,rΔt).
(2)图中抛物线说明向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F＝ma可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量．然后再结合图象中的数据判断是否满足在半径相同的情况下，F∝mω2.
[答案] (1)eq \f(d,rΔt) (2)小于
[要点归纳]
1．向心力大小：Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv，在匀速圆周运动中，向心力大小不变．
2．几种常见的实例如下
3.分析匀速圆周运动向心力的步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝meq \f(v2,r)＝eq \f(4π2mr,T2)，沿切线方向F合2＝0.
(4)解方程求出结果．
【例3】 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小．
思路点拨：①质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零．
②质点到竖直轴OO′间的距离为小球圆周运动的半径．
[解析] (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcs 37°－mg＝0
解得F＝eq \f(mg,cs 37°)＝750 N.
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R
R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝eq \r(\f(gtan 37°,d＋lsin 37°))＝eq \f(\r(3),2) rad/s.
[答案] (1)750 N (2)eq \f(\r(3),2) rad/s
上例中，若转盘角速度变大，则绳子拉力如何变化？绳子与竖直方向的夹角如何变化？
提示：角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大．
匀速圆周运动解题策略
在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节．
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的．
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解．
3．(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)( )
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
BCD [当M有远离轴心运动的趋势时，
有mg＋Fmax＝Mω2rmax，
解得rmax＝eq \f(mg＋Fmax,Mω2)＝0.32 m，
当M有靠近轴心运动的趋势时，
有mg－Fmax＝Mω2rmin，
解得rmin＝eq \f(mg－Fmax,Mω2)＝0.08 m.
故选项B、C、D正确．]
[观察探究]
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景．
(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r还适用吗？
提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动．
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点．公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r仍然适用．
[探究归纳]
匀速圆周运动和变速圆周运动的对比
【例4】 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
D [物块转动时，其向心力由静摩擦力提供，当它匀速转动时其方向指向圆心，当它加速运动时其方向斜向前方，当它减速转动时，其方向斜向后方．故选项D正确．]
1物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是沿半径指向圆心的合力提供向心力.
2物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理.
4．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
CD [如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确．]
1．关于向心力的说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动还受到一个向心力
B．向心力可以是任何性质的力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心
B [力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故A错误；向心力是效果力，可以是任何一种性质的力，故B正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C错误；只有匀速圆周运动中，合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力，故D错误．]
2．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [在光滑水平面上的物体的向心力由绳的拉力提供，由向心力公式F＝mω2l，得选项A、C正确．]
3.如图所示，某物体沿eq \f(1,4)光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对．]
4．如图所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g取10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力大小．
[解析] 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝meq \f(v2,r)
所以FT＝mg＋meq \f(v2,r)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×10＋\f(1×22,1)))N＝14 N
由牛顿第三定律得，小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
[答案] 14 N
对匀速圆周运动向心力的理解
实验：探究向心力大小的表达式
两球相同的物理量
不同的物理量
实验结论
1
m、ω
r
r越大，Fn越大，Fn∝r
2
m、r
ω
ω越大，Fn越大，Fn∝ω2
3
r、ω
m
m越大，Fn越大，Fn∝m
向心力公式的应用
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，Fn＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，Fn＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，Fn＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，Fn＝F合
变速圆周运动及一般曲线运动
匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度特点
线速度的方向不断改变、大小不变
线速度的大小、方向都不断改变
受力特点
合力方向一定指向圆心，充当向心力
合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
公式
Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r都适用
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这个合力叫向心力．
2．利用向心力演示仪，通过控制变量法探究向心力大小的表达式．
3．向心力的大小为Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r，向心力的方向始终指向圆心，与线速度方向垂直．
4．向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个分力，向心力是根据效果命名的力．
5．可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆周运动处理.
【学习素养·明目标】 物理观念：1.了解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的.2.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.3.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果．
科学思维：1.会应用圆周运动的知识解决实际问题.2.理解匀速圆周运动和一般曲线运动的处理方法．
科学探究：会设计不同实验来探究向心力的大小，并体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用．
一、向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力．
2．公式：Fn＝eq \f(mv2,r)或者Fn＝mω2r.
3．方向
向心力的方向始终指向圆心，由于方向时刻改变，所以向心力是变力．
4．效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力．
二、变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：
(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上．
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向．
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力．(×)
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力．(×)
(3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力．(√)
(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力．(√)
(5)圆周运动中，合外力等于向心力．(×)
2．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力是物体所受的合外力
D．向心力的方向总是不变的
B [做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错误；向心力只改变线速度方向不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错误；向心力的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错误．]
3．如图所示，玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦)，这时球受到的力是( )
A．重力和向心力
B．重力和支持力
C．重力、支持力和向心力
D．重力
B [玻璃球沿碗内壁做匀速圆周运动的向心力由重力和支持力的合力提供，向心力不是物体受的力，故B正确．]
[观察探究]
如图所示，甲图中圆盘上物体随圆盘一起匀速转动；乙图中在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动；丙图中长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球，若给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆．
甲 乙 丙
(1)它们运动所需要的向心力分别由什么力提供？
(2)它们运动所需要的向心力与物体受到的合力有什么关系？
提示：(1)甲图中圆盘上物体所需要的向心力由圆盘对它的指向圆心的静摩擦力提供；乙图中光滑漏斗内的小球做圆周运动的向心力由它所受的弹力和重力的合力提供；丙图中小球做圆锥摆运动的向心力由细绳的拉力和重力的合力提供．
(2)它们运动所需要的向心力与物体受到的合力相等．
[探究归纳]
向心力的理解
(1)向心力：使物体做圆周运动的指向圆心的合力．
(2)向心力的方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小．
(4)向心力的来源
向心力是根据力的作用效果命名的．它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供．
【例1】 下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B．向心力和重力、弹力一样，是性质力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
C [向心力是一个效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力，或是某个力的分力，选项A、B错误；匀速圆周运动所受合外力指向圆心，完全提供向心力，非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力，选项C正确，D错误．]
向心力与合外力的关系
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
1．(多选)如图所示．用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量
D．向心力的大小等于Mgtan θ
BCD [对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A错误，B正确．再根据力的合成求出合力大小，故C、D正确．]
[要点归纳]
1．实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)
2．实验方法：控制变量法
3．实验过程
(1)保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系．
(2)保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系．
(3)保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力Fn与质量m的关系．
4．实验结论
精确的实验表明向心力的大小可以表示为
Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up20(2)r.
