七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.2 数轴综合训练题
展开数轴类专项练(一)
1.已知数轴上有两点A、B,点A对应的数为﹣12,点B在点A的右边,且距离A点16个单位,点P为数轴上一动点,其对应的数为x.
(1)若点P到点A,B的距离相等,求点P对应的数;
(2)是否存在这样的点P,使点P到点A,B的距离之和为20?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由?
(3)点Q是数轴上另一个动点,动点P,Q分别从A,B同时出发,点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,点M为AP的中点,点N在线段BQ上,且BN=BQ,设运动时间为t(t>0)秒.
①分别求数轴上点M,N表示的数(用含t的式子表示);
②t为何值时,M,N之间的距离为10?
2.如图,已知点A,B是数轴上原点O两侧的两点,其中点A在负半轴上,点B在正半轴上,AO=2,OB=10.动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动,到达点B后立即返回,速度不变;动点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度向右运动,当点Q到达点B时,动点P,Q停止运动.设P,Q两点同时出发,运动时间为t秒.
(1)当点P从点A向点B运动时,点P在数轴上对应的数为 .当点P从点B返回向点O运动时,点P在数轴上对应的数为 (以用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时,点P,Q第一次重合?
(3)当t为何值时,点P,Q之间的距离为3个单位?
3.如图,已知数轴上点A表示的数为9,B是数轴上一点,且AB=15.动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,运动时间为t(t>0)秒.
发现:
(1)写出数轴上点B表示的数 ,点P表示的数 (用含t的代数式表示);
探究:
(2)动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P.Q同时出发,问,为何值时点P追上点Q?此时P点表示的数是多少?
(3)若M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点.点P在运动的过程中,线段MN的长度是否发生变化?在备用图中画出图形,并说明理由.
拓展:
(4)若点D是数轴上一点,点D表示的数是x,请直接写出|x+6|+|x﹣9|的最小值是 .
4.阅读理解:
若A,B,C为数轴上三点且点C在A,B之间,若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍,我们就称点C是【A,B】的好点.
例如,如图1,点A表示的数为﹣2,点B表示的数为2.表示1的点C到A的距离是3,到B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点;又如,表示﹣1的点D到A的距离是1,到B的距离是3,那么点D就不是【A,B】的好点,但点D是【B,A】的好点.
知识运用:
(1)若M、N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣6,点N所表示的数为2.
数 所表示的点是【M,N】的好点;
数 所表示的点是【N,M】的好点;
(2)若点A表示的数为a,点B表示的数为b,点B在点A的右边,且点B在A,C之间,点B是【C,A】的好点,求点C所表示的数(用含a、b的代数式表示);
(3)若A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣33,点B所表示的数为27,现有一只电子蚂蚁P从点A出发,以每秒6个单位的速度向右运动,运动时间为t秒.如果P,A,B中恰有一个点为其余两点的好点,求t的值.
5.阅读理解:
点A、B、C为数轴上三点,若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍,我们就称点C是有序点对[A,B]的好点.
例如,如图①,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是有序点对[A,B]的好点;但点C不是有序点对[B,A]的好点.
知识运用:
(1)同理判断:如图①,点B [D,C]的好点,点B [C,D]的好点(两空均填“是”或“不是”);
(2)如图②,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣2,点N所表示的数为4.数轴上数 所表示的点是[M,N]的好点;
(3)如图③,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣40,点B所表示的数为20.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以2个单位每秒的速度向左运动,到达点A停止.
①用含t的代数式表示PB= ,PA= ;
②当t为何值时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?
6.阅读理解:
【探究与发现】
如图1,在数轴上点E表示的数是8,点F表示的数是4,求线段EF的中点M所示的数对于求中点表示数的问题,只要用点E所表示的数﹣8,加上点F所表示的数4,得到的结果再除以2,就可以得到中点M所表示的数:即M点表示的数为:.
【理解与应用】
把一条数轴在数m处对折,使表示﹣20和2020两数的点恰好互相重合,则m= .
【拓展与延伸】
如图2,已知数轴上有A、B、C三点,点A表示的数是﹣6,点B表示的数是8.AC=18.
(1)若点A以每秒3个单位的速度向右运动,点C同时以每秒1个单位的速度向左运动设运动时间为t秒.
①点A运动t秒后,它在数轴上表示的数表示为 (用含t的代数式表示)
②当点B为线段AC的中点时,求t的值.
(2)若(1)中点A、点C的运动速度、运动方向不变,点P从原点以每秒2个单位的速度向右运动,假设A、C、P三点同时运动,求多长时间点P到点A、C的距离相等?
7.已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b,且a,b满足|4a﹣b|+(a﹣4)2=0.
(1)直接写出a、b的值;
(2)P从A出发,以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动,当PA=PB时,求P运动的时间和P表示的数;
(3)数轴上还有一点C对应的数为36,若点P从A出发,以每秒3个单位的速度向C点运动,同时,Q从B点出发,以每秒1个长度的速度向正方向运动,点P运动到C点立即返回再沿数轴向左运动.当PQ=10时,求P点对应的数.
8.如图,数轴上A,B两点对应的数分别为10和﹣3,点P和点Q同时从原点出发,点P以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点Q以每秒3个单位长度的速度先沿数轴负方向运动,到达点B后再沿数轴正方向运动,当点P到达点A后,两个点同时结束运动.设运动时间为t秒.
(1)当t=1时,求线段PQ的长度;
(2)通过计算说明,当t在不同范围内取值时,线段PQ的长度如何用含t的式子表示?
(3)当点Q是BP的中点时直接写出t的值.
9.某校为准备运动会,在一条笔直的跑道上画一段跑道AB,如图,主席台0为原点,A点表示数a米,B点表示数b米,且关于x多项式﹣5x5﹣bx2+2ax3+x+40x2+120x3﹣4不含x的3次项和2次项.
(1)a= ;b= ;AB跑道为 米赛跑跑道.
(2)甲、乙两机器人同时从0出发,甲向A以3米/分速度画线,乙向B以2米/分速度画线,甲、乙两机器人到达终点A、B后,立刻按原速度返回到0点.设两机器人运动时间为t分钟,用含t的式子求出它们从0出发到回到0的过程中,甲、乙两机器人的距离.
(3)在(2)的条件下,t为何值时,两机器人相距60米?并直接写出两机器人相距60米时,各自所在位置所表示的数.
10.如图,点A从原点出发沿数轴向左运动,同时,点B也从原点出发沿数轴向右运动,3秒后,两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍(速度单位:单位长度/秒).
(1)求出点A、点B运动的速度,并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置;
(2)若A、B两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动,几秒时,原点恰好处在点A、点B的正中间?
(3)若A、B两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时,另一点C同时从B点位置出发向A点运动,当遇到A点后,立即返回向B点运动,遇到B点后又立即返回向A点运动,如此往返,直到B点追上A点时,C点立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动,那么点C从开始运动到停止运动,行驶的路程是多少个单位长度?
参考答案
1.解:(1)∵点A对应的数为﹣12,点B在点A的右边,且距离A点16个单位,
∴点B对应的数为4,
∵点P到点A,B的距离相等,
∴x﹣(﹣12)=4﹣x,
∴x=﹣4.∴点P对应的数为﹣4..
(2)当点P在点A左边时,﹣12﹣x+4﹣x=20,
解得:x=﹣14;
当点P在点A,B之间时,PA+PB=16<20,
∴此情况不存在;
当点P在点B右边时,x﹣(﹣12)+x﹣4=20,
解得:x=6.
综上所述:存在这样的点P,使点P到点A,B的距离之和为20,且x的值为﹣14或6.
(3)①当运动时间为t秒时,点P对应的数为6t﹣12,点Q对应的数为4﹣4t,
∵M为AP的中点,点N在线段BQ上,且,
∴点M对应的数为3t﹣12,
点N表示的数为.
②∵MN=10,
∴.
解得:,t2=6.
答:t为或6时,MN距离为10.
2.解:(1)由题意知,点P在数轴上对应的数为:2t﹣2.
当点P从点B返回向点O运动时,点P在数轴上对应的数为:22﹣2t.
故答案是:2t﹣2;22﹣2t;
(2)由题意,得2t=2+t,
解得t=2;
(3)①当点P追上点Q后(点P未返回前),2t=2+t+3.
解得t=5;
②当点P从点B返回,未与点Q相遇前,
2+t+3+2t﹣12=12.
解得,t=;
③点点P从B返回,并且与点Q相遇后,
2+t﹣3+2t﹣12=12
解得 t=
综上所述,当t的值是5或或时,点P、Q间的距离是3个单位.
3.解:(1)设点B表示的数为x,则有:
AB=9﹣x=15
解得:x=﹣6;
∵动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动
∴经t秒后点P走过的路程为5t
∴点P表示的数为:9﹣5t
故答案为:﹣6;9﹣5t;
(2)设点P运动t秒时,在点C处追上点Q,如图
则AC=5t,BC=2t,
∵AC﹣BC=AB
∴5t﹣2t=15
解得:t=5,
∴点P运动5秒时,在点C处追上点Q.