【例2】 用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．
(1)本实验采用的科学方法是 ．
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
(2)图示情景正在探究的是 ．
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结果是 ．
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比
[解析] (1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确．
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以选项D正确．
(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项C正确．
[答案] (1)A (2)D (3)C
2．某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素．实验时用手拨动旋臂产生圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力．
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为 ．
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知曲线①对应的砝码质量 (选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量．
甲
乙
[解析] (1)物体转动的线速度v＝eq \f(d,Δt)
由ω＝eq \f(v,r)
计算得出：ω＝eq \f(d,rΔt).
(2)图中抛物线说明向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F＝ma可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量．然后再结合图象中的数据判断是否满足在半径相同的情况下，F∝mω2.
[答案] (1)eq \f(d,rΔt) (2)小于
[要点归纳]
1．向心力大小：Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv，在匀速圆周运动中，向心力大小不变．
2．几种常见的实例如下
3.分析匀速圆周运动向心力的步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝meq \f(v2,r)＝eq \f(4π2mr,T2)，沿切线方向F合2＝0.
(4)解方程求出结果．
【例3】 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小．
思路点拨：①质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零．
②质点到竖直轴OO′间的距离为小球圆周运动的半径．
[解析] (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcs 37°－mg＝0
解得F＝eq \f(mg,cs 37°)＝750 N.
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R
R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝eq \r(\f(gtan 37°,d＋lsin 37°))＝eq \f(\r(3),2) rad/s.
[答案] (1)750 N (2)eq \f(\r(3),2) rad/s
上例中，若转盘角速度变大，则绳子拉力如何变化？绳子与竖直方向的夹角如何变化？
提示：角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大．
匀速圆周运动解题策略
在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节．
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的．
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解．
3．(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)( )
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
BCD [当M有远离轴心运动的趋势时，
有mg＋Fmax＝Mω2rmax，
解得rmax＝eq \f(mg＋Fmax,Mω2)＝0.32 m，
当M有靠近轴心运动的趋势时，
有mg－Fmax＝Mω2rmin，
解得rmin＝eq \f(mg－Fmax,Mω2)＝0.08 m.
故选项B、C、D正确．]
[观察探究]
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景．
(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r还适用吗？
提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动．
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点．公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r仍然适用．
[探究归纳]
匀速圆周运动和变速圆周运动的对比
【例4】 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
D [物块转动时，其向心力由静摩擦力提供，当它匀速转动时其方向指向圆心，当它加速运动时其方向斜向前方，当它减速转动时，其方向斜向后方．故选项D正确．]
1物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是沿半径指向圆心的合力提供向心力.
2物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理.
4．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
CD [如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确．]
1．关于向心力的说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动还受到一个向心力
B．向心力可以是任何性质的力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心
B [力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故A错误；向心力是效果力，可以是任何一种性质的力，故B正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C错误；只有匀速圆周运动中，合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力，故D错误．]
2．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [在光滑水平面上的物体的向心力由绳的拉力提供，由向心力公式F＝mω2l，得选项A、C正确．]
3.如图所示，某物体沿eq \f(1,4)光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对．]
4．如图所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g取10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力大小．
[解析] 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝meq \f(v2,r)
所以FT＝mg＋meq \f(v2,r)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×10＋\f(1×22,1)))N＝14 N
由牛顿第三定律得，小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
[答案] 14 N
对匀速圆周运动向心力的理解
实验：探究向心力大小的表达式
两球相同的物理量
不同的物理量
实验结论
1
m、ω
r
r越大，Fn越大，Fn∝r
2
m、r
ω
ω越大，Fn越大，Fn∝ω2
3
r、ω
m
m越大，Fn越大，Fn∝m
向心力公式的应用
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，Fn＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，Fn＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，Fn＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，Fn＝F合
变速圆周运动及一般曲线运动
匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度特点
线速度的方向不断改变、大小不变
线速度的大小、方向都不断改变
受力特点
合力方向一定指向圆心，充当向心力
合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
公式
Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r都适用
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这个合力叫向心力．
2．利用向心力演示仪，通过控制变量法探究向心力大小的表达式．
3．向心力的大小为Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r，向心力的方向始终指向圆心，与线速度方向垂直．
4．向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个分力，向心力是根据效果命名的力．
5．可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆周运动处理.
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