当t=5时,9﹣5t=9﹣25=﹣16.此时P点表示的数是﹣16.
(3)没有变化.
∵M是线段AP靠近点A的三等分点,N是线段BP靠近点B的三等分点,
∴PM=AP,PN=BP.
分两种情况:
①当点P在点A、B两点之间运动时(如图):
∴MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB=10;
②当点P运动到点B的左侧时(如图):
∴MN=MP﹣NP=AP﹣BP=(AP﹣BP)=AB=10
综上所述,线段MN的长度不发生变化,其值为10.
(4)①当x<﹣6时,|x+6|+|x﹣9|=﹣(x+6)﹣(x﹣9)=﹣x﹣6﹣x+9=3﹣2x
∵x<﹣6
∴3﹣2x>15;
②当﹣6≤x≤9时,|x+6|+|x﹣9|=x+6﹣(x﹣9)=15
③当x>9时,|x+6|+|x﹣9|=x+6+x﹣9=2x﹣3
∵x>9
∴2x﹣3>15
综上,当﹣6≤x≤9时,|x+6|+|x﹣9|取得最小值15.
故答案为:15.
4.解:(1)由题意知,数0或6所表示的点是【M,N】的好点;
数﹣4或﹣10所表示的点是【N,M】的好点;
故答案是:0或6,﹣4或﹣10;
(2)设点C所表示的数为c,
依题意得
(3)依题意得,AB=60
①P是【A,B】的好点
②P是【B,A】的好点
③B是【A,P】的好点
④B是【P,A】的好点
答:当时,P,A,B中恰有一个点为其余两点的好点.
5.(1)因为BD=2,BC=1,BD=2BC,所以B是[D,C]好点,但不是[C,D]好点.
(2)因为MN=6,6÷3=2,当为[M,N]好点是,左边距离是右边距离的2倍,所以左边为4个单位,右边为2个,所以这个数是2.
(3)①因为AB=60,PB等于2t,所以AP等于60﹣2t.
②因为P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点,所以分为5种情况讨论,分别如下:
第一种:P为【A,B】的好点,由题意 得,x﹣(﹣40)=2(20﹣x),解得:x=0,t=20÷2=10(秒).
第二种:A为【B,P】的好点,由题意 得,20﹣(﹣40)=2(x﹣(﹣40)),解得:x=﹣10,t=(20﹣(﹣10))÷2=15(秒).
第三种:P为【B,A】的好点,由题意 得,20﹣x=2(x﹣(﹣40)),解得:x=﹣20,t=(20﹣(﹣20))÷2=20(秒).
第四种:A为【P,B】的好点,由题意 得,x﹣(﹣40)=2(20﹣(﹣40)),解得:x=80(舍).
第五种:B为【A,P】的好点.由题意 得,20﹣(﹣40)=2(20﹣x),解得:x=﹣10,t=(20﹣(﹣10))÷2=15(秒).
此种情况点 P 的位置与②中重合,即点 P 为 AB 中点.
综上可知,当 t 为 10 秒、15 秒或 20 秒,P、A 和 B 中恰有一个点为其余两点的好点.
6.解:m==1000;
故答案为:1000;
(1)①点A向右移动的距离为3t,因此点A从数轴上表示﹣6的点向右移动3t的单位后,所表示的数为3t﹣6,
故答案为:3t﹣6,
②当点B为线段AC的中点时,
Ⅰ)当移动后点C在点B的右侧时,此时t<4,如图1,
由BA=BC得,8﹣(3t﹣6)=(12﹣t)﹣8,
解得,t=5>4(舍去)
Ⅱ)当移动后点C在点B的左侧时,此时t>4,如图2,
由BA=BC得,(3t﹣6)﹣8=8﹣(12﹣t),
解得,t=5,
答:当点B为线段AC的中点时,t的值为5秒.
(2)根据运动的方向、距离、速度可求出,
点P、C相遇时间为12÷(2+1)=4秒,
点A、C相遇时间为18÷(3+1)=秒,
点A追上点P的时间为6÷(3﹣2)=6秒,
当点P到点A、C的距离相等时,
①如图2﹣3所示,此时t<4,
由PA=PC得,2t﹣(3t﹣6)=(12﹣t)﹣2t,
解得,t=3;
②当A、C相遇时符合题意,此时,t=,
③当点A在点P的右侧,点C在点P的左侧时,此时t>6,
∵点A追上点P时用时6秒,之后PA距离每秒增加1个单位长度,而PC每秒增加4个单位长度,
∴不存在点P到点A、C的距离相等的情况,
因此:当点P到点A、C的距离相等时,t=3或t=.
7.解:(1)∵|4a﹣b|+(a﹣4)2=0
∴4a﹣b=0,a﹣4=0,
解得a=4,b=16.
答:a、b的值分别为4、16.
(2)设P运动的时间为t1秒,P表示的数为x.
根据题意,得x﹣4=16﹣x,
解得x=10.
3t1=x﹣4=10﹣4=6,
∴t1=2.
答:P运动的时间为2秒,P表示的数为10.
(3)设点P、Q同时出发运动时间为t2秒,则P对应的数为(3t2+4),Q表示的数为16+t2.
根据题意,得
|4+3t2﹣(16+t)|=10
解得t2=1,或t2=11(舍去),
∴3t2+4=7.
当P返回时,设时间为t,则P表示的数为36﹣3t,Q表示的数为+t,
则列出方程36﹣3t+10=+t,
解得t=,
∴P表示的数为.
答:P点对应的数7或.
8.解:(1)当t=1时,P点对应的有理数为1,Q点对应的有理数为﹣3×1=﹣3,
所以PQ=1﹣(﹣3)=4;
(2)①当0<t<1时,P点对应的有理数为t,Q点对应的有理数为﹣3t,PQ=t﹣(﹣3t)=4t;
②当1≤t<3时,P点对应的有理数为t,Q点对应的有理数为3t﹣6,PQ=t﹣(3t﹣6)=﹣2t+6;
③当3≤t≤10时,P点对应的有理数为t,Q点对应的有理数为3t﹣6,PQ=3t﹣6﹣t=2t﹣6.
综上所述,PQ=;
(3)①当0<t<1时,
则﹣3t×2=﹣3+t,解得t=;
②当1≤t<3时,
则(3t﹣6)×2=﹣3+t,解得t=.
故t的值是或.
9.解:(1)﹣5x5﹣bx2+2ax3+x+40x2+120x3﹣4=﹣5x5+(40﹣b)x2+(120+2a)x3+x﹣4,
∵关于x多项式﹣5x5﹣bx2+2ax3+x+40x2+120x3﹣4不含x的3次项和2次项,
∴120+2a=0,40﹣b=0,
解答a=﹣60,b=40,
∴AB=40﹣(﹣60)=100.
故答案为:﹣60,40,100;
(2)甲到达A点用时t==20(分),乙到达B点用时t==20(分).
①如果t≤20,甲在数轴上表示的数为﹣3t,乙在数轴上表示的数为2t,
所以甲、乙两机器人的距离为:2t﹣(﹣3t)=5t(米);
②如果t>20,甲在数轴上表示的数为﹣60+3(t﹣20)=3t﹣120,乙在数轴上表示的数为40﹣2(t﹣20)=80﹣2t,
所以甲、乙两机器人的距离为:80﹣2t﹣(3t﹣120)=200﹣5t(米);
(3)①如果t≤20,令5t=60,解得t=12,符合题意,
此时甲表示的数为﹣36,乙表示的数为24;
②如果t>20,令200﹣5t=60,解得t=28,符合题意,
此时甲表示的数为﹣36,乙表示的数为24.
答:两机器人相距60米时,两次都是甲表示的数为﹣36,乙表示的数为24.
10.解:(1)设点A的速度为每秒t个单位,则点B的速度为每秒4t个单位,由题意,得
3t+3×4t=15,
解得:t=1,
∴点A的速度为每秒1个单位长度,则点B的速度为每秒4个单位长度.
如图:
(2)设x秒时原点恰好在A、B的中间,由题意,得
3+x=12﹣4x,
解得:x=1.8.
∴A、B运动1.8秒时,原点就在点A、点B的中间;
(3)由题意,得
B追上A的时间为:15÷(4﹣1)=5,
∴C行驶的路程为:5×20=100单位长度.
2020年秋北师大版数学七年级上册期末提高专练:数轴类应用题综合(一): 这是一份北师大版七年级上册本册综合课时训练,共10页。试卷主要包含了已知,如图,已知在纸面上有一条数轴,操作探究等内容,欢迎下载使用。
初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程练习: 这是一份初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程练习,共22页。试卷主要包含了追击问题,相遇问题,8折;,4,,5)=1200,5.等内容,欢迎下载使用。
人教版七年级上册第三章 一元一次方程综合与测试优秀当堂检测题: 这是一份人教版七年级上册第三章 一元一次方程综合与测试优秀当堂检测题,共17页。试卷主要包含了列一元一次方程解应用题等内容,欢迎下载使用。